课时跟踪检测(三十八) 基本不等式 (1)

课时跟踪检测（三十八） 基本不等式

[A 级 基础题——基稳才能楼高]

1．函数f (x )＝x

x ＋1的最大值为( )

A.2

5 B ．12

C.22

D ．1

解析：选B 显然x ≥0.当x ＝0时，f (x )＝0；当x >0时，x ＋1≥2x ，∴f (x )≤1

2，当且

仅当x ＝1时取等号，f (x )max ＝1

2

.

2，若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( ) A.|a ＋b |2≥|ab |

B ．b a ＋a

b ≥2 C.a 2＋b 22≥

????a ＋b 22

D ．(a ＋b )????

1a ＋1b ≥4

解析：选C 由于a ，b ∈R ，所以A 、B 、D 项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C 项．

∵a 2＋b 22－????a ＋b 22＝2(a 2＋b 2)－(a 2＋2ab ＋b 2)4＝a 2－2ab ＋b 24＝(a －b )24≥0，∴

a 2＋

b 2

2≥????a ＋b 22

.

3．(2018·东北三省四市一模)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12

D ．16

解析：选B 由题意可得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·????4y ＋1x ＝5＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ×y

x ＝

9，当且仅当4x y ＝y

x ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.

4．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1

y ＝5，则x ＋y 的最大值是( ) A ．3 B ．3.5 C ．4

D ．4.5

解析：选C 因为x ＋y ＋1x ＋1y ＝x ＋y ＋x ＋y xy ≥x ＋y ＋x ＋y ????x ＋y 22

＝x ＋y ＋4

x ＋y ，所以x ＋y

＋

4

x ＋y

≤5.令x ＋y ＝t .则t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4.

5．(2019·西藏林芝期中)若x ，y 均为正数，则3x y ＋12y

x ＋13的最小值是( )

A ．24

B ．28

C ．25

D ．26

解析：选C 因为x ，y 均为正数，所以由基本不等式得

3x y ＋12y

x

＋13≥23x y ·12y

x

＋13＝25，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故3x y ＋12y

x

＋13的最小值是25，故选C.

[B 级 保分题——准做快做达标]

1．(2019·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝1

2(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，

则( )

A ．R

B ．Q

C ．P

D ．P

解析：选C ∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，1

2(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .∵a ＋b 2>ab ，

∴lg

a ＋

b 2>lg ab ＝1

2

(lg a ＋lg b )，即R >Q ，∴P 0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( )

A ．x ＝y

B ．x ＝2y

C ．x ＝2且y ＝1

D ．x ＝y 或y ＝1

解析：选C ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件，故选C.

3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小

值为( )

A ．1

B ．1

2

C.34

D ．32

解析：选C 由题意知a m a n ＝a 212

m

＋n －2

＝4a 2122＝a 2124

，∴m ＋n ＝6，则2m ＋12n ＝16???

?2m ＋12n (m ＋n )＝16( 52＋2n m ＋m 2n )≥16×????52＋2＝34，当且仅当m ＝2n 时取等号，∴2m ＋1

2n 的最小值为3

4

，故选C. 4．(2019·岳阳一中模拟)已知a >b >0，则2a ＋

4a ＋b ＋1

a －b

的最小值为( )

A ．6

B ．4

C ．2 3

D ．3 2

解析：选A 因为

4a ＋b ＋1a －b ＝12a ( 4a ＋b ＋1a －b )·[](a ＋b )＋(a －b )＝1

2a [ 5＋a ＋b a －b

＋4(a －b )a ＋b ]≥12a (5＋4)＝92a (当且仅当a ＝3b 时取等号)，所以2a ＋4a ＋b ＋1a －b ≥2a ＋9

2a ≥6(当且仅当a ＝3

2

时后一个不等式取等号)，故选A.

5．(2019·甘肃诊断)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2

y 的最小值是( )

A.53 B ．83

C ．8

D ．24

解析：选C 因为a ∥b ，故3(y －1)＝－2x ，整理得2x ＋3y ＝3，所以3x ＋2y ＝1

3(2x ＋3y )????3x ＋2y ＝

13( 12＋9y x ＋4x y )≥13?

?

?

?

12＋2 9y x ·4x y ＝8，当且仅当x ＝34，y ＝12时等号成立，所以3x ＋2y 的最小值为8，故选C.

6．若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝8，则a ＋b ＋c 的最大值为( ) A ．9 B ．2 3 C ．3 2

D ．2 6

解析：选D (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝8＋2ab ＋2ac ＋2bc . ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，

∴8＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤2(a 2＋b 2＋c 2)＋8＝24，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴a ＋b ＋c ≤2 6.

