2008年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2008年北京市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2008?北京）若集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩B等于（）

A．{x|x≤3或x＞4} B．{x|﹣1＜x≤3} C．{x|3≤x＜4} D．{x|﹣2≤x＜﹣1}

【考点】交集及其运算．

【分析】结合数轴求解，注意等号．

【解答】解：如图所示

，

易得A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}；

故选D．

【点评】本题考查利用数轴求集合的交集问题，较简单．

2．（5分）（2008?北京）若a=log3π，b=log76，c=log20.8，则（）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

【考点】对数函数的单调性与特殊点．

【分析】根据π＞3，6＜7，2＞1，0.8＜1，可知log3π＞1，0＜log76＜1，log20.8＜0，进而比较出大小．

【解答】解：∵log3π＞1，0＜log76＜1，log20.8＜0

∴a＞b＞c

故选A．

【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象．是高考的热点．

3．（5分）（2008?北京）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的

（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】充分条件．

【分析】方程为双曲线准线方程为x=，但准线方程为x=的双曲线方程为

，（λ＞0）

【解答】解：a=3，b=4，c=5?双曲线的准线方程为，

但当双曲线方程是时，其准线方程也为，

故选A

【点评】本题考查了以下知识点：

1、一个双曲线方程对应确定准线方程，但一个准线方程却对应无数个双曲线方程．

2、p能推出q，且q不能推出p，则p是q的充分不必要条件．

4．（5分）（2008?北京）已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°

【考点】正弦定理的应用．

【专题】计算题．

【分析】先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinA的值，进而求出A，再由a＜b确定A、B的关系，进而可得答案．

【解答】解析：由正弦定理得：，

∴A=45°或135°

∵a＜b

∴A＜B

∴A=45°

故选C

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．

5．（5分）（2008?北京）函数f（x）=（x﹣1）2+1（x＜1）的反函数为（）

A．B．

C．D．

【考点】反函数．

【专题】常规题型．

【分析】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：（1）换：x、y换位，（2）解：解出y，（3）标：标出定义域，据此即可求得反函数．

【解答】解：∵y=（x﹣1）2+1，

∴（x﹣1）2=y﹣1，

∵x＜1即x﹣1＜0，

∴，

移项并换号得；

又∵原函数的值域是y＞1，

故选B．

【点评】本题主要考查反函数的知识点，解答本题的关键是求出原函数的值域，此题是一道比较基础的习题，希望同学们解答时一定注意：一是要注意利用原函数的定义域去判定在逆运算的过程中根号前面的符号，二是用原函数的值域作为反函数的定义域．

6．（5分）（2008?北京）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）

A．0 B．1 C．D．9

【考点】简单线性规划的应用．

【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件

画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．

【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目

标函数Z有最小值，

Z min=3x+2y=30=1

故选B

【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

7．（5分）（2008?北京）已知等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，若b n=a2n，则数列{b n}的前5项和等于（）

A．30 B．45 C．90 D．186

【考点】等差数列．

【专题】压轴题．

【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，可得a n，进而得到b n，然后利用前n项和公式求解即可．

【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得

，解得；

∴a n=3n，

∴b n=a2n=6n，且b1=6，公差为6，

∴S5=5×6+=90．

故选C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．

8．（5分）（2008?北京）如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）

A．B．C．D．

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【专题】压轴题．

【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．

【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数

取得唯一最大值，所以排除A、C；

当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，

则y=MN=M1N1=2BP1=2?xcos∠D1BD=2?是一次函数，所以排除D．

故选B．

【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）（2008?北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．

【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．

【分析】根据角α的终边经过点P（1，﹣2），可先求出tanα的值，进而由二倍角公式可得答案．

【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），

∴

故答案为：．

【点评】本题主要考查正切函数的定义及二倍角公式．

10．（5分）（2008?北京）不等式的解集是{x|x＜﹣2}．

【考点】其他不等式的解法．

【分析】已知不等式，先将其移项、通分，从而求出不等式的解集．

【解答】解：∵

∴，

∴，

∴x+2＜0，

∴x＜﹣2，

故答案为：{x|x＜﹣2}．

【点评】此题主要考查分式不等式的解法，学生易忽视不等式的基本性质，直接去分母求解．

11．（5分）（2008?北京）已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么?的值为﹣8．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】向量法．

【分析】利用2个向量的数量积公式，2个向量相乘的结果，等于向量的模相乘，再乘以这两个向量夹角的余弦值．

【解答】解：．

故答案为﹣8．

【点评】本题考查2个向量的数量积公式的应用，是一道基础题．

12．（5分）（2008?北京）的展开式中常数项为

10；各项系数之和为

32．（用数字作答）

【考点】二项式定理．

【专题】计算题．

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为0求出展开式的常数项；

令二项式中的x等于1求出各项系数和．

【解答】解：，

由10﹣5r=0得r=2，

故展开式中常数项为C52=10；

取x=1即得各项系数之和为（1+1）5=32．

故答案为10，32．

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查求展开式的系数和问题常用的方法是赋值法．

13．（5分）（2008?北京）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=2；=﹣2．（用数字作答）

