菱形的性质定理
【作业设计】
1．下列关于菱形对角线的说法不正确的是（ ）．
A ．菱形的对角线互相垂直
B ．菱形的对角线平分各内角
C ．菱形的对角线相等
D ．菱形的对角线交点到各边等距离
2．菱形的周长为32 cm ，一个角的度数是60°，则两条对角线的长分别是( )
A ．8 cm 和34 cm
B ．4 cm 和38 cm
C ．8 cm 和38 cm
D ．4 cm 和34 cm
3．如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，作EF ∥BC ，交AC ?于点F ，如果EF =4，那么CD 的长为（ ）．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，点E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 为（ ）
A ．80°
B ．70°
C ．65°
D ．60°
5．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是( )
A ．梯形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
6．用两个边长为a 的等边三角形纸片拼成的四边形是( )
A ．等腰梯形
B ．正方形
C ．矩形
D ．菱形
7．在四边形ABCD 中，点E ，F 是对角线BD 上的两点，且BE =DF ．则下列结论中，错误的是（ ）
A ．若四边形AECF 是平行四边形，则ABCD 也是平行四边形
B ．若四边形AECF 是矩形，则四边形ABCD 也是矩形
C ．若四边形AECF 是菱形，则四边形ABC
D 也是菱形 D ．若四边形AECF 是正方形，则四边形ABCD 一定是菱形
8．如图，将三角形纸片△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
10．如图在菱形ABCD中，∠A＝72°，请设计不同分法（至少三种）将菱形ABCD分
割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．
参考答案：
1．C 2．C 3．D 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C
9．（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．
又∵AE=t，∴AE=DF
（2）能．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵在Rt△ABC中，∠C=30°
∴AC =2AB
设AB =x ，则AC =2x ，
由勾股定理得：2222-=x x （）（，得x =5，即AB =5
若使AEFD 为菱形，则需101023AE AD t t t ==-=．即，． 即当103
t =时，四边形AEFD 为菱形 10．画法如图所示：
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明(1)
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明（1） 教学目的：1、知识目标：掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。掌握矩形的性质定理 2、能力目标：使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计 算题。 3、情感目标：进一步培养学生独立思考和分析问题的能力 教学重点：矩形的性质及其推论．矩形的判定 教学难点：矩形的本质属性及性质定理的综合应用．矩形的判定及性质的综合应用． 节前预习： 1：矩形的四个角都是． 2：矩形的对角线． 3：直角三角形等于斜边的一半． 4：的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形． 5：的四边形是矩形． 矩形的性质：既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四 边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角 是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．
作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其它几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法． 讲矩形判定定理1，对角线相等的平行四边形是矩形。 已知：在平行四边形ABCD 中，AC=DB ， 求证：平行四边形ABCD 是矩形。 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC 。务员 又∵AC=DB ，BC=CB ， A B ∴△ABC ≌△DCB 。 ∴∠ABC=∠DCB 。 又∵AB ∥DC ， B ∴∠ABC+∠DCB=180°。 ∴∠ABC=90°。 C D ∴四边形ABCD 是矩形。 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形． 归纳矩形判定方法（由学生小结）： 1、一个角是直角的平行四边形． 2、对角线相等的平行四边形． 3、有三个角是直角的四边形． （3）．矩形判定方法的实际应用 除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值． （4）．矩形知识的综合应用。（让学生思考，然后师生共同完成） 例：已知 ABCD 的对角线AC ， BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，cm 4=AB ，求这个平行 求：四边形的面积． 三、课堂训练： 1、矩形的面积是12，一边与一条对角线的比为3∶5，则矩形的对角线长是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．12 2、已知矩形的对角线长为10cm ，那么顺次连接矩形四边的中点所得的四边形的周长为( ) A ．40cm B ．10cm C ．5cm D ．20cm 3、如图，E 为矩形ABCD 的边CD 上的一点，AB ＝AE ＝4，BC ＝2，则∠BEC 是（ ） 学生板书） 题讲解：（强调这种计算题的解题格式，防止学生离开几何元素之间的关系，而单纯进行代数计算） 让学生写出推理过程。 分析解题思路：（1）先判定 ABCD 为矩 形．（2）求出Rt △ ABC 的直角边 BC 的长．（3）求 BC AB S ?=．
九年级数学上册菱形的性质与判定
