2020-2021学年高三物理一轮复习考点专题18 万有引力定律及应用

2021年高考物理一轮复习考点 专题（18）万有引力定律及应用（解析版）

考点一 开普勒三定律的理解和应用 1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.

2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．

3．开普勒第三定律a 3

T

2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同．故该定律只能用在

同一中心天体的星体之间． 题型1 对开普勒定律的理解

【典例1】 (多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )

A ．从P 到M 所用的时间等于T 0

4

B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大

C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小

D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 【答案】CD

【解析】由开普勒第二定律可知，海王星在PM 段的速度大小大于MQ 段的速度大小，则P 到M 所用时间小于M 到Q 所用时间，所以P 到M 所用的时间小于T 0

4，A 错误；由机械能守恒定律知，从Q 到N 阶段，机械能

守恒，B 错误；从P 到Q 阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小，C 正确；从M 到N 阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D 正确． 题型2 开普勒定律的应用

【典例2】利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )

A．1 h B．4 h

C．8 h D．16 h

【答案】B

【解析】设地球半径为R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示．由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r＝2R.设地球自转

周期的最小值为T，则由开普勒第三定律可得，6.6R3

242 h2

＝

2R3

T2

，解得T≈4 h，选项B正确．

【变式1】牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落点一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星，如图所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动．下列说法正确的是( )

A．地球的球心与椭圆的中心重合

B．卫星在近地点的速率小于在远地点的速率

C．卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度

D．卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积

【答案】C

【解析】卫星围绕地球做椭圆运动，地心是椭圆轨道的一个焦点，选项A错误；根据开普勒第二定律，卫

星与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等，则卫星在近地点的速率大于在远地点的速率，选项B 、D 错误；由牛顿第二定律可知，

GMm

r 2

＝ma ，即卫星在近地点的加速度大于在远地点的加速度，选项C 正确． 【变式2】(多选)行星绕太阳公转轨道是椭圆，海王星公转周期为T 0，其近日点距太阳的距离为a ，远日点距太阳的距离为b ，半短轴的长度为c ，如图所示．若太阳的质量为M ，万有引力常数为G ，忽略其他行星对它的影响，则( )

A ．海王星从

B →

C →

D 的过程中，速率逐渐变小 B ．海王星从A →B →C 的过程中，万有引力对它做负功

C ．海王星从A →B 所用的时间等于T 0

4

D ．海王星在B 点的加速度为

4GM

b －a

2

＋4c

2

【答案】BD

【解析】海王星从B →C →D 的过程中，万有引力对它先做负功再做正功，速率先变小再变大，选项A 错误；海王星从A →B →C 的过程中，万有引力对它做负功，选项B 正确；海王星从A →C 的过程中所用的时间是1

2T 0，

由于海王星从A →B →C 的过程中，速率逐渐变小，从A →B 与从B →C 的路程相等，故海王星从A →B 所用的时间小于T 0

4，选项C 错误；设B 到太阳的距离为r ，则r 2＝c 2

＋

b －a

2

4

，由牛顿第二定律

GMm

r 2

＝ma ，故海王星在B 点的加速度a ＝

4GM

b －a 2＋4

c 2

，选项D 正确．

考点二 万有引力定律的应用 天体质量和密度常用的计算方法

使用

方法

已知量

利用

公式

表达式

备注

题型随地、绕地问题

【典例3】2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功将硬X射线调制望远镜卫星“慧眼”发射升空，卫星顺利进入预定轨道．此次发射任务圆满成功，填补了我国空间X射线探测卫星的空白，实现了我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越．已知“慧眼”卫星A 做圆周运动的轨道半经约为地球半径的1.1倍，地球同步卫星B做圆周运动的轨道半径约为地球半径的6.6倍，C为赤道上某建筑物，则( )

A．A和B的线速度之比约为1∶6

B．B和C的向心加速度之比约为1∶6.6

C．A和C的角速度之比约为6∶36

D．A和C的向心加速度之比约为237.6∶1

【答案】D

【解析】根据v＝GM

r

可知，A和B的线速度之比约为v A∶v B＝ 6.6R∶ 1.1R＝6∶1，选项A错误；

B和C的角速度相同，根据a＝ω2r可知B和C的向心加速度之比约为a B∶a C＝6.6R∶R＝6.6∶1，根据a＝

GM r 2可知，a A∶a B＝6.62∶1.12＝36∶1，则a A∶a C＝237.6∶1，选项B错误，D正确；根据ω＝

GM

r3

可知，ω

A∶ωC＝ωA∶ωB＝ 6.6

3∶ 1.13＝66∶1，选项C错误．

【典例4】“嫦娥三号”探月卫星在西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆．已知月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期为T1；“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的半径为r2、周期为T2.引力常量为G，不计周围其他天体的影响，下列说法正确的是( )

A ．根据题目条件能求出“嫦娥三号”探月卫星的质量

B ．根据题目条件能求出地球的密度

C ．根据题目条件能求出地球与月球之间的引力

D ．根据题目条件可得出r 31T 21＝r 32

T 22

【答案】C

【解析】做圆周运动的卫星的质量都被化简掉了，无法求解“嫦娥三号”探月卫星的质量，A 错误；月球绕

地球做圆周运动，有G M 地M 月r 21＝M 月2πT 12r 1，可得M 地＝4π2r 3

1

GT 21

，由于不知道地球的半径，无法求解地球的密度，

B 错误；利用绕月球做圆周运动的“嫦娥三号”卫星，可求月球的质量，借助万有引力公式F ＝G

M 地M 月

r 21

可求地球与月球之间的引力，C 正确；月球和“嫦娥三号”卫星的“中心天体”不同，故r 31T 21≠r 32

T 22

，D 错误．

【提 分 笔 记】

计算天体质量和密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力计算天体质量时，计算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．

