两种灰色GM(1,1)残差修正方法在工程造价中的对比

两种灰色GM(1,1)残差修正方法在工程造价中的对比

李丹莹

金华正达工程造价咨询有限公司，浙江省金华市，321000

摘要：为了更准确地预测工程材料价格走势，本文介绍并比较了两种灰色GM(1,1)残差修正方法，并应用在了圆钢综合、螺纹钢综合及水泥价格的模拟和预测上，结果证明圆钢综合价格模拟仅能采取残差方法一，而残差方法二可以大大提升螺纹钢综合和水泥价格模拟精度。

关键词：工程造价；灰色预测；GM(1,1)模型；残差修正

一、概述

灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授在1982年率先提出的。近年来，不少学者已经将主要的灰色系统预测模型应用在了工程造价领域[1-3]，并取得了一定的成果，但是灰色残差修正模型在工程造价方面的研究还不多。灰色残差修正模型是在灰色GM(1,1)模型的基础上，对其模拟值的残差再进行GM(1,1)建模，并将其叠加到原模型上，从而形成一个新的、精度更高的模型。尤其对于摆动或震荡的数据序列，残差修正模型的模拟精度明显优于GM(1,1)模型。

在工程造价预测领域，材料价格走势的预测是一大研究方向。由于某些工程材料价格的波动较大，而影响工程材料价格波动的因素又较复杂，经典灰色GM(1,1)模型的模拟精度常常无法达到要求，故本文引入并介绍了两种常用的灰色残差修正模型。在给出这两种计算方法的基础上，利用取得的工程材料历史价格数据，具体比较、分析了这两种方法建模的优劣和适用性。

二、灰色模型的建立

（一）灰色GM(1,1)模型的建立

设有变量X (0)＝{X (0)(k), k=1,2,…,n}={X (0)(1), X (0)(2), …, X (0)(n)}为某一预测对象的非负单调原始数据序列。

为建立灰色预测模型，首先对X (0)进行一次累加(1-AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列：

X (1)＝{X (1)(k ), k ＝1,2,…,n}={X (1)(1), X (1)(2), …, X (1)(n)}

其中 X (1)(k +1)＝X (1)(k )+ X (0)(k +1) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程：

dt

dX )

1(十)1(aX ＝u (2) 即GM(1,1)模型。

上述白化微分方程的解为 X

?(1)(k +1)＝(X (0)(1)－a u )ak e ＋a

u (3) 式中：k 为时间序列。

记参数序列为a

?,a ?＝[a,u]T , a ?可用下式求解:

a

?＝(B T B)-1B T Y n (4) 式中:

B ＝???????

??

???????????+++- 1 (n))

X 1)-(n (X 21 ... 1 (3))X (2)X (211 (2))

X (1)X (21(1)

1(1)(1)(1)

(1)）（－－ (5)

Y n ＝[X (0)(2), X (0)(3),…, X (0)(n)]T (6)

预测值的还原:

X

?(0)

(k +1)＝X

?(1)

(k +1)－X

?(1)

(k )=(1-a e )(X (0)(1)－

a

u

)ak e - (7)

（二）残差方法一[4-6]

定义残差序列为)}(?)({)()0()0()0(k x

k x k e -=，k = 1,2,…，n 。对)()0(k e 取部分序列重新排列：)()0(k e '={)1()0('e ,)2()0('e ,…,)()0(n e '}。若)()0(k e '存在负数，

则应对其进行正化处理：)()

0(1k e '=)()0(k e '+)(min 2)0(1k e n k ''

≤'≤，则

)()0(1k e '={)1()0(1'e ,)2()0(1'e ,…, )()0(1n e '}。然后对)()

0(1k e '进行GM(1,1)建模，

得到： )1(?)0(+'k e

= (1-e a

e )[)1()0(1'e -e

e a u ]k a e e '

--)(min 2)0(1k e n k ''≤'≤ (8)

把)1(?)0(+'k e

作为X ?(0)

(k +1)的修正模型可得：

)1(?)0(+k X

= (1-a e )()1()0(X －a

u )ak e - + )(i k -δ{(1-e a

e )[)1()0(1'e -

e

e a u ]k a e e '

--)(min 2)0(1k e n k ''≤'≤} (9)

其中：???<≥=-i k i

k i k ,0,1)(δ 且 n n i '-=

（三）残差方法二[7-9]

定义残差序列为)}(?)({)()0()0()0(k x

k x k e -=，k = 1,2,…，n 。对)()0(k e 取部分序列重新由小到大排列（注意此处区别于方法一，方法二是由小到大排列；方法一不需要由小到大排列）：)()0(k e '={)1()0('e ,)2()0('e ,…,)()0(n e '}。

)()0(k e '建模型的要求：

(1)数列中的数均为正，直接建立GM(1,1)模型。

(2)数列中的数均为负，不考虑符号，建GM(1,1)模型，求完后再加上负号。 (3)数列中的数有正有负时，要先做非负处理：即都加上最小负数的绝对值（方法一要加上两倍的绝对值，方法二仅加上一倍的绝对值）。而后再建立GM(1,1)模型，求出反馈之后再减去最小负数的绝对值即可。

对)()0(k e '建立GM(1,1)模型，得到：

)1(?)0(+'k e

=(1-e a

e )[)1()0('e -e

e a u ]k a e e '

- (10) 修正的灰色预测模型为：

)

1(?)0(+k X =(1-a e )()1()0(X －a u )ak e -+ )(i k -δ(1-e a e )[)1()0('e -e

e a u ]k a e e '- (11)

其中：???<≥=-i k i

k i k ,0,1)(δ 且 n n i '-=

三、灰色模型的检验 （一）残差检验

预测值：)1(?)(?)(?)1()1()0(--=t X t X t X 绝对误差：

)(?)()()0()0()0(t X

t X t -=?

