历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(4)
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)
题31 Let point M move along the ellipse 18
92
2=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M
is .
(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)
（第十四届高二第二试第18题）
译文：点M 是椭圆18
92
2=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .
解 在椭圆18
92
2=+y x 中，8,922==b a ，则1,12==c c ，
所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（1，0），离心率3
1==
a c e ，右准线9:2
==c
a x l ，显然点P （6，2）在椭圆
18
92
2=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且
仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥
l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设M 的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有
18
4
92
0=+x ，解得2230±
=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此时点M 的坐标是（2
2
3±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后
再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.
拓展 将此题引伸拓广，可得
定理 M 是椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭
圆E 的半焦距，P （m,n ）为定点.
1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是
m c
a -2
；当F 是左焦
点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是
m c
a +2
. 2、 若点P 在椭圆E 外，则
F 是右焦点，且0≤m≤c a 2，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是
m c a -2
. F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是c a m 2
-.
F 是左焦点，且c a 2-≤m≤0，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是
m c a +2
. F 是左焦点，且m≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是c
a m 2
--.
简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=
e
1
|MF|. ∴e 1|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2
，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之
间时取等号.如图2，同理可证e 1|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=
m c
a +2
，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.
2、 如图3，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=
m c
a -2
，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.
m
图1
图2
如图4，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=c
a m 2
-，当且仅当P 位于直线MN
上，即点P 与Q 重合时取等号.
如图5，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=
m c
a +2
，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.
如图6，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=c
a m 2
--，当且仅当P 位于直线MN
上，即点P 与Q 重合时取等号.
题32 已知双曲线k y x =-2
2
关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的
值
等
于
（ ）
A 、
32 B 、34 C 、45 D 5
4 （第十五届高二培训题第19题）
解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-2
2
上任意一点，点P 关于直线x-y=1的对称点为
图3 图4
图5
图6
P’（x,y ）,则
12200=+-+y y x x ①，又10
-=--x x y y ②，解①、②联立方程组得 0011
x y y x =+??
=-?③.∵P 点在双曲线k y x =-22上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+22)1()1( ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，
得01232=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=
3
4
，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值.
拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的
结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）.
5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）.
6、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）.
7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组
???
?
?-=-=++?++?)
()(022********x x B y y A c y y B x x A 的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m 对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.
题33 21,F F 是双曲线332
2
=-y x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则11F A F B +的最小值是____________-.
（第四届高二第二试第15题）
解 双曲线332
2
=-y x ,即13
22
=-y x ，如图，B A ,在双曲线右支上，3221=-AF AF ,
3221=-BF BF ,故当22BF AF +取得最小值
时，11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2
F 的准线，l BD l AC ⊥⊥,,垂足为D C ,，则由双曲线定义可知BD e BF AC e AF ==22,，而MN BD AC 2=+，其中MN 是梯形ACDB 的中位线，当21F F AB ⊥时，MN
取最
小值21232=-
，这时，22BF AF +取得最小值3
22=MN e ,从而11BF AF +取最小值33
14
3
234=
+
. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +，即
)(BD AC e +，亦即MN e 2最小时，B F A F 11+也最小，并能知道21F F AB ⊥时MN
最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.
拓展 将本题中的双曲线一般化，便得
定理 1F 、2F 是双曲线12
2
22=-b y a x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则B F A F 11+的最小值是a
b a 2
24+.
仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为33
14
3
12342
=
?+
?. 题34 方程
()()|
3|222
2+-=-+-y x y x 表示的曲线是
( )
A 、直线
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、抛物线
（第十二届高二培训题第23题）
解法1 由
()()|3|222
2+-=-+-y x y x 的两边平方并整理得
012102=-+-y x xy .令v u y v u x -=+=,，则
()()()()012102=--++--+v u v u v u v u ，整理得91812288222-=---+-v v u u ，
即()()932222
2
-=+--v u ，故已知方程表示双曲线，选C.
解法2 已知方程就是
()()2
|
3|2222
2+-?
=-+-y x y x ，由双曲线的第二定义，
可知动点P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为
12>，所以选C.
评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直
线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.
解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化，我们有下面的
定理 若()()||2
2C By Ax b y a x ++=-+-（b a C B A 、、、、为常数，且B
A 、不全为零），则
（1）当102
2
<+
应准线的椭圆.
（2）当12
2
>+B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准
线的双曲线.
（3）当12
2=+B A 且0=++c Bb Aa 时，方程表示过点()b a ,且与直线
0=++C By Ax 垂直的直线.
（4）当12
2=+B A 且0≠++c Bb Aa 时，方程表示()b a ,为焦点，直线
0=++C By Ax 为准线的抛物线.
读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 35 已知1≥x ，则动点A ??
?
??
-+x x x x 1,1与点B
（1，0）的距离的最小值是_________-.
（第七届高二第一试第23题）
解法1 由已知得2
2
2
2
111101AB x x x x x x ???????
?=+-+--=+- ? ? ????????
???
214x x ????++-?? ???????
2
12x x ?
?=+- ???2111723222x x x x ??????+-=+-- ? ?????????将此式看作以
x
x 1
+
为自变量的二次函数，11
1,22x x x x x
≥∴+
≥=,这表明该二次函数的定义域是[)
+∞,2. 该函数在
[)
2,+∞上是增函数，∴当21
=+
x
x 时，1,1272122m i n 2
2
m
i n
=∴=-??
? ??
-=AB AB .
解法 2 令2
4
,
tan π
θπ
θ<
≤=x ，则112tan 2csc 22tan sin 2x x θθθθ
+
=+==≥ 112,x x x ??
≥?+≥ ???
112tan 2cot 2.tan tan 2x x θθθθ--=-==-
AB ∴=
== ∴当12csc =θ，即4
π
θ=
时，12741182
min
=-??
?
??-=AB .
解法 3 设11x t t
y t t ?
=+????=-??