作品编号：51897654258769315745896 学校：密参录bwt市背合属镇丹面高小学* 教师：性设景* 班级：鹦鹉参班* 《第1章菱形的性质与判定》 一、选择题 1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直 2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（） A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm 3．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm 4．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（） A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC 5．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（） A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A．2 B．3 C． D．2 7．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（） A．18 B．16 C．15 D．14
8．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（） A．20m B．25m C．30m D．35m 9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（） A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60° 10．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（） A． B． C．5 D．4 二、填空题 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为． 12．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC 的长为． 13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）． 14．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是． 15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ． 16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为．
线段中垂线的性质定理
线段中垂线的性质定理 教学目的：1、掌握线段中垂线的性质定理； 2、学会线段中垂线的性质定理在几何证明及计算中的应用。 教学重点：线段中垂线的性质定理 教学难点：例2教学 教学过程： 一、复习引入： 1、 什么叫轴对称图形？ 2、 已知线段AB ，如何作出其对称轴？（学生口述， 教师作图如图1） 这条对称轴就是线段AB 的中垂线。 3、 提出问题：MN 是线段AB 的中垂线，则C 为垂足， C 也是中点，故CA=CB 。 现在，在MN 上任取一点P ，是否也有PA=PB 呢？本 节课我们要进一步研究线段的中垂线。（揭示课题：线段中垂线的性质定理） 二、新课讲授： 1、 线段中垂线的性质定理： 在线段的中垂线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 证明方法：⑴全等证法；（学生口述简证）⑵利用轴对称证法。（学生了解） 2、 线段中垂线的性质定理的应用 Ⅰ图形认识强化： ⑴如图2，已知DF ，EH 分别为AB ，AB 的中垂 线，所能得到的结论是： ⑵如图3，已知AE 是BC 的中垂线，所能得到 的结论是： ⑶如图4，已知DE 是AB 的中垂线，所能得到的结论是： A B C D E 图3B A C E D 图4 Ⅱ例题教学 例1分析： A M N C B P 图1B A E C D 图2
⑴从已知出发考虑问题，AE垂直平分CF能推出什么?AC=AF，从而能更进一步推出 什么？∠AFC=∠ACF. ⑵再从已知考虑问题，由CD⊥AB，能推出∠1与∠AFC有什么关系？由∠ACB=90， 能推出∠2和哪个角互余？ ⑶由∠AFC=∠ACF能推出∠1=∠2吗？根据什么？ 写出规范证明过程. 例2分析： 4 三、练习巩固： 1、P66练习1； 2、P66练习2； 四、课堂小结： 1、线段中垂线的性质定理; 2、要避免在已知线段中垂线条件下不用性质避免而用全等繁证一些结论，例如：上 图3中若要证∠DEC=∠DCE，有同学通过证明△DEC≌△DCE来证，虽能证得，但方法很繁。 3、在已知中垂线的条件下，注意适当添线可创造中垂线性质定理的使用条件，如例2。 五、作业布置： Ⅱ 六、课后记录：
线面垂直的性质定理
2.3.3 直线与平面垂直的性质教学设计课标要求： 以立体几何的定义、公理、定理为出发点，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明。 学情分析： 在学习本节课的内容之前，刚刚学习了直线与平面垂直的定义以及判定定理，在学完判定定理之后紧接着的例1当中我们利用判定定理证明了线线平行的性质定理，即如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面，用符号语言表示为若a//b, a⊥α，则 b⊥α。而我们的直线与平面垂直的性质定理就是将上述命题的中的题设和结论改变一下得到的。所以在前面知识的基础上学习本节课的内容并不是很难。 教材分析： 1.本节的作用和地位：本节课是人教版必修 2 第二章直线与平面垂直的第三课时。空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着重要的地位和作用。 2.本节主要内容：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。 教学目标： 1.知识与技能：掌握直线与平面垂直的性质定理，了解线面关系与线线关系，垂直关系与平行关系之间的转化以及反证法的应用。 2.过程与方法：在观察长方体模型的基础上进行操作确认，获得
对性质定理正确性的认识，进一步推导出定理的证明过程。 3.情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，提高空间想象的能力和逻辑推理能力。 教学重点：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。 教学难点：直线与平面垂直的性质定理的证明 教学理念： 高中学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，整节课主要以学生自主探究为主，老师只起一个组织，引导的作用。从而增强空间想象能力，养成质疑思辨、创新的精神。 教学方法： 探究讨论法 教学用具： 长方体模型，量角器，直角三角板，多媒体 教学设计： 一．创设情境，揭示课题 问题：（实物式引入）： （1）两根旗杆垂直于地面，给我们以旗杆平行的形象 （2）让学生双手各持一支笔直立与桌面，通过操作确认两支笔平行。 数学来源于生活，把这些问题抽象概括得到一个新的问题： 若a⊥α，b⊥α，那a和 b 会有怎样的位置关系呢？ 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、探讨。（自然进入课题内容） 设计意图：现实生活中的问题更能激发学生的学习兴趣，让学生从现实生活中发现数学，将问题化归为数学问题，感受数学来 源于生活，又服务于生活。
菱形的性质及其判定