【考点】极限及其运算；函数的值．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】由函数的图象可知，，当0≤x≤2，f'（x）=﹣2，所以由导数的几何意义知=f'（1）=﹣2．

【解答】解：∵f（0）=4，f（4）=2，f（2）=4，

∴由函数的图象可知，

，

由导数的几何意义知=f′（1）=﹣2．

答案：2；﹣2．

【点评】本题考查函数的图象，导数的几何意义．数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视．

14．（5分）（2008?北京）已知函数f（x）=x2﹣cosx，对于[﹣，]上的任意x1，x2，有

如下条件：

①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2．

其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是

②．

【考点】函数奇偶性的性质；余弦函数的奇偶性．

【专题】压轴题．

【分析】先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，]上

f′（x）＞0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f（x1）＞f（x2）恒成立，只需x1，到原点的距离比x2，到原点的距离大即可，由此可得出|x1|＞|x2|，在所给三个条件中找符合条件的即可．

【解答】解：函数f（x）为偶函数，f′（x）=2x+sinx，

当0＜x≤时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，

∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，]上为单调增函数，

由偶函数性质知函数在[﹣，0]上为减函数．

当x12＞x22时，得|x1|＞|x2|≥0，

∴f（|x1|）＞f（|x2|），由函数f（x）在上[﹣，]为偶函数得f（x1）＞f（x2），故②成立．

∵＞﹣，而f（）=f（），

∴①不成立，同理可知③不成立．故答案是②．

故应填②

【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙．

三、解答题（共7小题，满分80分）

15．（13分）（2008?北京）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小

正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．

【专题】计算题．

【分析】（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得ω

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．

【解答】解：（Ⅰ）

==

．

∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，

∴，解得ω=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

∵，

∴，

∴．

∴，即f（x）的取值范围为．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．

16．（14分）（2008?北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．

（Ⅰ）求证：PC⊥AB；

（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．

【考点】棱锥的结构特征；球内接多面体．

【专题】计算题；证明题．

【分析】法一（Ⅰ）要证：PC⊥AB，构造过PC的平面PCD，使得AB⊥平面PCD．（Ⅱ）取AP中点E．连接BE，CE；说明∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角，再求二面角B﹣AP﹣C的大小．

法二（Ⅰ）证明PC⊥平面ABC．即可．

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，通过数量积求其二面角B﹣AP﹣C的大小的余弦值，再求二面角的大小．

【解答】解：法一：

（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．

∵AP=BP，

∴PD⊥AB．

∵AC=BC，

∴CD⊥AB．

∵PD∩CD=D，

∴AB⊥平面PCD．

∵PC?平面PCD，

∴PC⊥AB．

（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，

∴△APC≌△BPC．

又PC⊥AC，

∴PC⊥BC．

又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，

∴BC⊥平面PAC．

取AP中点E．连接BE，CE．

∵AB=BP，

∴BE⊥AP．

∵EC是BE在平面PAC内的射影，

∴CE⊥AP．

∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．

在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=，

∴sin∠BEC=．

∴二面角B﹣AP﹣C的大小为arcsin．

解法二：

（Ⅰ）∵AC=BC，AP=BP，

∴△APC≌△BPC．

又PC⊥AC，

∴PC⊥BC．

∵AC∩BC=C，

∴PC⊥平面ABC．

∵AB?平面ABC，

∴PC⊥AB．

（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz．则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．