（t 1≥）,两式平方并相减，得
),0,2(42
2≥≥=-y x y x 即动点A 的轨迹是双曲线422=-y x 的右半
支在x 轴上方的部分（含点（2，0）），由图知|AB|min =1.
评析 所求距离|AB|显然是x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域[)+∞,1上的最小值并不好求，解法1根据|AB|≥0，通过平方，先求2min ||AB ，
再求|AB|min =2
min ||AB ，并将x
x 1
+
看作一个整体，将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在
[)+∞,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出
点A 的轨迹，从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前.
题36 抛物线2
x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．
（第九届高二培训题第27题）
解法1 设抛物线2
x y =上的点的坐标是(
)2
,x
x ，则它到直线02=++y x 的距离是
27
1()24x d ++=
=
，当12x =-时d 最小，此时14y =.故所求点的坐标是()11,24
-. 解法 2 如图，将直线02=++y x 平移至与抛物线2
x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=，代入2
x y =，得02=-+k x x .由o =?，即0
41=+k ，
得14k =-.解2
14y x y x ?=??=--??得12
14
x y ?=-???=?.故所求点的坐标是()
11,24-.
解法3 设所求点的坐标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物线的切线应与直线02=++y x 平行.而其切线方程为
02
y y x x +=，故120-=x ，012x =-.2
00
14y x ∴==. 故所求点的坐标为()
11,24
-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()
2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.
解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点，设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进而求出切点坐标.
解法3则设切点为P ()00,y x ，直接写出过二次曲线()0,=y x f 上一点P ()
0,0y x 的切线方程，由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.
解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.
解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：
定理 过抛物线c bx ax y ++=2
上一点P ()00,y x 的切线方程是
00
022
y y x x ax x b c ++=++. 证明 设过点P ()00,y x 的抛物线c bx ax y ++=2
的切线的方程为
()00x x k y y -=-①. b ax y +=2/，b ax y k x x +===0/
20
，代入①得()()0002x x b ax y y -+=-，
()()000022222ax b x x y y y +-+=+，2
00000022
y y x x ax x b y ax bx ++=++--②. 点()00,y x 在抛物线c bx ax y ++=2上，c bx ax y ++=∴0200，c bx ax y =--0200，代入
②，得切线方程为
00
0y y x x ax x b c ++=++. 拓展 观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的2
2
,y x 分别换成x x 0，y y 0，把y x ,分别换成
00,
22
x x y y
++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理. 定理 过二次曲线02
2
=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 上一点Ρ()00,y x 的该曲线的
切线方程是0000000222
x y xy x x y y
Ax x B
Cy y D E F ++++++++=. 运用该定理必须注意点Ρ()00,y x 在曲线上.
例 求过点()3,2的曲线2223448300x xy y x y ++---=的切线的方程.
解 经验证，点()3,2在曲线2223448300x xy y x y ++---=上，根据上面的定理，
所求切线方程为23322234348300222
y x y
x x y +++?+?
+?-?-?-=，即
0922213=-+y x .
题37 在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,则k 的取值范围是 .
(第十五届高二培训题第71
题)
解法1 设两点B ()11,y x 、C ()22,y x 关于直线3+=kx y 对称，直线BC 的方程为
m ky x +-=，将其代入抛物线方程x y 42=，得0442=-+m ky y .若设BC 的中点为
M ()00,y x ，则k y y y 22
2
10-=+=
.因为M 在直线3+=kx y 上，所以 (
)
3222
++=-m k k k .k
k k k k k m 32223232
++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点，所以016162
>+=?m k .再将m 的式子代入，经化简得
03
23<++k
k k ，即 ()()0312<+-+k
k k k ，因为032>+-k k ，所以01<<-k .
解法2 由解法1，得k y y 421-=+，k k k m y y 12
884321++=-=.因为
212
212y y y y >??
? ??+，所以k k k k 1288432
++>
，解得01<<-k . 解法3 设B ()11,y x 、C ()22,y x 是抛物线x y 42
=上关于直线3+=kx y 对称的两点，
且BC 中点为M ()00,y x .因为22
212
14,4x y x y ==，所以()122
12
24x x y y -=-，即
()4211
212=+?--y y x x y y ，
所以k y y k 2,42100-==?-.又300+=kx y ,所以k k x 3
20+-=,因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以02
04x y <，即()??
?
??+-
<-k k k 32422
，解得01<<-k .
解法4 设B 、C 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点， M 是BC 中点.设
M
()
00,y x ，B
()
y x ,，C
()
y y x x --002,2,则
x
y 42=①，
()()x x y y -=-020242②.①-②，得0220200=-+-x y y y x ③.因为点M ()00,x y 在直线
3+=kx y 上，003y kx ∴=+④.④代入③得直线
BC
的方程为
()()0233202
00=-+++-x kx y kx x ，故直线BC 的方向向量为???
? ??+=32,000kx x x ，
同理得直线3+=kx y 的方向向量()00,kx x v =.因为直线BC 与直线3+=kx y 垂直，所以
0=?，即()0,32,
00000=????
?
?
?
+kx x kx x x ，化简得 ()03
32002
0=+++kx k kx x ，得0320=++k kx 或02
0=x （舍去）.显然0≠k ，解得
k kx y k
k x 23,3
2000-=+=+-
=.因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以02
04x y <，即()
???
?
?+-<-k k k 32422
，
3223(1)(3)0,0,k k k k k k k +++-+<<又032>+-k k ，所以01<<-k .
评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方
程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.
解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k 的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.
练习 若抛物线12
-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点，则实数a 的取
值
范围是
（ ）
A 、??? ??+∞,41
B 、??? ??+∞,43
C 、??? ??41,0
D 、??
?
??-43,41 答案：B
题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2
csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ．
（第十三届高二培训题第73题）
解法1 设弦过点)0,(a M ，则弦所在的直线是)(a x k y -=，αtan =k ，?
≠90α，
代入抛物线方程，消去x 得)4
(
2
a y k y -=，即042=--ak y y k ． (
弦
长)2
=)cot 1(2
α+()22
2
416161cot 16tan a a k αα??????+=++?? ? ?????????