乐恩特教育个性化教学辅导教案校区：百花
1、探究菱形的面积计算方法： 练一练： 1、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（） A.6 cm B.1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm 2.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF 等于（）A.75° B.60° C.45° D.30° 3、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23cm,则另一条对角线的长是（） A.4 cm B.3cm C.2 cm D.23cm 精讲精练 例1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH. 变式：菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.
例2：（09贵阳）如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E ，连接EB 。（1）求证：APD EBC ∠=∠;(2)若60DAB ∠=?,试问：P 点运动到什么位置时，ADP V 的面积等于菱形ABCD 面积的 1 4 ？为什么？ 例3：如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，120BAD ∠=?,P 点在BD 上，求PE+PC 的最小值。 三、用中学习 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 2.菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC = 2 1 ∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为_______.
菱形的性质和判定教案
个性化教学辅导 教学 内容 菱形 教学目标1、掌握菱形的定义和性质； 2、学会判定菱形； 3、平行四边形和菱形的区别和联系； 重点难点1、菱形的性质和判定的熟练掌握； 2、利用菱形的性质综合解决问题； 教学过程知识讲解 一、菱形的定义 如图，如果一个平行四边形有一组邻边相等，那么这个平行四边形会有怎样的变化？ 定义：叫做菱形。 二，菱形的性质。 菱形性质： 1．两条对角线互相垂直平分； 2．四条边都相等； 3．每条对角线平分一组对角； 4．菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
以上菱形的性质你能给出证明吗？ 练习：1、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______。 2、菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______。 3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______。 4、菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为_____cm，边长为_____cm， 高为_____cm。 三、菱形的判定 根据定义我们知道有一组邻边相等的平行四边形是菱形，还有别的判定方法吗？ 猜想1：如果一个平行四边形的两条对角线相互垂直，那么这个平行四边形是菱形。 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直。 求证：四边形ABCD是菱形． 例1：如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE 是菱形．
猜想2四条边都相等的四边形是菱形． 已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形 猜想3：如果一个四边形的每条对角线平分一组对角，那么这个四边形是菱形。 已知：四边形ABCD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC 求证：四边形ABCD是菱形 总结：菱形的判定定理： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线） 3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边） 4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（对角线和角的关系） 练习：1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（） Ａ、等腰梯形Ｂ、正方形Ｃ、矩形Ｄ、菱形 2、下列说法中正确的是（） Ａ、有两边相等的平行四边形是菱形。Ｂ、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形Ｃ、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形Ｄ、四个角相等的四边形是菱形
菱形的性质及判定
菱形的性质 及判定 知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求 菱形 会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和 判定解决简单问题 会用菱形的知识解决有关问题 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形 重、难点 知识点睛 中考要求
的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。 板块一、菱形的性质 【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则 1∠= 度． 图2 1 C B A ⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=?，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______． 【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ， 证明：AB 与EF 互相平分． P H F E D C B A 【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的 周长为24，则OH 的长等于 ． E F D B C A 例题精讲
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ??? ????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
菱形的性质与判定(培优辅导班试题)
