(抽样检验)抽样与参数估计

第四章抽样与参数估计

推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。

从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statistical inference)。这个调查例子是估计总体参数（某种意见的比例）的一个过程。

估计(estimation) 是统计推断的重要内容之一。统计推断的另一个主要内容是本章第二节要介绍的假设检验(hypothesis testing) 。

因此本节内容就是由样本数据对总体参数进行估计，即：

学习目标：了解抽样和抽样分布的基本概念

理解抽样分布与总体分布的关系

了解点估计的概念和估计量的优良标准

掌握总体均值、总体比例和总体方差的区间估计

第一节抽样与抽样分布

回顾相关概念：总体、个体和样本

抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取一部分元素(单位)进行调查,并根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。

总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数

个体(Item unit)：组成总体的每个元素

样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量

样本容量(Sample size)：样本中所含个体的数量

一般将样本单位数不少于三十个的样本称为大样本，样本单位数不到三十个的样本称为小样本。

一、抽样方法及抽样分布

1、抽样方法

（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本

①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每一个样本都有相同的机

会（概率）被抽中。

注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，又可分为重

复抽样与不重复抽样。而且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。

②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每一层内进行抽样

③、整群抽样：将一组被调查者（群）作为一个抽样单位

④、等距抽样：在样本框中每隔一定距离抽选一个被调查者

（2）非概率抽样：不是完全按随机原则选取样本

①、非随机抽样：由调查人员自由选取被调查者

②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者

（3）、配额抽样：选择一群特定数目、满足特定条件的被调查者

2、抽样分布

一般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（sampling distribution）。

某个样本统计量（如均值、比例、方差等）的抽样分布，从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本计算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布。

二、样本均值的抽样分布与中心极限定理

1、样本均值的抽样分布（一个例子）

【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。4 个个体分别为X 1=1、X 2=2、X 3=3 、X 4=4 。总体的均值、方差及分布如下 均值和方差

5.21

=∑

=

=N

X N

i i

μ 25.1)

(1

2

=-=

∑=N

X

N

i i

μσ

现从总体中抽取n ＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表

计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布

所有样本均值的均值和方差：

=1n i i x

μ

μ==+++==∑

=5.2160.45.10.11ΛM x n i i x n

i x i x 2

22122=n

M x n i x i x 222122625.016)5.20.4()5.20.1()(σμσ=

=-++-=-=∑

=Λ

式中：M 为样本数目

比较及结论：1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值

2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n

2、中心极限定理

当总体服从正态分布N ~ (μ,σ2 )时，来自该总体的所有容量为n 的样本的均值

X

也服从正态分布，X 的数学期望为μ，方差为σ2/n 。即x ～N (μ,σ2/n ) 中心极限定理：设从均值为μ，方差为σ2的一个任意总体中抽取容量为n 的样本，当n 充分大时（一般，30≥n 就可以用中心极限定理了），样本均值X 的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n 的正态分布。即有： ()

μ=X E 和 n

x δ

δ=

也即有，n

X z δ

μ-= ~()1,0N

其实，样本均值抽样分布的数字特征一方面与总体分布的均值和方差有关，另一方面也与抽样的方法是重复抽样还是不重复抽样有关。无论是重复抽样或不重复抽样，样本均值的数学期望始终等于总体的均值。但在不重复抽样条件下，样本均值的方差需要用修正系

修正重复抽样时均值的方差。当N 很大，而

/5%n N ≤时，其修正系数11

N n

N -→-，可视不重复抽样与重复抽样一致。

图4.1.3 样本均值的抽样分布与总体分布的关系

三、样本比例的抽样分布(Sampling Distribution of p

样本比例的抽样分布是样本比例所有可能值的概率分布。（The sampling distribution of p is the probability distribution of all possible values of the sample proportion p .）

样本比例抽样分布的相关信息，即 p 的期望值、标准差、抽样分布形状等。 主要应用于分类变量：在经济与商务的许多场合，需要用样本比例p 对总体比例P 进行统计推断

根据中心极限定理有：当样本容量增大时（大样本：经验上，当下面两个条件(n·p >=5且n(1-p )>=5)满足时，与p 相关的样本为大样本），样本比例抽样分布趋向于以样本期望值为中心、以样本方差为方差的正态分布 1、期望值（Expected value of p ）：E (p )=P 2、标准差（Standard deviation of p ）：