()22csc 16cot 16a αα=+ =α4csc 16，即2216cot 1616csc a αα+=2
1616cot α=+，由此得1=a ．
当?
=90α时，弦所在直线方程为)0(>=a a x ，弦长为4．由?
??==x y a
x 42，得??
?==a y a x 2或
??
?-==a
y a
x 2．又由弦长44=a ，得1=a ． 综上，这些弦都经过点（1，0）．
解法2 由题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2
π
α=
，则弦长为42
csc
42
=π
，此时弦所在直线方程为)0(>=a a x ，代入
x y 42=，得a y 42=，a y 2±=．由题设，44=a ，即1=a ．所以2
π
α=
时，弦所
在直线方程为1=x ．
再令4
π
α=
，则弦长为84
csc
42
=π
，设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得
b y x -+=1，代入x y 42=并整理，得04442=-+-b y y ，弦长
?+=11212214)(y y y y -+8)44(4162=--?=b ，解得0=b ，所以4
π
α=
时，
弦所在直线方程为1-=x y ．解?
??-==11
x y x ，得定点为（1，0）．
评析 题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若α确定，则以α为其倾斜角的弦的
长也确定，α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化，这样的弦都
过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．
由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a ，并分直线的斜率存在与不存在两类情形，
根据弦长是α2
csc 4，直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这
是合情合理的常规思维．
然而，根据题意，这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法2分别令2
π
α=
与4
π
α=
，
得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点为(1,0)，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特殊也正确．”至于解法2中为什么令2
π
α=
与
4
π
α=
，而不令713πα=
与325
π
α=，主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．
应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．
拓展 原题中弦长α2
csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2，而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线x y 42=的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研究，这 并非巧合，而是一个定理.
定理 若抛物线)0(22>=p px y 的弦PQ 的倾斜角为θ，则θ2
c s c 2p PQ =的充分
必要条件是PQ 经过抛物线的焦点)0,2
(
p
F ． 证明 先证必要性:
由已知，可设PQ 的方程为)90,tan ()(?
≠=-=θθk a x k y ，代入px y 22
=，得
-22x k
)(2222=++a k x p a k ①．由已知及弦长公式得
[]
2122122
4)()1(x x x x k PQ -+?+=②．将①的两根之和与积代入②，得
()22
4
2
2
41c s c 2k p p a p k k
θ+=+
，从而得
2442csc tan sec p θθθ=（222tan p ap θ+），解得2
p a =
，即知PQ 过焦点(,0)2p F ．容易验证当90θ?
=时，结论也成立．
再证充分性：
由已知可设PQ 的方程为()(tan ,90)2
p
y k x k θθ?=-
=≠，代入2y =2px ，得 22244(2)k x p k x -+22k p +0=③，将③的两根之和与积代入②得22csc PQ p θ=．容易
验证当90θ?
=时，结论也成立．
应用该定理，可解决下面的问题：
1．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．
2．PQ 是经过抛物线24(0)y ax a =>焦点F 的弦，若PQ b =，试求△POQ 的面积（O 是坐标原点）．（91年全国高中联赛题）
3．PQ 是经过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是抛物线的顶点，若△POQ 的面积为4，求PQ 的倾斜角α．（98年上海高考题）
答案：1. 8
2. 3.30?
或150?
题39 长为)1( x 轴的最短距离等于 . （第13届高二第二试第20题） 解 设AB 的中点为M （y x ,），点A 的坐标为（βα++y x ,），由对称性知B 的坐 标为(),x y αβ--，于是有以下关系成立：22222()()()2 y x y x l βαβααβ? +=+?? -=-???+=? ①+②，得2 2 α+=x y ④，-②，得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③，得4 )41)((2 2 2 l x x y =+-， 即2222 22 1[(14)1]4(14)4(14) l l y x x x x =+=++-++，因为2(0,0),a u x a x x =+>>当x a =时, u 有最小值,当x a >时, u 是单调增加的.又214(1),x l l y +><关于2x 是单调 增加的,所以,当0x =时, y 取得最小值2 4 l . 评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性，设出点M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式，这又有何用处呢？我们要求的是y 的最小值，现在却出现了四个 变量βα、、、y x ，能否消去 βα、从而得到)(x f y =，再求其最小值呢？果然，可以消去βα、，得到 ① , ② , ③. 2 2 2) 41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2 422164164x x x l y +++=，再令2x u =，得到 22416416l u u y u ++=?+)0(04)164(1622≥=-+-+u y l u y u ⑦，则可由方程⑦有非负实 数解求出y 的最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢？考 虑到⑥式中的0412 >+x ，故将⑥式变形为]1)41(41[412 2 2-+++=x x l y ⑧，由于2241x l +与241x +的积是定值，故当2 241x l +=241x +，即2 14x l +=时,有y 最小值..然而，因为1 时，0=x 4 2 min l y =. 注：形如)0()(2 >+=a x a x x f 的函数，若0,x >则当x a =时, ()f x 取得最小值2a ；若(0)x a b b ≥+>,则()f x 单调递增, min ()()f x f a b =+；若0(0)x a b b a <≤-<<,则 ()f x 单调递减，)()(min b a f x f -=.(请读者自己证明该结论) 拓展 将此题推广，可得 定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22 >=p py x 上滑动，线段AB 的中点M 到x 轴的距离为d ，则 （1） 当;8202min p l d p l =≤<时， （2） p l d p l d p l 8,222 max min = -=>时，当. 证明 由题意，直线AB 的斜率k 存在.设),,(),2,(),2,(002 2 2211y x M p x x B p x x A 则 22 12 12 22AB x x p p k x x -= - 0122x x x p p +==，所以直线AB 的方程为)(000x x p x y y -=-，由20 002()x py x y y x x p ?=? ?-=-?? ，消去y ，得2 2x -200 0220x x x py +-=，因为点M 在抛物线的内部，即2 02x y p >，所以 200 420py x ?=->（），又2120120 02,22x x x x x x py +==- ，所以12|l x x =- = .