《离散数学》全程练习册(2011)答案(讲解用)

第1章 命题逻辑

一、单项选择题

1．下列语句中不是命题的有（ C ）. A 9+5≤12 ； B. 1+3=5；

C. 我用的计算机CPU 主频是1G 吗？；

D.我要努力学习。

2. 下列语句是真命题为( C )．

A. 1+2=5当且仅当2是偶数

B. 如果1+2=3，则2是奇数

C. 如果1+2=5，则2是奇数

D. 你上网了吗？ 3. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是

( D )

0,0,1)D (0

,1,0)C (1

,0,0)B (0

,0,0)A (

4. 命题公式Q Q P

→∨)(为 ( B )

(A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 5. 下列命题公式等值的是( C )

B

B A A Q

P Q Q P Q B A A B A A Q

P Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧?6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( B )

Q

P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A (7．设P ：我听课，Q ：我看小说．命题

“我不能一边听课，一边看小说”的符号为（D ） A. Q P ?→ ； B. Q P →?； C. P Q ?∧? ； D. )(Q P ∧?

8. 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( A )．

(A) Q P ?∧ (B) Q P ∧?

(C) Q P ∨? (D) Q P ?∨

9. 前提为：P Q P ,?→；则有效结论是( A,D )． (A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q 10．下列表达式正确的有（ A, C ）

A.

Q Q P ??→?)(； B. P Q P ?∨

C.P Q P Q P

??∧∨∧)()(

D. ()1P P Q →→?

11．n 个命题变元可产生（ D ）个互不等值的极小项。 A ． n ； B ．n 2 ； C ． 2n ； D ． 2n

二、填空题

1. 设命题公式G ：P →? (Q →P)，则使公式G

2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船又跑步”可符号化为

3. 设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我会同意他请假. 则命题“如果他生病或出差了，

4. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是

5. 若命题变项P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝

)())((Q P R Q P ∨??→∧

6. 命题公式P →?(P ∧Q )

7. P,Q 为两个命题，当且仅当1，当且仅当P ∨Q 的真值为0．

8. 给定两个命题公式A ，B ，若A ?B ?1, 则称A 和B 时等值的，记作A ?B ． 9. 任意两个不同极小项的合取为永假式 ，全体极小项的析取式为永真式． 三、计算题

1. 判断命题公式的类型.

(1) (P ∧Q →R)→P ∧Q ∧?R ； (2) P →(P ∨Q ∨R)

2. 通过求命题公式(P ∨Q)→R 的主合、析取范式，求其真值为0的真值指派． 解 方法1．等值演算法．

(P ∨Q)→R ??(P ∨Q)∨R ?(?P ∧?Q)∨R ?(?P ∨R)∧(?Q ∨R)

?(?P ∨(Q ∧?Q)∨R)∧((P ∧?P)∨?Q ∨R) ?)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P ∨?∨?∧∨?∨∧∨?∨?∧∨∨?

?)()()(R Q P R Q P R Q P ∨?∨∧∨?∨?∧∨

∨?

于是主合取范式为：(P ∨Q)→R ? M 2∧ M 4∧M 6?

)6,4,2(∏

成真赋值000，001，011，101，111转为十进制数分别为0，1，3，5，7；分别对应于极小项m 0，m 1，m 3，m 5 ，m 7于是主析取范式为：(P ∨Q)→R ? m 0∨m 1∨m 3∨m 5∨m 7

?

)

7,5,3,1,0(∑

四、构造下面推理的证明：

1.前提：R →?Q ，R ∨S ，S →?Q ，P →Q ．

结论：?P ． 证明 ① R →?Q 前提引入 ②S →?Q 前提引入 ③ R ∨S 前提引入 ④?Q ∨ ?Q ①②③构造性二难 ⑤?Q ④置换

⑥ P →Q 前提引入

⑦ ?P ⑤⑥拒取式 2.

Q S P P

R R Q S ?→??∨?→∧,,)(

证明①P ?

前提引入 ②

P R ∨?

前提引入

③

R ?

①②析取三段论 ④R Q S

→∧)(

前提引入 ⑤)(Q S ∧?