7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9

＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( )

A ．10

B ．15

C ．20

D ．25

解析：选C 由题意可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，由S 8－2S 4＝5可得S 8－S 4＝S 4＋5，由等比数列的性质可得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则S 4(S 12－S 8)＝(S 8－S 4)2，综上可得：a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8＝(S 4＋5)2S 4＝S 4＋25

S 4＋10≥2

S 4×25

S 4

＋10＝20，当且仅当S 4

＝5时等号成立．故a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.

8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，

若P 为半径OC 上的动点，则(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→

的最小值是( )

A ．2

B ．0

C ．－1

D ．－2

解析：选D ∵O 为AB 的中点，∴PA ―→＋PB ―→＝2PO ―→，从而(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→＝2PO ―→·PC ―→

＝－2|PO ―→ |·|PC ―→|.又|PO ―→|＋|PC ―→|＝|OC ―→|＝12

AB ＝2≥2

|PO ―→|·|PC ―→|，∴|PO ―→|·|PC ―→|≤1，

∴－2|PO ―→|·|PC ―→|≥－2，∴当且仅当|PO ―→|＝|PC ―→|＝1，即P 为OC 的中点时，(PA ―→＋PB ―→)·PC ―→

取得最小值－2，故选D.

9．(2019·玉溪月考)在△ABC 中，若a 2＋b 2＝2c 2，则内角C 的最大值为( ) A.π

6 B ．π4

C.π3

D ．

2π3

解析：选C ∵a 2

＋b 2

＝2c 2

，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≥a 2＋b 2－c 2a 2＋b 2

＝2c 2－c 2

2c 2＝

12，当且仅当a ＝b 时取等号．∵C 是三角形的内角，∴角C 的最大值为π

3

，故选C. 10．(2019·淮安学情调研)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1

y 的最小值为________． 解析：∵x >0，y >0，x ＋2y ＝3，∴y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y

3y ＝y x ＋x 3y ＋2

3

≥2

y x ·x 3y ＋23＝23＋2

3

，当且仅当y x ＝x 3y 即x ＝63－9，y ＝6－33时等号成立，∴y x ＋1

y 的最小值为23＋23

.

答案：

23＋2

3

11．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．

解析：由2m ＋n ＋6＝mn ，m >0，n >0，得22mn ＋6≤2m ＋n ＋6＝mn ，令2mn ＝t (t >0)，则2t ＋6≤t 2

2，即t 2－4t －12≥0，解得t ≤－2(舍)或t ≥6，即2mn ≥6，mn ≥18，则mn 的最

小值是18.

答案：18

12．(2019·张掖月考)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1

b －1的最小值为________．

解析：∵a >0，b >1，a ＋b ＝2， ∴3a ＋1

b －1＝?

???3a ＋1b －1(a ＋b －1)

＝3＋3(b －1)a ＋a b －1＋1

＝4＋3(b －1)a ＋a

b －1≥4＋23，

当3(b －1)a ＝a

b －1

，

即a ＝3－32，b ＝3＋12时取等号，

故最小值为4＋2 3. 答案：4＋2 3

13．(2019·石家庄高三一检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．

解析：因为直线l 经过点(2,3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，所以b ＝2a

a －3>0，所以a －3>0，

所以a ＋b ＝a ＋

2a a －3＝a －3＋6

a －3

＋5≥5＋2(a －3)·6

a －3

＝5＋26，当且仅当a －3＝

6

a －3

，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立． 答案：5＋2 6

14．(2018·唐山二模)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1. (1)求证：a ＋b ≤2；

(2)判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．

解：(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3????a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号． 解得(a ＋b )2≤4，又a ，b >0， 所以a ＋b ≤2. (2)不能成立．

理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d

2

，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立． 因为a ＋b ≤2， 所以ac ＋bd ≤1＋

c ＋d

2

. 因为c >0，d >0，cd >1， 所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d

2

＋1≥ac ＋bd ，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．

15．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度

x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝???

175

(x 2

－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x

60，x ∈[80，120].

(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？

(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？

解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝

175(x 2－130x ＋4 900)＝1

75

[(x －65)2＋675]， 所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为1

75×675＝9.

当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－

x

60

单调递减， 故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－120

60

＝10. 因为9<10，所以当x ＝65，

即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120

x ， ①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85?

???x ＋4 900x －130≥85???

?2 x ×4 900x －130＝16，

当且仅当x ＝4 900

x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；

②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440

x －2为减函数， 所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.

因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．