于是 ,2) (82 02 022 0p x x p pl y d ++==对 x 求导数，得 2' 222 0001(1)()2282x pl d p x x x p -=-++220222 0[1]4() x p l p p x =-+ 2200222 0[2()]4() x p x pl p p x = +++])(2[2 02pl x p -+. （1）若02l p <≤（抛物线的通径长），令0' 0x d =，得00x =，易知00x =，是d 的 唯一极小值点，所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时，2 min 8l d p =； （2）若2l p >，令0' 0x d =，得00x = 或0x =，易知当00x =时， 2 ma x 8l d p = ；当0x =2min p l d -=. 令定理中的21p =，由定理的结论（1）可知本赛题的答案为2 4 l . 此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强.这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡. 此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下： 定理2 已知A 、B 两点在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上滑动，|AB| =l ，线段 AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则 （1）22max 22) 2(22b a l a a d a l a b --= ≤≤时，当； （2）当b l b a d a b l 2422 2max 2-= <时，. 定理3 已知A 、B 两点同在双曲线)0,(122 22>=-b a b y a x 的右（或左）分支上滑动， |AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则 （1）22min 22) 2(2b a l a a d a b l ++= ≥时，当； （2）当b l b a d a b l 2422 2min 2+= <时， . 为证定理2、3，可以先证 引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明 设圆锥曲线的极坐标方程为θ ρcos 1e ep -= ，其中e 表 示圆锥曲线的离心率，p 表示焦点F 到对应准线l 的距离，设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦，且A ),(),,(21θπρθρ+B ， 因为12,1cos 1cos()1cos ep ep ep e e e ρρθπθθ ===--++，所以 12||AB ρρ=+ 1cos ep e θ= -+θcos 1e ep +=θ 2 2cos 12e ep -.当2πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时，ep AB 2||min =，故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 下面运用引理证明定理2 . 证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ），A 、M 、B 三点到右准线c a x 2 =的距离 分别是,2 2121t t t t t t += ，则、、由椭圆的第二定义知：|AF|=1et ，|BF|=)(2a c e et =， |AF|+|BF|≥|AB|=l ，所以e l t 2≥.又过焦点的弦最小值为时，当a b l a b 2 22,2≥线段AB 可以过 焦点F ，当AB 过焦点F 时，t 有最小值2l e ， 因此222max 2) 2(2)2(2b a l a a c l a a e l c a d --=-=-=. （2）时，当a b l 2 2<线段AB 不可能过焦点F ，但点M 总可以在过F 垂直于x 轴的椭圆的弦的右侧，如右图，在△AFM 中，设∠AMF=α，由余弦定理知 222 ||||||2||||cos AF FM AM FM AM α=+- 22211 ||cos 42 FM l l α=+-，在△BFM 中， 222211||||cos 42BF FM l l α=++，所以22221 ||||2||2AF BF FM l +=+，所以 ||FM =22||a b FM t c c c +≥-=，所以 c b l BF AF t 22 22||||221≥-++）（ ①，无论线段AB 在什么位置，不等式①都成立.又 222||||2l BF AF -+）（2221222)(||||l t t e l BF AF -+=-+≥）（,4222l t e -=故 c b l t e t 222 241≥-+ ②.解此不等式，得b l b a c a t 242 22-- ≥③，当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时，不等式①、②、③都取等号，此时b l b a c a t 242 22mi n -- =，b l b a b l b a c a c a d 24)24(2 22222max -= ---=. 仿此亦可证明定理1、3，不再赘述. 题40 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ） A 、圆 B 、圆，或椭圆 C 、圆，或椭圆，或双曲线 D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线 （第三届高二第二试第10题） 解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能，如图⑴～⑸： 在情形⑴：A 在圆O 上，这时动圆M 与定圆O 相切于A ，所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合，这时动圆M 在定圆O 的内部，与它内切，所以M 点的轨迹是以O 为圆心，以定圆O 的半径的一半为半径的圆. 在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点，动圆M 过A 且与定圆O 内切，这时动点M 与定点O 、A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定值），其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径.可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部，动圆M 过A 且与定圆O 外切，这时 R x x R MA MO =-+=-)(（定值）.可知M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为实轴长的 双曲线的一支. 在情形⑸：A 在定圆O 的外部，动圆M 与定圆O 内切，这时 R R x x MO MA =--=-)(（定值）.可知M 点的轨迹也是以A O ,为焦点.R 为实轴长 的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）. 综上，可知选D. 评析 分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种，然后再分别求动圆中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程. 应当指出，当点A 在圆O 上时，动圆M 的中心的轨迹是直线OA ，但应除去点O 、A . 另外，讨论完第一种情形后就可排除,,,C B A 而选D ，这样就更快捷了. O 第16届希望杯考前训练100题 学前知识点梳理 主要针对“希望杯”全国数学邀请赛进行考前特训，主要学习内容有： 1.整数的四则运算，运算定律，简便运算。 2.基本图形，图形的拼组（分、合、移、补），图形的变换，折叠与展开。 3.角的概念与度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算。 4.整除概念，数的整除特征，带余数除法，平均数。 5.几何计数（数图形），找规律，归纳，统计，可能性。 6.数谜，分析推理能力，数位，十进制表示法。 7.生活数学（钟表，时间，人民币，位置与方向，长度，质量的单位）。 8.应用题（植树问题、年龄问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题）。 考前100题选讲 1.计算：8×27×25。 2.计算：9+98+987+9876。 3.计算：2-4+6-8+10-12+…-48+50。 4.计算:2017×2016+2016×2014-2015×2016-2015X2017。 1 5.计算:15÷7+68÷14。 6.已知999999÷（a÷2)=142857，求a 7.某数被27除，商是8，余数是5，求这个数。 8.定义：A*B=（A+3)×（B-2)，求15*17。 9.除法算式△÷7=12……□中，余数最大是多少？ 