全国中考真题解析考点汇编菱形的性质与判定 一、选择题 1.（2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ） A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm 2.（2011云南保山，5，3分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是_______． 3. （2011?西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ） A 、一组临边相等的四边形是菱形 B 、四边相等的四边形是菱形 C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 4.（2011?青海）已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ） A 、20 B 、14 C 、28 D 、24 5.（2011山东济南，7，3分）如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A=60°，则对角线BD 的长度为（ ） A ．2 B ． C ．4 D ．6. （2010广东佛山，6，3分）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形 7.（2011?包头，9，3分）已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A 、163 B 、16 C 、83 D 、8 8. （2011湖南衡阳，8，3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4） C 、M （5，0），N （7，4） D 、M （4，0），N （7，4） 第3题 第2题 第5题 第8题 第9题 第10题
线段的垂直平分线的性质教学设计(公开课)
《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标： 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略，发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点： 重点：理解线段的垂直平分线的性质，并能运用性质解决相关问题。难点：线段垂直平分线的实际应用。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区，为了便于两个小区的居民看病，政府计划在环保西路上修建湘雅五医院，使它到两个小区的距离相等，那么医院应建在什么位置？ 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢？
线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫做线段的中垂线）。 注意：1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义，现在请同学们根据定义，利用直尺和铅笔作图，画一条已知线段的垂直平分线。动动手，画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点？ 右图中，直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3，连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长，你发现了什么？你有什么猜想吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后，就可以直接运用了吗？嗯，我听到有同学说需要证明，很好，那我们看看应该怎样证明呢？如果证明的话，应该先怎样呢？（把文字语言转化成符号语言） A B l P P P
线段的垂直平分线各种证明
证明线段的垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点
菱形的性质和判定练习题
菱形检测题二 1．菱形的两条对角线长分别为16cm，12cm，那么这个菱形的高是_______． 2．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是________． 3．菱形的面积为50cm2，一个内角为30°，则其边长为______． 4．菱形一边与两条对角线所构成两角之比为2：7，则它的各角为______． 5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加一个条件使四边 形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__________(写出一个即 可). 6、已知在菱形ABCD中，下列说法错误的是（）． A. 两组对边分别平行 B.菱形对角线互相平分 C. 菱形的对边相等 D.菱形的对角线相等 7、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）． A．对边相等B．对角相等C．对角线互相垂直D．对角线相等 8、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）． A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不存在 9、下列说法不正确的是（）． A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角 C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离 10、菱形的两条对角线分别是12cm、16cm，则菱形的周长是（）． A．24cm B．32cm C．40 cm D．60cm 11．菱形ABCD，若∠A：∠B=2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）．A．相等B．互相垂直且不平分 C．互相平分且不垂直D．垂直且平分 12．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，菱形ABCD面积等于24cm2，AE=6cm，则AB长为（）．A．12cm B．8cm C．4cm D．2cm 13．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF∥BC，交AC?于点F，如果EF=4，那么CD的长为（）． A．2 B．4 C．6 D．8 14.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( ) 15.菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( ) A.10 B.8 C.6 D.5
《菱形的性质与判定》教学设计