设P（0，0，t）．

∵|PB|=|AB|=2，

∴t=2，P（0，0，2）．

取AP中点E，连接BE，CE．

∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，

∴CE⊥AP，BE⊥AP．

∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．

∵E（0，1，1），=（0，﹣1，﹣1），=（2，﹣1，﹣1），

∴cos∠BEC=．

∴二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．

【点评】本题考查直线与直线的垂直，二面角，容易出错点：二面角的平面角找不到，计算不正确．

17．（13分）（2008?北京）已知函数f（x）=x3+ax2+3bx+c（b≠0），且g（x）=f（x）﹣2是奇函数．

（Ⅰ）求a，c的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

【考点】函数的单调性与导数的关系；函数奇偶性的性质．

【分析】（1）先利用奇函数的定义g（﹣x）=﹣g（x）求出a，c的值；

（2）求导数令其为0，判断根左右两边的符号，求出函数的单调性．注意对参数的讨论．【解答】解：（Ⅰ）因为函数g（x）=f（x）﹣2为奇函数，

所以，对任意的x∈R，都有g（﹣x）=﹣g（x），即f（﹣x）﹣2=﹣f（x）+2．

又f（x）=x3+ax2+3bx+c

所以﹣x3+ax2﹣3bx+c﹣2=﹣x3﹣ax2﹣3bx﹣c+2．

所以

解得a=0，c=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x3+3bx+2．

所以f'（x）=3x2+3b（b≠0）．

当b＜0时，由f'（x）=0得．x变化时，f'（x）的变化情况如下：

，时f′（x）＞0

，时f′（x）＜0

，时f′（x）＞0

所以，当b＜0时，函数f（x）在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增．

当b＞0时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．

【点评】本题考查函数的奇偶性，利用导数求函数的单调区间的方法．注意：含参数的函数求单调性时一般需要讨论．

18．（13分）（2008?北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．

【考点】等可能事件的概率．

【分析】（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，满足条件的事件数A33，根据古典概型公式得到结果．

（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是两个人在一个岗位上，由对立事件概率公式得到结果．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，

记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A，

∵试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，

满足条件的事件数A33

∴，

（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，

设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，

∵试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，

不满足条件的事件数A44

∴，

∴由对立事件的概率公式得到

甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．

【点评】本题主要考查古典概型和排列组合，排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．

19．（14分）（2008?北京）已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．

（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】（1）注意到直线AB和l平行，则斜率相等，得到直线AB的方程．再由以AB为底，计算三角形面积．

（2）由弦长公式算出AB，点到直线的距离算出BC，再根据勾股定理，得到AC的表达式，从而求出最大值．

【解答】解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．

由得x=±1．

所以|AB|=．

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．

所以h=，S△ABC=|?h=2．

（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，

由得4x2+6mx+3m2﹣4=0．

因为A，B在椭圆上，

所以△=﹣12m2+64＞0．

设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则x1+x2=﹣，x1x2=，

所以|AB|=．

又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=．

所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=﹣m2﹣2m+10=﹣（m+1）2+11．

所以当m=﹣1时，AC边最长，（这时△=﹣12+64＞0）

此时AB所在直线的方程为y=x﹣1．

【点评】本题是属于对直线与圆锥曲线的位置关系的考查．注意到解析几何的综合题在高考中的“综合的程度”往往比较高，且计算量常常较大，因此平时复习时要注意其深难度，同时注意加强计算能力的培养．

20．（13分）（2008?北京）数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n2+n﹣λ）a n（n=1，2，…），λ是常数．

（Ⅰ）当a2=﹣1时，求λ及a3的值；

（Ⅱ）数列{a n}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n＞m时总有a n＜0．

【考点】数列的应用．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】（Ⅰ）由题设条件知当a2=﹣1时，得﹣1=2﹣λ，故λ=3．从而求出a3．

（Ⅱ）由题意知若存在λ，使{a n}为等差数列，则有a2﹣a1=1﹣λ=﹣2，a4﹣a3=（11﹣λ）（6﹣λ）（2﹣λ）=﹣24．这与{a n}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n}都不可能是等差数列．（Ⅲ）记b n=n2+n﹣λ（n=1，2，），n0=2k（k=1，2，），则λ满足

．由此可求出故λ的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由于a n+1=（n2+n﹣λ）a n（n=1，2，），且a1=1．

所以当a2=﹣1时，得﹣1=2﹣λ，故λ=3．

从而a3=（22+2﹣3）×（﹣1）=﹣3．

（Ⅱ）数列{a n}不可能为等差数列，证明如下：由a1=1，a n+1=（n2+n﹣λ）a n

得a2=2﹣λ，a3=（6﹣λ）（2﹣λ），a4=（12﹣λ）（6﹣λ）（2﹣λ）．

若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3﹣a2=a2﹣a1，即（5﹣λ）（2﹣λ）=1﹣λ，

解得λ=3．于是a2﹣a1=1﹣λ=﹣2，a4﹣a3=（11﹣λ）（6﹣λ）（2﹣λ）=﹣24．

这与{a n}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{a n}都不可能是等差数列．

（Ⅲ）记b n=n2+n﹣λ（n=1，2，），根据题意可知，b1＜0且b n≠0，即λ＞2

且λ≠n2+n（n∈N*），这时总存在n0∈N*，满足：当n≥n0时，b n＞0；

当n≤n0﹣1时，b n＜0．所以由a n+1=b n a n及a1=1＞0可知，若n0为偶数，

则，从而当n＞n 0时，a n＜0；若n0为奇数，则，

从而当n＞n0时a n＞0．因此“存在m∈N*，当n＞m时总有a n＜0”

的充分必要条件是：n0为偶数，

记n0=2k（k=1，2，），则λ满足．

故λ的取值范围是4k2﹣2k＜λ＜4k2+2k（k∈N*）．

【点评】本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．