(2)区分中心天体半径R 和环绕天体轨道半径r ，只有在中心天体表面附近的环绕天体才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43

πR 3

中的R 是中心天体的半径．

(3)天体质量计算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等．

【变式3】(多选)近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m 、半径为R 、自转周期为T ，引力常量为G ，下列说法正确的是( )

A ．如果该星体的自转周期T <2π

R 3

Gm

，则该星体会解体 B ．如果该星体的自转周期T >2π

R 3

Gm

，则该星体会解体 C ．该星体表面的引力加速度为Gm R

D ．如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，则该卫星的速度大小为

Gm R

【答案】AD

【解析】如果在该星体“赤道”表面有一物体，质量为m ′，当它受到的万有引力大于跟随星体自转所需要

的向心力时，即G mm ′R 2>m ′R 4π

2

T

2时，有T >2π

R 3

Gm

，此时，星体处于稳定状态不会解体，而当该星体的自转周期T < 2π

R 3Gm 时，星体会解体，故选项A 正确，B 错误；在该星体表面，有G mm ′

R

2＝m ′g ′，所以g ′＝G m R 2，故选项C 错误；如果有质量为m ″的卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，有G mm ″R 2＝m ″v 2

R

，解得v ＝

Gm

R

，故选项D 正确． 【变式4】我国计划发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间

t (小于绕行周期)，运动的弧长为s ，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G ，则( )

A ．探测器的轨道半径为θ

t

B ．探测器的环绕周期为πt

θ

C ．月球的质量为s 3

Gt 2θ

D ．月球的密度为3θ

2

4Gt

【答案】C

【解析】利用s ＝θr ，可得轨道半径r ＝s

θ，选项A 错误；由题意可知，角速度ω＝θt

，故探测器的环绕周期T ＝2πω

＝ 2π θt

＝2πt θ，选项B 错误；根据万有引力提供向心力可知，G Mm r 2＝m v 2

r ，再结合v ＝s

t

可以求

出M ＝v 2r G ＝s t 2·

s θG ＝s 3

Gt 2θ

，选项C 正确；由于不知月球的半径，所以无法求出月球的密度，选项D 错误．

【变式5】(多选)在圆轨道上做匀速圆周运动的航天器内，下列说法正确的是( )

A ．航天器内的人能“漂浮”在空中，被称为完全失重，但这个人还是受到地球的万有引力作用

B ．可以用弹簧测力计测量物体受到的重力

C ．可以用弹簧测力计测拉力的大小

D ．可以用托盘天平测量物体的质量 【答案】AC

【解析】在圆轨道上做匀速圆周运动的航天器内的物体处于完全失重状态，地球的万有引力完全提供物体的向心力，故用弹簧测力计无法测量物体受到的重力，也无法用托盘天平测量物体的质量，但可以用弹簧测力计测拉力，选项A 、C 正确，选项B 、D 错误．

【变式6】“嫦娥一号”探月飞行器绕月球做匀速圆周运动，为保持轨道半径不变，逐渐消耗所携带的燃料。若轨道距月球表面的高度为h ，月球质量为m 、半径为r ，引力常量为G ，下列说法正确的是( ) A.月球对“嫦娥一号”的万有引力将逐渐减小 B.“嫦娥一号”绕月球运行的线速度将逐渐减小 C.“嫦娥一号”绕月球运行的向心加速度为Gm (r+h )

2

D.“嫦娥一号”绕月球的运行周期为2π√

r 3

Gm

【答案】AC

【解析】飞行器逐渐消耗所携带的燃料，即飞行器质量减小，则万有引力减小，A 正确。轨道半径不变，则

线速度不变，B 错误。由G mm '(r+h )2=m ′a 得a=Gm (r+h )2，C 正确。G mm '

(r+h )

2=m ′4π2

T (r+h)，知T=2π√(r+h )

Gm ，D 错误。

【变式7】发射宇宙飞船的过程要克服引力做功，已知将质量为m 的飞船从距地球中心无限远处移到距地球中心为r 处的过程中，引力做功为W=G Mm r ，飞船在距地球中心为r 处的引力势能公式为E p =-G Mm

r ，式中G

为万有引力常量，M 为地球质量。若在地球的表面发射一颗人造地球卫星，如果发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之外)，这个速度称为第二宇宙速度(也称逃逸速度)。

(1)试推导第二宇宙速度v 的表达式。

(2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030

kg ，求它的最大可能半径。

【答案】(1)v=√2GM R

(2)2.93×103 m

【解析】(1)设无穷远处的引力势能为零，地球半径为R ，第二宇宙速度为v ，则由机械能守恒定律得：1

2mv 2

-G Mm R

=0， 解得：v=√

2GM

R

。 (2)由题意可知，v>c ，即√

2GM

R

>c ， 解得：R<2GM c 2≈2.93×103

m ，

则该黑洞的最大半径为2.93×103

m 。