10.有5个连续偶数之和恰好等于4个连续奇数之和，如4+6+8+10+12=7+9+11+13。请写出一个符合要求的式子。 11.将36表示成三个大于1的自然数的乘积（不考虑三个自然数的相乘顺序）。共有几种不同的表示方法？ 12.用数字2，0，1，7可以组成多少个不重复的三位数？ 13.用2295除以一个两位数，丽丽在计算的时候错把这个两位数的十位数字和个位数字写反了，得到的结果是45，则正确的结果应该是多少？ 14.如果把某个除法算式的被除数152写成125，则商会比原来的结果小3，且余数不发生变化，求余数？ 15.2017和某个小于100的自然数的和正好等于两个连续自然数之积，求这个小于100的自然数。 16.某两位数的十位数字与个位数字互换后，新数比原数大36，求原来的两位数。 17.abc是一个三位偶数，已知b是c的三倍，且b=a+c，求abc。 18.在乘法运算15×16×17×18×19×20×21×22×23×24×25的计算结果中，最后有多少个连续的0？ 希望杯数学竞赛小学三年级试题 希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874）19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问： 希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题................................................ 003-005 希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题................................................ 010-012 希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题................................................ 017-020 希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题................................................ 023-026 希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题................................................ 031-032 希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题................................................ 037-040 希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题................................................ 047-050 希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题................................................ 055-058 希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题................................................ 063-066 希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 ............................................... 070-073 希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题................................................ 077-080 希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题................................................ 084-087 希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题................................................ 095-098 希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题................................................ 102-105 希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题................................................ 110-113 希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题................................................ 117-120 希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题................................................ 126-129 希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题................................................ 135-138 希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题................................................ 144-147 希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题................................................ 148-151 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题............................................ 158-161 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题............................................ 166-169 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题............................................ 170-174 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 175-178 希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题............................................ 181-184 希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 185-189 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题............................................ 192-196 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题............................................ 197-200 1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形．5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变 成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员， 是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）967-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： 634+（266-137） 2011-（364+611） 558-（369-342） 2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问：（1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 希望杯竞赛赛前培训100题（三年级） 类别：希望杯浏览次数：805 发布日期：2011-2-8 10:33:27 赛前培训100题 1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来．