③④拒取式 ⑥Q S ?∨?

⑤置换 ⑦S

附加前提引入 ⑧

Q ?

⑥⑦析取三段论

3.

F A F E D D C B A →?→∨∧→∨,

证明： ①A 附加前提引入

②B A ∨

①附加 ③D C B A ∧→∨

前提引入 ④D C ∧

②③假言推理 ⑤D

④化简 ⑥E D ∨

⑤附加 ⑦F E D →∨

前提引入 ⑧

F

⑥⑦假言推理

第3章 集合及其运算

一、单项选择题

1. 设集合A={1,a}，则P(A)=( C )． A. {{1},{a}}

B. {?,{1},{a}}

C. {?,{1},{a,},{1,a}}

D. {{1},{a},{1,a}}

2. 设A,B,C 为任意三个集合，下列命题正确的是( C )． A. 若A ?B=A ?C ，则B=C B. 若A ?B=A ?C ，则B=C

C. 若～A ?B=E 且A ?B ，则A=B

D. 若A －B ＝?，则A=B 3. 设A,B,C,D 为任意四个集合，下列命题正确是( A )．.

A. (B ?C)×A=(B ×A)?(C ×A)

B. (A ×B)×C ＝A ×(B ×C)

C. (B ?C)×A=(B ×A)?(C ×A)

D. A ?C 且B ?D ，则A ×C ＝B ×D

4. 设a 是集合A 的元素，则以下正确的是( B )

A

a A a A a a a ∈???}){D ()C (}){B (}){A (5. 设集合A={1,2,3,4},B ＝{2,4,6,9}，那么集合A ，B 的对称差A ⊕B ＝( C )

(A) {1,3} (B) {2,4,6} (C) {1,3,6,9} (D) {1,2,3,4,6,9}

6. 设集合A ＝{{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，则下列各式为真的是(B )

(A) 1∈A (B) {{4,5}}?A

(C) {1,2,3}?A (D) ?∈A

7. 设A, B, C 都是集合，如果A ?C ＝B ?C ，则有( C ) (A) A ＝B (B) A ≠B

(C) 当A －C ＝B －C 时,有A=B (D) 当C=U 时, 有A ≠B

8. 设集合A ＝{?，a}，则P(A)＝ ( D )

}},{},{},{,){D (}}}},{,{},{},{,){C (}},{},{},){{B (}},{},{,){A (a a A a a a a a a ??????????

9. 设A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，C={2，3}，则（A ∪B ）⊕C 为（ C ） (A) {1，2} (B) {2，3} (C) {1，4，5} (D) {1，2，3} 二、填空题

1.设A, B 代表集合，命题A -B =??A=B

2. 设A, B 为任意集合，命题A -B =??A?B

3. 设集合A={?,{a}}，则A

的幂集 4. 设集合

5. 设集合A ＝{1,2,3,4}，B={a 6 由集合的吸收律，(A ?B)?7 有序对=三、计算题 1.设

},{},,,{},,{},,,,,{42=521=41=54321=C B A E ,

求 (A ?B)?~C ，P(A)－P(B)，A ⊕B ． (A ?B)?~C={1,3,5} P(A)－P(B) ={{4},{1,4}} A ⊕B={2,4,5}

第4章 二元关系与函数

一、单项选择题

1. 设集合A={1,2,3,4}，A 上的二元关系R={<1,2>,<1,4>,<2,4>,<3,3>}，S={<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,2>}． 则关系( B )={<1,4>,<2,4>} A. R ?S B. R ?S C. R －S D. S －R

2. 设集合A={a,b}上的二元关系R={,}，则R ( C )． A. 是等价关系但不是偏序关系 B 是偏序关系但不是等价关系

C. 既是是等价关系又是偏序关系

D. 既不是等价关系又不是偏序关系 3. 设函数f ：R →R ，f(a)=2a+1；g ：R →R ，g(a)=a 2，则( C )有反函数． A. g ?f B. f ?g C.f D. g ?

4. 设集合A ＝{0,b},B={1,b,3},则A ?B 上的恒等关系是 ( B ). (A) {<0,0>,<1,1>,<3,3>} (B){<0,0>,<1,1>,,<3,3>} (C) {<1,1>,,<3,3>} (D) {<0,1>,<1,b>,<3,0>}

5. 已知集合A ＝{a,b,c}上的二元关系R 的关系矩阵

M R ＝???

