函数单调性和奇偶性情况总结复习资料

课次教学计划（教案）

课题

函数的单调性和奇偶性

教学目标

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别

2.

结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性

教学策略 重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数

教学策略：讲练结合，查漏补缺

1.例1：观察y=x 2的图象，回答下列问题

问题1：函数y=x 2的图象在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？?随着x 的增加，y 值在增加。

问题2：怎样用数学语言表示呢？

?设x 1、x 2∈[0，+∞]，得y 1=f(x 1), y 2=f(x 2).当x 1

一般地，设函数f(x)的定义域为I ：

如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1

如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

12（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 3.例2.己知函数f （x ）＝－x 2＋2x ＋3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f （x ）＝－x 2＋2x ＋3在区间(-∞,1］上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m ］上是增函数时,求实数m 的取值范围.

1、 用定义判断单调性：

A ． 设所给范围∈21,x x 且21x x <；

B ．计算f (x 1)－f (x 2)=几个因式的乘积形式

C ．判断上述差的符号；

D.下结论。如果)()(f 21x f x <，则函数是增函数；如果)()(f 21x f x >，则函数是减函数

用定义法判断单调性

1．试用函数单调性的定义判断函数2()1

x

f x x =

-在区间（0，1）上的单调性.

解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()

()()11(1)(1)

x x x x f x f x x x x x --=

-=

----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.

所以，函数2()1x

f x x =-在（0，1）上是减函数.

【扩展】

①判断函数x x y 1

+

=在),1(+∞的单调性，并用定义证明之． ②判断函数x

x y 1

+=在)1,0(的单调性，并用定义证明之．

求单调区间

1. 判断函数y ＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）的单调性______________________

2. 已知2

31

2)(+-=x x x f ，指出()f x 的单调区间_________________________________.

根据图像判断单调性 （看图像，向上趋势的就是增函数，向下趋势的就是减函数；）

1 已知函数32)(2--=x x x f ．

（1） 画出该函数的图象；（2）写出函数的单调区间．

1．已知2,m <-点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数2

2y x x =-的图像上，则

A ．123y y y <<

B ．321y y y <<

C ．132y y y <<

D ．213y y y << （ ）

根据单调性求参数的取值范围

1.若函数12)(-=

x ax

x f 在),1(+∞上为增函数，求实数a 的取值范围______________________． 2. 如果函数1)12(2

+-+=x a x y 在区间[]2,2-上为减函数，求实数a 的取值范围

3 设函数()()2

2

31f x x a x a =--+在区间()1,+∞

上是增函数，求实数a 的取值范围。

4.若ax x x f 2)(2

+-=与1

)(+=

x a

x g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值范围是____________。 5.若函数2)(+-=b x a x f 在[)+∞,0上为增函数,则实数b a ,的取值范围是 （ ） .

利用单调性判断函数值

例6.己知函数y=f(x)在［0,十∞)上是减函数,试比较f(4

3

)与f(a 2一a 十1)的大小.

函数的值域

二、新知导航：

1. 函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值．

【例1】画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3

[1,2]f x x x =-+∈-

③2

()21f x x x =++ ④2

()21[2,2]f x x x x =++∈-

2. 注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥． ③利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．1 （1）配方法 （2）换元法 （3）数形结合法

【例2】求函数2

1

y x =-在区间[2，6] 上的最大值和最小值

【例3】求函数y x =+

三、经典范例：

【例1】求函数26

1y x x =++的最大值.

解：配方为2613()24y x =++，由2133

()244x ++≥，得260813()24x <

≤++. 所以函数的最大值为8. 【例2】

1. 已知函数32)(2

--=x x x f ，求出函数的最值____________________________； 2. 已知函数32)(2--=x x x f ，]4,0[∈x 求出函数的最值_______________________； 3. 已知函数32)(2--=x x x f ，]4,2[∈x 求出函数的最值_______________________; 【扩展】

① 已知函数22)(2

+-=mx x x f 在)2,(-∞上是减函数，在),2(+∞上是增函数，求实数m 的值；并根据所

求的m 的值求函数在),(+∞-∞上的最值．

②已知函数32)(2-+=x x x f ．

（1）写出该函数的单调区间；（2）求函数在区间[]2,2-∈x 上的最值．

③已知函数x

x x f 22)(+

=． （1）试讨论函数在),0(+∞∈x 上的单调性，并证明之； （2）由（1）试求函数在),0(+∞上的最值．

【例3】求函数21y x x =+-的最小值.

解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.

点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.

【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115

222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0

t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.

【例4】求下列函数的最大值和最小值：

（1）253

32,[,]22

y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.

解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b

x a

=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 9

4

y =-.

所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为9

4-.

四、课堂练习

1. 已知函数2+=kx y ，[)+∞∈,0x ，下列说法中正确的是（ ） （A ）函数有最大值2 （B ）函数有最小值2

（C ）当0>k 时函数有最大值2 （D ）当0

2. 已知函数2)(2++=mx x x f 在)1,(-∞上是减函数，在),1(+∞上是增函数，求实数m 的值；并根据所求的m 的值求函数在),(+∞-∞上的最值．_________________________________________________

3. 已知函数222+-=x x y ，[]2,3-∈x ，求该函数的最值___________________________________________

4. 已知函数32)(2--=x x x f ．

（1）写出该函数的单调区间；（2）求函数在区间[]5,1-∈x 上的最值．

6. 函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ ）.

A ．1a <

B ．1a ≤

C ．1a >

D ． 1a ≥

7. 23

()1,

[0,]2

f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ ）.