11．在图11、图12算式的空格，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．三、四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，三说是四，四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小，小王，小分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员．17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： 希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成．（2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问： （1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 23．有10只盒子，54只乒乓球，把这54只乒乓球放到10只盒子中，要求每个盒子中最少放1只乒乓球，并且每只盒子中的乒乓球的只数都不相同，如果能放，请说出放的方法；如果不能放，请说明理由． 1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第 个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A 图折起来，它能构成B 图中的第 个图形． 5． 找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（ ）． （2）2，3，5，8，13，21，（ ）． （3）9，16，25，36，49，（ ）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（ ）． （5）3，8，15，24，35，（ ）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成 ． （2）寻找图7中规律填空． 9． 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是 ． 10． 图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的 汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员， 是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）967-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： 634+（266-137） 2011-（364+611） 558-（369-342） 2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问：（1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试 一、选择题（每题4分，40分） 1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ） A ．()h x 的最大值是M+N B ．()h x 的最小值是m ＋n C ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+ D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集 2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定的 4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝ 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ） A ．S ≠?T B ．T ≠ ?S C ．S=T D ．S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） A ．9 B ．6 C ．18 D ．16 6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ） A ．方程没有整数根 B ．方程有两个相等的整数根 C ．方程有两个不相等的整数根 D ．不能判定方程整数根的情况 7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin 22 x y x x =-的值域是（ ） A ．( B ．( C ． D ． 8、已知e tan ） 2017第十五届六年级希望杯100题培训题 17.已知a=2015×2017，b==2014×2018，c==2016×2016，将a、b、c从大到小排列。 18、在9个数： . . 7 0. ， 3.75 ， 15 ， 2 1. ， 1， 4 5 ， 7.8 ， 5 2 中，取一个数作被除数，再取另外两个数，用它们的和作除数，使商为 整数，请写出3个算式。（答案不唯一） 19、定义： b 1 a a@ b + =，求2@（3@4）。 20、若n个互不相同的质数的平均数是15，求n的最大值。 21、若一位数c（c不等于0）是3的倍数，两位数____ bc是7的倍数，三位数 ____ abc是11的倍数，求所有符合条件的三位 数 ____ abc的和。 22、用a、b、c可以组成6个无重复数字的三位数，且这6个数的和是4662，这6个数都是3的倍数吗？ 23、已知n！=1×2×3×…×n，计算：1！×3-2！×4-4！×6+…+2015!×2017-2016！。 24、一串分数： , (13) 1,101...,，108，109，...，103，102，101，71，72，73，74，75，76，75，74，73，72，71，41，42，43，42，41 求第2016个分数。 25、在不大于循环小数. 912.的自然数中有几个质数？ 26、设n ！=1×2×3×…×n ，问2016！的末尾有多少个连续的0？ 27、四位数_______abcd ，若_______ abcd -10（a+b+c+d ）=1404，求a+b+d 。 28、A ，a ，b 都是自然数，且A+50=2a ，A+97=2 b ，求A. 第16 届希望杯考前训练100 题学前知识点梳理“希望杯”全国数学邀请赛进行考前特训，主要学习内容有： 1、整数的四则运算，运算定律，简便运算，等差数列求和。 2、基本图形，图形的拼组合（分、合、移、补），图形的变换，折叠与展开。 3、角的概念与度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算。 4、整除概念，数的整除特征，带余数除法，平均数。 5、小数意义和性质，分数的初步认识（不要求运算）。 6、应用题（植树问题、年龄问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题）。 7、几何计数（数图形），找规律，归纳，统计，可能性。 8、数谜，分析与推理，数位，十进制表示法。 9、生活数学（钟表、时间、人民币、位置与方向、长度、质量的单位）。 考前100 题选讲 1. 计算：1.1 + 1.91 + 1.991+ .. +1?99L 991。 2018个9 2. 计算：1+2+3+ …+2016+2017+2016+…+3+2+1。 3. 计算：2015.2015+2016.2016+20172017+2018.2018+193 4.1934 。 4.已知a=o.opLz30125，匕=0.002石08。求a x b+a + b。 2013个0 2017 个0 5. 定义:a ? b=a x b 一( a+b)，求(3 ? 4) ? 5。 6. 定义:a ? b=a x b.c ◎ d=d x d x d x —x d （c 个d 相乘），求（5 ? 8）?（3? 7）。 7. 定义a△ b=a x 100L 4g0+b, a 口b=a x 10+b （其中，a, b 都是自然数），求 2018 口（123^4）b个0 8. 观察下列数表的规律，求2018是第几行的第几个数? 2,3 4, 5, 6 L 8, 9, 10 11, 12, 13^ 14）15 ? II 9. 观察下列数的规律，求第2018个数。 1, 2018, 2017, 1, 2016, 2015, 1,… 10. 根据下列算式的规律，求第2018个算式的和。 2+3, 3+7, 4+11, 5+15, 6+19,… 11. 计算机上编程序打印出前10000个大于0的自然数:1 , 2, 3…，10000时，不幸打印机有故 障，每次打印数字7或9时，它都打印出x。其中被打印错误的共有多少个数？ 12. 桌上有一些纸片，每张纸片上都有编号（不是按顺序编的），马小虎同学错把6和69拿倒了，导致这些编号的平均数多出1,问这些纸片共有多少张？ 13. 