菱形的性质与判定》 《菱形的性质与判定》一课是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平 行四边形” 之后的一个学习内容。九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。 在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。 【知识与能力目标】 1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的关系。 2、理解并掌握菱形的性质定理；在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展 学生的逻辑推理能力。 【过程与方法目标】 1、经历探索菱形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识； 2、通过灵活运用菱形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法。 【情感态度价值观目标】 1、在观察、操作、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。 2、通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 教学重点】
菱形的性质定理证明及运用。 教学难点】 菱形的性质定理证明、运用，生活数学与理论数学的相互转化。 课前布置学生复习平行四边形的性质，并每人准备好草稿纸、铅笔、直尺、菱形纸片； 教师准备课件，搜集好菱形的相关图片，三角板等。 、情景导入 1．复习回顾：什么样的四边形叫平行四边形？它有哪些性质？ 2．观察发现：观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 3．与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在哪里？你能给菱形下定义吗？通过平行四边形演变为菱形的动态演示过程，引出本课题及矩形定义。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。但平行四边形不一定是菱形。 二、合作探究 1. 既然菱形是平行四边形，那么它具有平行四边形的哪些性质？
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 课前预习 1.线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。 当堂训练 知识点1：线段垂直平分线的性质 1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要 使钢索AB 与AC 的长度相等，?需加_ _______条件，理由是___ _____． 2.（09钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与C D 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB 3.如图所示，CD 是AB 的垂直平分线，若AC=1.6cm ，BD=2.3cm ，则四边 形ABCD 的周长是（ ）． A ．3.9cm B ．7.8cm C ．4cm D ． 4.6cm 4.如图所示，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于 D ，连接 AD ， 若∠CAD=20°，则∠B=（ ）． A ．20° B ．30° C ．35° D ．40° 知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理 5.AB =AD ，BC =CD ，AC 、BD 相交于点E ．则AB 是线段CD 的___ _____． 课后作业 6.给出以下两个定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 应用上述定理进行如下推理，如图，直线l 是线段MN 的垂直平分线． ∵点A 在直线l 上， ∴AM=AN （ ）． ∵BM=BN ， ∴点B 在直线l 上（ ）． ∵CM≠CN，∴点C 不在直线l 上． 这是因为如果点C 在直线l 上， 那么CM ＝CN （ ）． 这与条件CM≠CN 矛盾． 以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ） A ．②①① B ．②①② C ．①②② D ．①②① 证明某一条直线是另一条线段
《菱形的性质与判定(1)》名师教案
第一章特殊平行四边形 1．菱形的性质与判定（1） 一、学情与教材分析 1.学情分析 “菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容. 学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形的平移旋转及平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质. 其次，经历了七年级下册“相交线与平行线”、“三角形”和八年级下册“平行四边形”的学习和推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础. 再次，本章第4节将学习“正方形的性质与判定”，正方形是菱形的特殊情形，本节课学习将为正方形性质与判定的学习打下良好的基础. 2.教材分析 教科书在学生学习了“平行四边形”的基础上，提出了本课的学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度，会求菱形的周长和面积.本节课通过观察、分析、类比、动手操作，推论论证等活动过程探究菱形的定义和性质，进一步提高了学生的观察分析能力和类比探究能力. 二、教学目标： 1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，理解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2. 经历利用折纸等活动探索菱形的轴对称性和菱形的其他性质，发展合情推理能力； 3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中探究菱形的周长公式和面积公式，进一步发展学生的逻辑推理能力. 三、教学重难点： 重点：菱形的性质
难点：菱形性质的综合运用 四、教法建议（探究法） 教师可采用“探索——发现——猜想——论证”的教学方法，引导学习探索菱形的定义和性质. 五、教学设计 （一）课前设计 1、预习任务 任务1：我们已经学习了平行四边形这个特殊的四边形了，小红想，如果平行四边形再特殊一些，如果一个平行四边形邻边相等，那么这个四边形是什么样子呢？请按照小红的要求，画出一个邻边相等的平行四边形，并观察生活，举出生活中类似的图形的例子？ 任务2：学习课本第2页想一想上面内容，初步了解菱形的定义. 任务3：既然菱形是特殊的平行四边形，那么它肯定具有平行四边形的所有性质了，你能就你目前的认识，写出菱形的性质么？ 任务4：既然菱形是特殊的平行四边形，那么，菱形肯定还有它特殊的性质，请用菱形纸片探究猜测以下问题： （1）菱形的对称性； （2）菱形的边之间的关系； （3）菱形的对角线的关系； （4）菱形的周长与面积的求法. 2、预习自测 一、填空题 1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变成菱形，需要添加条件为_____________. B 答案：AB=BC或BC=CD或CD=DA或AB=AD.