?

???

???001011010，那么R ＝

( D )，

(A) {,,,} (B) {,,,}

(C) {,,,} (D) {,,,} 6. 设A={a ，b ，c}，R={，}，则R 具有性质（ C ）

(A) 自反的 (B) 反自反的 (C) 反对称的 (D) 等价的

7. 设R 是集合A 上的二元关系，I A 是A 上的恒等关系，如果R ?I A ，则下面四个命题中为真的是（ A ）

(A) R 不是自反的 (B) R 不是传递的 (C) R 不是对称的 (D) R 不是反对称的

8 设函数f ：N →N ，f(n)=n+1，下面四个命题中为真的是（ C ）

(A) f 是满射的 (B) f 是双射的 (C) f 是单射函数 (D) f 存在反函数 9.设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A 上包含关系“

?”的哈斯图为（ C ）

二、填空题

1. 设集合A={a,b,c,d}，A 上的二元关系R={,,}，S={,, ,}．则R ?S={}；， R 2= {,,}．

2. 设集合A={1,2,3,4}，A 上的二元关系R={<1,1>,<1,3>,<2,1>,<3,3>,<3,4>,<4,3>}，则逆关

系R

－1

的关系矩阵1-R M =

?

????

???????0100

11010000001

1

．

R

－1

的关系图为 ．

3. 设集合A={a,b,c}上的二元关系R 的关系矩阵M R

=???

?

??????000100011，则R 具有的性质是

反对称性 且对称闭包M

=

????

?

?????01

101011 4. 设集合A={a,b}，B={1,2}，则从A 到B 的所有函数是f 1={,}, f 2={,},

f 3={,}, f 4={,}；其中双射有f 2={,}, f 3={,}

5. 设A ，B 为有限集，且|A|=m,|B|=n,那末A 与B 间存在双射，当且仅当 m=n ．

6. 如果关系R 是传递的， 则R ?R ? R ．

7. 设集合A={1,2,3,4 }, B={6,8,12}, A 到B 的关系R ＝

},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><,

那么R －

1＝{<6,3>,<8,4>}

1 4

三、计算题

1. 设集合A={a,b,c,d}上二元关系R 的关系矩阵为M R =?

????

????

???000000001101

0001，求r(R)，s(R)，t(R)

并画出R ，r(R)，s(R)，t(R)的关系图． 解 由M R 写出R 的集合表达式， R={,,,}．于是

r(R)={ ,,,,,,} r(R)的关系图为 s(R)={ ,,,，,,} S(R)的关系图为 t(R)=R ?R 2?R 3 = ={ ,,,}?{ ,,}?{ ,}={ ,,,} t(R)的关系图为

解:哈斯图如右．

极大元：1,5, 6 极小元：0 最大元：无 最小元：0

3 设集合A={0,1,2,3,4}，定义A 上的二元关系R ＝{?x,y ∈A ∧(x=y ∨x+y ∈A)} 试写出二元关系R 的集合表达式，并指出R 具有的性质． 解: 由题设， R ＝I A ?{<0,1>,<1,0>,<0,2>,<2,0>,<0,3>,<3,0>,<0,4>,<4,0>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>} 易知，R 具有自反性和对称性． 4.设A={1，2，3，4}，S={{1}，{2，3}，{4}}，为A 的一个分划，求由S 导出的等价关系. 解: R ＝I A ?{<2,3>,<3,2>} 5 设Ｚ为整数集，关系

)}(mod ,|,{k b a Z b a b a R ≡∧∈><=为Z

上等价关系，求R 的模K 等价关系的商集Z/R. Z/R={[0],[1],…,[k-1]}

6设A={1，2，3，4，5}，A 上的偏序关系为

求A 的子集{3，4，5}和{1，2，3}，的上界，下界，上确界和下

确界。

解：子集

{3，4，5}的上界是3和1，无下界，上确界是3，无下a b c d

图4－5 r(R)的关系图

a b c d

a b c d

图4－6 s(R)的关系图 6? 5? ?4 3? 2? ?1 0?