有一串数，最前面的4个数是2, 0, 1, 8，从第5个数起，每一个数都是它前面相邻4个数之 2018年六年级希望杯考前训练100题 考前100题选讲 1、已知8 1 716151413121++++++=A ,求A 的整数部分。 2、将数M 减去1，乘3 2 ，再加上8，再除以7的商，得到4，求M 。 3、计算:110 19017215614213012011216121+++++++++。 4、计算：7522018201785438.32018 1 1÷??? ???+? 5、计算:2017 20132017 1392017952017512017?++?+?+? 。 6、计算：?? ? ??+++++÷716151413121601 7、A 、B 、C 、D 四个数的平均数是150，A 与B 的平均数是200，B 、C 、D 的平均数是160，求B 。 8、 1 2018111111个除以6的余数是几？ 9、解方程：20172018 2017433221=?++?+?+?x x x x 。 10、在括号中填入适当的自然数，使 ()() 1 120181+ =成立。 11、已知n n n ?=2 ，求2 2 2 2 2 20172016321+++++ 的末位数字。 12、定义：Q P Q P 43+=⊕,若377=⊕x ，求?? ? ??⊕⊕4131x 的值。 13、已知[X]表示不超过X 的最大整数，若[X+0.1]+[X+0.2]+[X+0.3]+…+[X+0.9]=104，求X 的最小值。 14、在下列等式中的三个括号中填入三个不同的自然数，使等式成立。 ()()() 1 11121+ += 15、将1×2×3×…×2018记作2018！。用3除2018！，2018！能被3整除，得到一个商；再用3除这个商，…，这样一直用3除下去，直到所得的商不能被3整除为止，在这个过程中用3整除了多少次？ 16、一个大于0的自然数M ，它是7和11的倍数，并且被13除余11，求M 的最小值。 17、一架梯子共17级，其中最高的一级宽30厘米，最低的一级宽110厘米，中间还有15级，相邻两级梯子的宽度差保持不变，第9级宽多少厘米。 18、20182018÷2019所得的余数是多少？ 19、用数字0,1,2和小数点可以组成几个不同的小数？要求3个数字都要用上，0不能放在最后。 20、四位数abc 7比四位数7cba 大3546，求abc 7。 刚刚结束的“中环杯”初赛，今年题型的变化纷纷让学生们措手不及，历来中环杯的难度都是各热门的数学杯赛竞赛中偏高的，小学中热门的数学竞赛，由于“希望杯”相对而言更注重基础，因此似乎对考生来说是最有“希望”拿到证书的数学竞赛。而掌握“希望杯”备考及竞赛过程中的几个要点，对取得好成绩大有帮助。更多信息请点击>> 破解简单题目中的玄机 “希望杯“主要考察学生奥数基础知识的掌握情况，一般奥数教材里的数论、几何、应用题等都会考到，覆盖面较广。比如学生的计算能力；是否能熟记基本的知识点；有无学会对知识和解题方法进行归纳总结，并举一反三，触类旁通等。 相对于其他杯赛，“希望杯”命题风格非常直白，考察学生运用知识点解决实际问题的能力。考试题目虽然比较简单，但可能暗藏陷阱，学生一不留神就可能“中招”。 “希望杯”竞赛的一个特色就是面向的参赛群体非常广泛。在校成绩突出的学生有机会获奖；成绩并不突出但学习踏实的学生同样也有机会获奖。“希望杯”的最终评奖结果在每年的六月初揭晓，而第一试是在每年三月初就公布成绩，进入第二试的比例为20%。有一点要提醒大家注意，“希望杯”第一试往往是“一题两解”，考生在解题时要考虑周全可能包含的各种情况，切勿粗心大意。 专家认为，“希望杯”思维能力竞赛的试题内容不超教学大纲，不超进度，贴近现行的数学课本，又稍高于课本。试题活而不难，巧而不偏，能将知识、能力的考察和思维能力的培养结合起来，而不只是让学生单纯地解答数学题目。 更重视解题过程 由于“希望杯”考察的知识点不偏不刁，这就对不一定具有数学天分但是学习踏实的同学很有利；而且“希望杯”的第二试试题重视解题过程，平时学习习惯好，作业过程认真清晰的学生有希望冲击更高的奖项。从这两点可以看出，“希望杯”非常有利于大部分成绩并不突出的同学获奖，这也是“希望杯”有别于其他杯赛的重要区别之一。 奥数知识基础相对扎实、解题认真的考生最适合报考“希望杯”，那些在学校学习处于中等偏上、学有余力的同学都可以参加。对他们来说，参加考试最大的意义在于检验知识的灵活运用能力。“希望杯”强调灵活的变通，这正符合喜欢思考、善于思考的学生的需求。学生不妨看看“希望杯”基础在哪，基础之上的变通又在哪，从而检测自己对于数学学习的掌握情况。我们建议只要对数学有兴趣者都可以参加，“希望杯”注重基础知识点的考察，难度又稍高于平时。考生要想获得名次，就肯定要花时间去“吃透”这些知识点。如果学生能以此标准来要求自己，那学起基础数学就更是应对自如了。 历年真题是法宝 第15届五年级“希望杯”全国邀请赛培训题2017 1. 计算：2016×20172017－2017×20162016. 2. 计算：32.2÷2.7＋386÷54－4.88÷0.27. 3. 计算：6051×0.125－0.375×1949＋3.75×1.2. 5. 用[a]表示不超过a的最大整数，{a}表示a 的小数部分，即{a}=a－[a]，定义一种运算“⊕”：a⊕b=(a-b)÷(b+1)，求[3.9]⊕{5.6}+[4.7]的值. 6. 找规律，填数：0，2，12，36，80，150，252，______，_______，… 7. 如图1 所示的七个圆内填入七个连续自然数，使每相邻圆内的数之和等于连线上的数，求这七个自然数的和. 8. 有一串数，最前面的4 个数是2，0，1，6，从第5 个数起，每一个数是它前面相邻4 个数之和的个位数字，问在这一串数中，会依次出现2，0，1，7 这4个数吗? 9. 小华在电脑上玩一种游戏：输入一个大于零的自然数，则输出的数比输入的数扩大一倍还多1，若先输入的数既不是质数，也不是合数，再将输出的数输入，…则输出的数中，首先超过100的数是多少? 10. 从1123个1×1的正方形纸片中，依次取出1个，3个，5个，7 个，…，(2n-1)个，求最大的n. 11. 已知x是两位数，y是一位数，若1123=x×x+11y×y，求x+y. 12. 20152015+20162016+20172017的个位数字是多少?(定义：x n表示n个x相乘) 13. 1×2×3×4×…×2016×2017 的积的末尾有多少个连续的0? 14. 111a是四位数，若111a－3是7的倍数，求自然数a. 15. 有三个连续的自然数，它们的和是三位数，并且是31 的倍数，求这三个数的和的最小值. 16. 若11ab是四位数，并且11ab－3是7的倍数，那么a + b有多少个不同的值? 17. 100 名同学面向老师站成一行.大家先从左至右按1，2，3，…依次报数；再让报数是4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是5 的倍数的同学向后转. 问：背向老师的有多少人? 希望杯培训题 一．选择题（以下每题的四个选择中，仅有一个是正确的） 1．－7的绝对值是（） （A）－7 （B）7 （C）－（D） 2．1999－的值等于（） （A）－2001 （B）1997 （C）2001 （D）1999 3．下面有4个命题： ①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。 ②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。 ③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。 ④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。 其中正确的命题是：（） （A）①和②（B）②和③ （C）③和④（D）④和① 4.4ab c的同类项是（） （A）4bc a（B）4ca b（C）ac b（D）ac b 5．某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（） （A）20％（B）25％（C）80％（D）75％ 6．，，，四个数中，与的差的绝对值最小的数是（）（A）（B）（C）（D） 7．如果x=?, Y=0.5,那么X?Y?2X的值是( ) (A)0 (B) (C) (D) ? 8.ax+b=0和mx+n=0关于未知数x的同解方程，则有（） （A）a+m>0. （B）mb≥an. （C）mb≤an.（D）mb=an. 9．（－1）＋（－1）－（－1）×（－1）÷（－1）的结果是（）（A）－1 （B）1 （C）0 （D）2 10．下列运算中，错误的是（） （A）2X＋3X＝5X（B）2X－3X＝－1 （C）2X?3X＝6X（D）2X÷4X＝ 11．已知a<0,化简，得( ) (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) －2 12．计算（－1）＋（－1）÷|－1|的结果是（）（A）0 （B）1 （C）－1 （D）2 13．下列式子中，正确的是（） （A）a?a=a. （B）(x)=x. （C）3=9. （D）3b?3c=9bc. 14.－|－3|的相反数的负倒数是（） 2016年希望杯四年级 100题 1.计算：9+99+999+9999+99999 2.计算：2016÷28÷4?7 3.