38、线面垂直判断与性质(教师版)
**教育ISO讲义 直线、平面垂直的判定及性质 思考：如何一条直线与一个平面不相交，该直线可能与平面垂直吗？如果一个平面与另一个平面不相交，这两个平面可能垂直吗？
一、知识梳理 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ? ????a ，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a l ⊥b ?l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ? ??? ?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面互相垂直 ? ??? ?l ?βl ⊥α?α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面 ???? ?α⊥β l ?β α∩β＝a l ⊥a ?l ⊥ α 3.空间角 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角． ②线面角θ的范围：θ∈????0，π 2． (2)二面角 ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫
做二面角的面． 如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角 如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π 2时，二面角叫做直二面角． 常用结论 1．线线、线面、面面垂直间的转化 2．两个重要定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 3．重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 考点1 线面垂直的判定与性质(多维探究) 【例1】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．
《菱形的性质与判定》学情分析及教学设计
第一章特殊平行四边形 菱形的性质与判定（一） 一、学生知识状况分析 “菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。 九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。 其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。 再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。 在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。 综上所述，本节的教学目标为： 1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行 四边形的关系； 2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发 展合情推理能力； 3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推
菱形的性质和判定(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 题1：菱形的定义是什么？ 答：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 问题2：菱形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 答：菱形是轴对称图形，两条对角线均为对称轴；是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．问题3：菱形有哪些性质？ 答： 边：菱形的四条边都相等； 对角线：菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 面积：菱形对角线乘积的一半． 问题4：菱形的判定有哪些？ 答： 边：四条边都相等的四边形是菱形； 对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 问题5：一条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗？ 答：本结论错误．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 举反例： 菱形的性质和判定（北师版） 一、单选题(共11道，每道9分) 1.下列说法错误的是( ) A.菱形的对边互相平行 B.菱形的对角相等 C.菱形的对角线相等 D.菱形的每一条对角线平分一组对角 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：菱形的性质 2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.每条对角线平分一组对角 D.对角相等 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的性质 3.下列说法正确的是( ) A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的判定
4.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的性质 5.菱形ABCD的周长为8，高为1，则该菱形两邻角的度数之比为( ) A.3:1 B.4:1 C.5:1 D.6:1 答案：C 解题思路：
垂直平分线的性质
1 垂直平分线的性质 概念 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 学习目标 要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一 些问题。 能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理 1. 如图，△ABC 中，∠CAB =120o，A B ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，则∠EAF 等于（ ） A ．40o B ．50o C ．60o D ．80o 2. 如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC=BD+AD ，则点D 在（ ）的垂直平分线上 A ．AB B ．AC C ．BC D ．不能确定 3. 下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA =EB ，PA =PB ；②若PA =PB ，EA =EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA =PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若 EA =EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 基 础 知 识 随 堂 练 习 B E F
2 4. 如图，Rt△ABC 中，90ACB ∠=，BD=CD ，7.8AB =， 3.9AC =，则图中有（ ）个60的角． Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ． 5 5. 把16个边长为a 的正方形拼在一起，如图，连接BC ，CD ，则△BCD 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．任意三角形 6. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，B C ，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95° 8. 已知线段AB 和它外一点P ，若PA =PB ，则点P 在AB 的 ____________________；若点P 在AB 的____________________，则PA =PB ． 9. 如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF =12，BF =3，则 BC =__________． E B F A