职高数列知识点及例题(有答案)

数列

一、数列的定义：按一定顺序排列成的一列数叫做数列． 记为：{a n }．即{a n }: a 1, a 2, … , a n ．

二、通项公式：用项数n 来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。

1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数．

2、通项公式: a n =f(n)是a n 关于n 的函数关系． 三、前n 项之和：S n = a 1+a 2+…+a n

注求数列通项公式的一个重要方法：???≥-==-)2()1(11

n s s n s a n n

n

例1、已知数列{100-3n}，

（1）求a 2、a 3；（2）此数列从第几项起开始为负项．

例2已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式： （1） n S =n 2+2n ；（2）n S =n 2-2n-1. 解：（1）①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1； ②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；

③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴n a =2n+1为所求.

（2）①当n ≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3； ②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2；

③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴n a =?

??≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求． 注：数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关

系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥，求通项时一定要验证1a 是否适合

例3当数列{100-2n}前n 项之和最大时，求n 的值．

分析：前n 项之和最大转化为1

0n n a a +≥??≤?．

等差数列

1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即：)()(1?+∈=-N n d a a n n 常数

2.通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+=．

3.求和：

d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=．（关于n 的没有常数项的二次函数）． 4.中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c

5.等差数列的判定方法

(1)定义法: )()(1?+∈=-N n d a a n n 常数 (2)中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 练习：已知数列{ a n }满足：a 1=2,a n = a 1+n +3,求通项a n ．

例1在等差数列{}n a 中,已知.,63,6,994n S a a n 求=-==

解:设首项为1a ,公差为d ,

则???-==?

??+=-+=3188639111d a d a d a 得76:)1(23

1863==--==∴n n n n n S n

或得 例2（1）设{a n }是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，

求这个数列的首项．

分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a-d ，a ，a+d

拓展：（1）若n+m=2p ，则a n +a m =2a p ．

推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：14710,,,,a a a a ???（下标成等差数列）

（2）等和性：m n p q a a a a +=+*(,,,,)m n p q N m n p q ∈+=+ （3） ,,,232n n n n n S S S S S --组成公差为d n 2的等差数列. （4）a n =a m +（n-m ）d

例1 （1）已知a 3+a 11=20，求a 7．

（2）已知3a +4a +5a +6a +7a ＝450, 求2a +8a 及前9项和9S ．

解由等差中项公式：3a +7a ＝25a ，4a +6a ＝25a

由条件3a +4a +5a +6a +7a ＝450, 得：55a ＝450, ∴2a ＋8a ＝25a ＝180.

9S ＝199

()2

a a +810

等比数列

1．定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的

数列称作等比数列.

)(1

为不等于零的常数q q a a n

n =+ 2．通项公式：11-=n n q a a ,推广形式:m n m n q a a -=．

3．前n 项和：?????≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a q

q a q na S n n

n 且

注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时

候要分类讨论．

4．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即ab G =2

（G =． 5．等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列{}n a ，若

)0(1

≠=+q q a a n

n ，则数列{}n a 是等比数列. ②等比中项：对于数列{}n a ，若2

12++=n n n a a a ，则数列

{}n a 是等比数列． 例1等比数列中1a =2, 3a =8，求通项公式；

解：24213±=?=?=q q q a a n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或 例2在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20.

解解方程组可得：q 4

=2，1

11a q

=--， 解法2 由n S ，n S 2－n S ，n S 3－n S 2，…成等比数列计算．

在等比数列{}n a 中有如下性质: （1）若n+m=2p ，则a n a m =(a p )2。

推广：从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：14710,,,,a a a a ???（下标成等差数列）

（2）等积性:m n p q a a a a ?=?（,,,,m n p q m n p q N *+=+∈）． （3）a n =a m q m n -

例1在等比数列{}n a 中，1633a a +=，3432a a ?=，1n n a a +<， （1）求n a ；（2）若12lg lg lg n n T a a a =+++ ，求n T .

解（1）62n n a -= （2）21

11

()lg 222

n T n n =-+ 例21237a a a ++=，1238a a a ??=，求n a .

解：设{a n }的公比为q ，由题意知

?????=??=++,

8,721112

111q a q a a q a q a a 解得???==2,11q a 或??

?

??==.21,

41q a ∴12n n a -=或31()2n n a -=

数列综合运用

例1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q ．

解: 设等差数列的通项a n = a 1+(n-1)d (d ≠0).

根据题意得 a 32 = a 2a 6即(a 1+2d)2 = (a 1+d)(a 1+5d),

解得d a 21

1

-=.所以.32

1221

21123=+-+-=++==d d d

d d a d a a a q

例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一

个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．

解：设这四个数为：2

(),,,a d a d a a d a +-+，则2

()

16212

a d a d a a d ?+-+=??

?+=?

解得：48a d =??=?或9

6a d =??=-?

，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1．