相对误差：

)()()()

0()0(t X t t ?=ε，其中 t = 1, 2,…, n 分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值，计算出平均相对误差判断精度

是否理想。

（二）关联度检验

1. 定义关联系数()t η

(

)

()()()

()()()

()

min max ()max 0000t t t t t ρη?+?=

?+?，t = 1, 2,…, n 其中： （1）

(

)

()0t ?为第t 个点()0X 与()?0X

的绝对误差：)(?)()()0()0()

0(t X

t X t -=?；

（2）ρ称为分辨率，0<ρ<1，一般取ρ=0.5；

（3）对单位不一、初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。

2. 定义关联度()1

1n

t r t n η==∑，称为()()0X t 与()()?0X

t 的关联度。 根据上述方法算出()()?0X

k 与原始序列()()0X k 的关联系数，然后计算出关联度。当ρ=0.5时，关联度大于0.6便满足检验标准。

（三）后验差检验

原始序列标准差和绝对误差序列的标准差分别为:

[]

n

X t X

S ∑-=

2

)0()

0(1)(，[]

n

t S ∑?-?

=

2

)0()

0(2)(

其中 )(?)()()0()0()0(t X t X t -=? 计算均方差比21S C S =

，小误差概率()()(){}

.00

106745P P t S =?-?<。

灰色模型的检验精度等级见下表：

表1 精度检验等级参考表[7]

四、实例分析

本文以浙江省金华市的圆钢综合、螺纹钢综合及水泥价格为例，比较、分析了GM(1,1)模型及两种残差修正模型的模拟结果。历史数据来源于金华市建设工程造价管理协会主办的《造价信息》刊物。

（一）圆钢综合价格模拟 由表3可知，根据2016.2-2017.1圆钢综合的价格数据建立的GM(1,1)模型，平均相对模拟误差达到了三级，均方差比值C 和小误差概率P 都达到了二级精度，但是关联度未达到0.6，故总体不合格。残差方法一的平均相对模拟误差较

GM(1,1)稍大，但是因为关联度合格（大于0.6）且平均相对模拟误差达到了三级精度，而均方差比值C和小误差概率P都达到了二级精度，故总体精度为三级。残差方法二的平均相对模拟误差、均方差比值C和小误差概率P都达到了一级精度，但是因为关联度不合格，故总体精度不合格。由此可见，以2016.2-2017.1的圆钢综合价格建模模拟，只有残差方法一的精度合格，模型可行。

（二）螺纹钢综合、水泥价格模拟

由表5可知，螺纹钢综合价格GM(1,1)和残差方法一模拟精度都达到了三级，而残差方法二的精度提升到了一级。这说明残差方法二用于提升模型模拟精度，具有明显的优势。另外，在《灰色GM(1,1)残差修正模型在工程造价中的应用》[10]一文中，本人利用32.5R水泥价格的模拟验证了残差方法二在精度提升方面的优势（十二维达到了二级精度，八维达到了一级精度），而经计算，GM(1,1)及残差方法一的模拟精度都不合格。

五、结论

从圆钢综合、螺纹钢综合及水泥价格的GM(1,1)、残差方法一、残差方法二3种方法的对比可知，在圆钢综合的情况中，仅因关联度合格，残差方法二才被采纳，且精度等级也仅为三级。而残差方法二的精度提升效果较理想，螺纹钢综合和水泥的价格模拟精度都得到了大大的提升。

表3 圆钢综合2016.2-2017.1价格模拟精度表

表4 螺纹钢综合2016.2-2017.1价格GM(1,1)、残差方法一、残差方法二模拟数据

表5 螺纹钢综合2016.2-2017.1价格模拟精度表

参考文献

[1]郭颖. 灰色预测在公路工程造价控制中的应用[J]. 东北林业大学学报. 2007, 35(6): 94-95

[2]李玉林. 工程造价管理中工程材料价格的GM(1,1)预测研究[J]. 安徽建筑. 2011, 18(5): 207-208

[3]谢玉梅. 基于灰色系统理论的桩基工程造价预测研究[J]. 工程建设与设计. 2011(12): 135-137

[4]张艳芳. 基于GM(1,1)的残差修正模型及应用[J]. 水科学与工程技术. 2005(6): 51-53

[5]唐安宁，王仙君. 基于灰色残差GM(1,1)模型的汽车货运量预测[J]. 交通科技与经济. 2009, 11(4): 18-19

[6]杨建飞，刘俊民，陈琳. 基于灰色残差模型的灌区地下水最小埋深预测[J]. 人民黄河. 2011, 33(7): 101-102

[7]孙薇，孟亚敏，李培栋. 残差灰色预测模型在电量预测中的应用[J]. 东北电力大学学报. 2005, 25(2): 68-71

[8]刘树，王燕，胡凤阁. 对灰色预测模型残差问题的探讨[J]. 统计与决策. 2008(1): 9-11

[9]陈志强，闫玉静. 基于残差灰色预测模型的用电量预测[J]. 工业技术经济. 2009, 28(5): 112-114

[10]李丹莹. 灰色GM(1,1)残差修正模型在工程造价中的应用[J]. 建筑工程技术与设计. 2017年5月中，134：92-93