A. 有最大值34，但无最小值

B. 有最小值3

4

，有最大值1

C. 有最小值1，有最大值19

4

D. 无最大值，也无最小值

8. 函数3y x = .

9. 已知函数21

42

a y x ax =-+-+在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a 的值.

函数的奇偶性

1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。

2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？

轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合） 中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转?180，能够与另一图形重合） 这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性

1.偶函数 （1）观察函数y=x 2的图象（如右图）①图象有怎样的对称性？②从函数y=f(x)=x 2本身来说，其特点是什么？

?当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。 例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；f(-1)=1，f(1)=1，

即 f(-1)= f(1)，……

由于（-x ）2=x 2 ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=x 2的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=x 2的图象上，这时，我们说函数y=x 2是偶函数。 （2）定义：

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function ）。

例如：函数2

()1f x x =+,2

()11

f x x =

+,()f x x =等都是偶函数。 2.奇函数

（1）观察函数y=x 3的图象（投影2）

①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ ?也是一对相反数。

②这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？如果点（x,y ）是函数y=x 3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=x 3的图象上，这时，我们说函数y=x 3是奇函数。 一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有 ，那么

函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。

例如：函数(),()f x x f x x

==

都是奇函数。 3.奇偶性

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。 例1.判断下列函数的奇偶性。

（1）f(x)=x 3+2x; (2) f(x)=2x 4+3x 2; (3) f(x)=x 2+2x+5;

(4) f(x)=x 2,x ()+∞∈,0; (5) f(x)=x 1; (6) f(x)=x+x

1;

分析：① 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；

②函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（x ∈R 或

x ∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数。

③从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；

其次f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

。

，即，)21()21(41)21(41)21(f f f f =-==-)()(x f x f -=-

例2、判断下列函数的奇偶性

（1）2|2|1)(2

-+-=x x x f ； (2）x

x x x f -+-=11)1()(

判断下列分段函数的奇偶性 (1)???<+≥-=)

0()

1()0()1()(x x x x x x x f (2) f(x)=x|x|+x 3

例3.函数f (x )＝1

x －x 的图象关于( ) （判断图像性质）

A ．y 轴对称

B ．直线y ＝－x

C ．坐标原点对称

D ．直线y ＝x

例4、已知函数y=f(x)在R 上是奇函数，而且在()∞+，

0是增函数。证明y=f(x)在()0，∞-上也是增函数。

4.结论： 奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；

偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于Y 轴对称; 奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.

利用函数奇偶性的定义和性质求参数

例1.若函数a x f x

+-=

1

21

)(是奇函数，则=a 例2.若函数??

?

??<+=>-=0,0,0,2)(x b x x a x x x f 是奇函数，则_______=+b a

3、如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____

4.已知函数2

()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=

5.已知5)(3

57++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______

6.若函数2)1()2()(2

+-+-=x k x k x f 是偶函数，则)(x f 的单调递减区间是__________________;

7. 已知函数c bx ax x f ++=2)(．

（1）若函数为奇函数，求实数a ，b ，c 满足的条件； （2）若函数为偶函数，求实数a ，b ，c 满足的条件 【总结】

f ex dx cx bx ax x f +++++=2345)(

若函数是奇函数，则____________________________________________;

若函数是偶函数，则_____________________________________________;

求函数表达式：

2. 已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.

解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.

作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--. 【扩展】

①若函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，2

2)(x x x f -=，试求函数)(x f 在0

判断抽象函数的奇偶性

1.设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）

.A ()()f x f x ?-是奇函数 .B ()()f x f x ?-是奇函数 .C ()()f x f x +-是偶函数

.D ()()f x f x --是偶函数

2.设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论一定成立的是（ ）

A.()|()|f x g x +是偶函数

B.()|()|f x g x -是奇函数

C. |()|()f x g x +是偶函数

D.|()|()f x g x -是奇函数

利用函数的图像比较函数值的大小

例 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有

2121

()()

0f x f x x x -<-则

)1(),2(),3(f f f -的大小关系是_________.

利用奇偶图像判断单调性以及解不等式（数形结合）

1. 若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）.

A. 增函数且最小值是－1

B. 增函数且最大值是－1

C. 减函数且最大值是－1

D. 减函数且最小值是－1

2.若)(x f 为奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，又0)3(=-f ,则0)(

3.已知奇函数)(x f 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为]1,0()0,1[?-，则不等式

1)()(->--x f x f 的解集是（ ）

A.{}011|≠≤≤-x x x 且

B.?

???

??

≤<-<≤-102

11|x x x 或 C.{}01|<≤-x x D.?

?????≤<<≤-12101|x x x 或

题型5：抽象函数的单调性和奇偶性（一般是代入特殊值0,1）

例 1 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ?=+，且当

1x >时()0,(2)1f x f >=，

（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；

1.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，

()1求证：()f x 为奇函数；()2若(3)f a -=，用a 表示(12)f .

2.已知函数)(x f 对任意实数y x ,都有)()()(y f x f xy f +=，且9)27(,1)1(==-f f ，当10<≤x 时，[)1,0)(∈x f 。 （1）判断)(x f 的奇偶性；

（2）判断)(x f 在[)+∞,0上的单调性，并给出证明；

3.定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，有)1()()(xy

y

x f y f x f ++=+. 求证f (x )为奇函数；

4.设函数)(x f 对于任意的R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时0)(

（2）试问当33≤≤-x 时，)(x f 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。

5.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，22)(x x x f +=. （1）当0>x 时，求)(x f 的解析式；

（2）若关于x 的方程a a x f +=22)(有三个不同的解，求a 的取值范围