计算：2014?2015+2013?2015-2012?2015-2011?2015 4.定义运算：a⊕b=a-b+8,a?b=a?b- 5.求[25⊕(4?7)]?3 5.定义运算：a⊕b=(a+b)÷6,若m⊕8=24,求m的值. 6.在下面的□中填入运算符号“+,-,?,÷”使等式成立. 12 4 4=7 7 3 7.不求最后结果,将以下三个乘法运算按从大到小排列: a= 2014?2016, b= 2013?2017, c=2015?2015. 8.把48 写成两个质数的和,有几种写法? 9.已知4 个连续奇数的平均数是20,求最小的奇数. 10.已知4个连续奇数的平均数是20,求最小的奇数. 11.五个数9,17,x,x 5,34的平均数是21,求x. 12.小杰从27起写了26个连续奇数,小强从26起写了27个连续自然数,然后他们分别将自己写的数求和,求这两个和的差. 13.已知两个数的和是555,且较大数除以较小数得商12余9,求较大数与较小数的差. 14.在一个带余除法的算式中,如果把被除数152 写成125,则商会比原来的结果小3,且余数不发生变化,求余数. 15.小明在做一道带余除法的运算时,把除数18看作15,结果商没有改变,但余数增加了12.求商的值. 16.求一切除以6 后余2的两位数的和. 17.一个数被5除余1,被7除余3,被11 除余7,这个数最小是多少? 18.abc表示一个各位数字互不相同的三位数,若这个数是6的倍数,且a+c=13,则称这个数为“金六点”,三位数中“金六点”有多少个? 19.六位数a2016c能被12整除,求这样的六位数中最大的一个. 20.一个八位数,它有前四位数和后四位数相同,而且它能被某个比1 大,比这个八位数小的数a整除,求a. 21.若x和(2016-7x)÷9都是大于0的自然数,求满足条件的x的个数. 22.a,b都是自然数,若a?b=2015,且a >b,求a-b的最大值. 23. M、N都是自然数,M?N=2015,且M>N.问: M+N最小是多少? 24.连续写123个123,得到一个庞大的数: 123123123???,这个数能被3 整除吗?说明理由. 历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析 题 1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则-- = - += <<的大小关系 是 . （第十一届高二第一试第11题） 解法1 b b a a b b a x + += - += ，a b b a a b b y -+ = --=. y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 . 解法2 b b a a b b a b b b b a y x + +-+= ---+= ，y x y x a b b a <∴<∴ ->+,1, . 解法3 a a b b a b b a a b b b b a y x -+ - + += -- - -+= -1111 = y x y x a a b b a <∴>-∴>-- +,011,0. 解法4 原问题等价于比较a b b a -+ +与b 2的大小.由,2 ) (2 2 2y x y x +≥ +得 b a b b a a b b a 4)(2)2 =-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴ . y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠ +,2, . 解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的 点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）. 由图象，显然有AB BC k k <，即 ) ()(a b b a b b b b a b b a ---- < -+- +， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <. 解法6 令()f t =，t t a a t f + += )( 单 调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<- +，y x <∴. 解法7 考虑等轴双曲线)0(2 2 >=-x a y x . 图1 2015 年希望杯五年级赛前100 题 【1-4，简便计算】 1)计算： 0.685×5.6+3.4×0.685+0.685。 =0.685 ×（ 5.6+3.4+1 ） =0.685 × 10 =6.85 2)计算： 2015-2014+2013-2012+ +3-2+1。 =(2015-2014)+(2013-2012)++(3-2)+(1-0) =1008 3)计算： 21×20.15+350×2.015+4.1× 201.5+0.03×2015。 =21× 20.15+35 × 20.15+41× 20.15+3× 20.15 =20.15 × (21+35+41+3) =20.15 × 100 =2015 4)计算： 2015×20142015-2014×20152014。 =2015× (20142014+1)-2014 ×(20152015-1) =2015× 20142014+2015-(2014 × 20152015-2014) =2015+2014 =4029 5) 5 个连续奇数的和是 2015，求其中最大的奇数。 【奇偶数】中间数：2015÷ 5=403 最大者： 403+2+2=407 答：最大的奇数为407。 6)若将 2015 分解成 5 个自然数的和，则这 5 个自然数的积是“奇数”，“偶数”，还是“奇数或偶数”？ 5 个奇数的【奇偶数】 5 个自然数之和为 2015，是奇数，所以其中有奇数个奇数。如果全为 话，其积为奇数；如果不全为奇数的话，其积为偶数。答：这五个自然数的积是奇 数或偶数。 7)若 a 是质数， b 是合数，试写出一个合数 (用 a， b 表示 )。 【质数与合数】 答： ab 为合数。 8)1， 3， 8，23，229，2015 的和是奇数还是偶数？ 【奇偶数】其中有 5 个奇数，所以和为奇数。 答：和是奇数。 9)有两个自然数，它们的最大公约数是 14，最小公倍数是 210，问：这样的自然数有多少组？ 【最大公约数与最小公倍数】 210=14× 1×3× 5 14,210; 42,70 答：这样的自然数有两组。 10)由 2，0，1，1 可以组成多少个读法中只有一个“ 1”的两位小数？ 【数的读法】十位的 1 可以读作十，把 1 放在十位就可以了。所以共有 6 个，它们是：12.01； 12.10; 11.02; 11.20; 10.12; 10.21 2015四年级希望杯培训100题 1、计算：()3712346292468?÷? 2、求999299199999+++++Λ的值 3、求()()()()201420135443321÷÷÷÷÷÷÷÷÷Λ的值。 4、定义运算：6-+=?b a b a ，ab b a b a ++=⊕22，求()[]84822÷⊕?⊕的值 5、有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7 ，求除数。 6、已知两个数的和为150，且大数是小数的4倍，求这两个数的差。 7、两个自然数的积为29，求这两个自然数的和除以这两个自然数的差所得的余数。 8、一个数乘以4 ，除以7 ，再乘以3，再减去7结果为41。求这个数。 9、小虎在做一道带余除法的习题时，把被除数127写成了172，结果商比原来多9，但余数没有改变。求余数的值。 10、被3除余2 ，且能被5整除的两位数有多少个？ 11、求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小的四位数。 12、两个整数的和是26，乘积是153，求这两数中较大的。 13、从小到大排列的5个数，它们的平均数是16，已知前3个数的平均数是12 ，后3个数的平均数是19，求第3个数。 14、2015个数的平均数是2014，其中2012个数的平均数是2011 ，求另外3个数的平均数。 15、五个数7，11，x，3 x，23的平均数是22，求x。 16、一个两位的质数，若将它的个位数字和十位数字交换位置后，得到的数字仍然是一个质数，我们称它为“无暇质数”，求共有多少个两位的“无暇质数”。 17、一个质数的2倍和另一个质数的5倍的和是36 ，求这两个质数的乘积。 18、由小于10的质数组成，且各个数位时数字均不相同的偶数有多少个？ 19、有一个两位数，分别在这个数的左边、中间、右边写一个1得到三个三位数，若这三个三位数的和是1257，求原来的两位数。 20、一道两位数乘两位数的乘法计算题，如果把一个因数的十位数5看成3计算，得到的结果是504，比正确结果少280 ，求这两个因数。 21、b a 8是三位数，并且8=+b a ，问这样的三位数有多少个？其中，最小数和最大数各是多少？ 22、若d a c b <<<，10<+++d c b a ，求四位数abcd 中最小的偶数。(完整)2018四年级希望杯考前100题word版
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