确界。

子集{1，2，3}的上界是1，下界是4，上确界是1，下确界是4。

第五章 群

一、单项选择题

1. 设集合A 和二元运算*，可交换的二元运算是( A )．

A 设A ＝P({x,y}),?a,b ∈A,a*b=a ?b

B 设A={1,－1,2,3,4,－5}，?a,b ∈A,a*b=∣b ∣

C 设A ＝M n (R),运算*是矩阵的乘法

D 设A=Z (整数集合), ?a,b ∈A,a*b=a+2b 2.设集合A ＝{1,2,…,10},下面定义的二元运算*关于集合A 不封闭的是( D ) A x*y=max {x,y} B x*y=min {x,y} C x*y=gcd {x,y}最大公约数 D x*y=lcm {x,y}最小公倍数 3. 下列代数系统能构成群的是( A )．

A 一元实系数多项式集P(x)(含0多项式),运算*是多项式加法

B 一元实系数多项式集P(x) (含0多项式),运算*是多项式乘法

C 正实数集合R +，,运算*是数的除法

D 设Q +为正有理数集，运算*为普通减法

4. 设A ＝Q ×Q ，其中Q 是有理数集，定义A 上的二元运算*为:),,(b a ?

A y x ∈),(,),(),(),(b ay ax y x b a +=*,则(1,2)*(3,4)=( D )

)6,3)(D ()8,6)(C ()1,5)(B ()10,3)(A (-

5. 下列集合和运算能构成群的是 ( A )．

(A) (M n (R),+),其中M n (R)是定义在实数集上的n 阶矩阵，＋是普通加法 (B)(A,+),其中A ＝{0,±1,±2,…,±n},+是普通加法

(C)({

2

1

,0,2},+),其中＋是普通加法 (D) ({0,1,2,3},?),其中运算?是模4乘法

6. 在自然数集N 上定义的二元运算*，满足结合律的是( C )

b

a b a b a b a b a b a b a b a -=*=*2+=*-=*)D (}

,max{)C ()B ()A (

7. 以下代数系统中，只是半群的为( B )． (A) (Z ，?)，其中Z 是整数集，?a,b ∈Z,a ?b=a+b －2 (B) (Z ，?)，其中Z 是整数集，?a,b ∈Z,a ?b=b (C) (Z ，?)，其中Z 是整数集，?a,b ∈Z,a ?b=a+b －ab

(D) (R －{0}，?)，其中R 是实数集，?a ，b ∈R,a ?b=ab 8. 以下群中，是循环群的为( A )． (A) (Z ，+)，其中Z 是整数集，+是数的加法 (B) (Q +，×)，其中Q +是正有理数集，×是数的乘法 (C) (Q ，+)，其中Q 是有理数集，+是数的加法

(D) (P(A),⊕)，其中A={a,b},P(A)是A 的幂集，⊕是集合的对称差运算

9设[{a , b , c}，*]为代数系统，*运算如下：

则零元为（ C ）。

A 、a ；

B 、b ；

C 、c ；

D 、没有。

二、填空题

1. 设R 是实数集，?a,b ∈R,定义二元运算*：a*b=a+b+ab,已知0∈R

是其单位元，那么?a ∈R,但a ≠－1，则a 2. 设(R *,ο)是代数系统，其中R *＝R －{0}，二元运算ο定义为ab b a R b a =∈?ο,,*

,那么，

a R a ,

*∈?3.

?为：,,A b a ∈?a ?b=}

,m in{b a ，则?的运

算表为

4. 设S 是非空有限集合，P(S)是S 的幂集，则代数系统 三、计算题

1. 设代数系统(A,*)，其中A ＝{a,b,c},*是A 上的一个二元运算，对于由下表确定的运算，试分别讨论它们的交换性、幂等性以及在A 中关于运算*是否有幺元．如果有幺元，那么A