重复抽样： 不重复抽样：

*四、样本方差的抽样分布

要用样本方差s 2去推断总体的方差σ2，必须知道样本方差的分布。 设总体服从正态分布X~N(μ, σ2 )， X 1，X 2，…，X n 为来自该正态总体的

样本，统计证明比值()

2

21δs n -的抽样分布为自由度是（n-1）的2χ分布，即：

()

()2

2

2

2

1δδs n x

x

i

i

-=

-∑~()12-n χ 2χ分布的性质：

（1）、2χ分布的变量始终为正；

（2）、2χ分布的期望为()()n n E =2χ，方差为()n n D 2)(2=χ。

第二节参数估计的基本方法

一、估计量和估计值

参数是总体的数值特征（A parameter is a numerical characteristic of a population。）

参数估计：就是用样本统计量去估计总体的参数。

估计量（θ?）（estimator）用于估计总体某一参数的样本统计量（随机变量）的名称。

样本均值，样本比例、样本方差等都可以是一个估计量。

估计值（e s t i m a t e）：用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值。

例如: 样本均值就是总体均值μ的一个估计量

如果样本均值?x= 3 ，则 3 就是μ的估计值

二、点估计与判断估计量的优良性准则

（一）、点估计

点估计(Point Estimate)就是用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值。

设θ是总体分布中一个要估计的参数。例如，总体分布的均值、方差等。现在从

总体中得到一个随机样本n X X X ,,,21???，如何估计θ？

记估计θ的估计量（统计量）为θ?()n

X X X ,,,21???，简记为θ?

若得到一组样本观察值n x x x ,...,,21，就可以得到θ的估计值：()n

x x x ,...,,?21θ，也记为θ

?。 总体分布参数θ的点估计，就是求出的估计值θ

?。 点估计的方法一般有矩估计发法、极大似然估计法等。

概念要点:

1.从总体中抽取一个样本，根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计。

例如: 用样本均值作为总体未知均值的估计值就是一个点估计 2.点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息 3.其理论基础是抽样分布 （二）、估计量的优良性准则

要估计总体的某一指标，并非只能用一个样本指标，而可能有多个指标可供选择，即对同一总体参数，可能会有不同的估计量。作为一个好的估计量，估计量必须具有如下性质：无偏性、有效性、一致性。

1、无偏性（Unbiasedness ）：样本估计量的数学期望（均值）等于被估总体参数的真值；

如果θθ=)?(E ，则称θ

?为θ的无偏估计量。 可以证明，总体方差2σ的样本矩估计量2s 是无偏估计量。 2、有效性(Efficiency):好的点估计量应具有较小的方差；

在用估计量θ?来估计总体的某个参数θ时，如果对其它所有对θ的估计量θ~总是

有：

()()

θθ~

?Var Var ≤

那么，这个估计量θ

?就是总体参数θ的有效估计量。 3、一致性(C o n s i s t e n c y ):随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计的总

体参数。

如果n θ?满足：1)?(lim =-∞

→εθθπn

n P ，即： θθ=∞

→n

n ?

lim

则称为n θ?的一致估计量。

可以证明：样本均值、样本比例、样本标准差的点估计是无偏、有效、一致的。

三、抽样误差与区间估计

（一）、抽样误差（Sampling Error ）

一个样本可以得到总体参数的一个点估计，该点估计值与总体参数真值之间的差异，即为抽样误差。 有三个相互联系的概念：

1、实际抽样误差：具体样本的估计值θ?与总体参数的实际值θ之间的离差。 )?(θθ

- 2、抽样平均误差：所有可能样本估计值与相应总体参数的平均差异程度。

3、抽样极限误差一定概率下抽样误差的可能范围（也称允许误差）：

θ

θθ???≤- 注意：

①、统计学上往往用抽样极限误差来测度抽样误差的大小或者说测度点估计的精度。原因：总体参数值往往并不知道，因此，实际抽样误差与抽样平均误差也往往无法求出，但在抽样分布大体知道的情况下，抽样极限误差是可以估计出来的。 ②、抽样平均误差是所有可能样本值与总体指标值之间的平均离差，它表明抽样估计的准确度；而抽样极限误差是样本指标值与总体指标值的离差绝对值是表明

抽样估计的准确程度的范围。这也就决定了两者存在一定的联系。通常，把抽样极限误差与抽样平均误差相比，从而使单一样本的抽样极限误差标准化，一般称为概率度或相对误差范围，即置信度。

③抽样极限误差的估计总是要和一定的概率保证程度联系在一起的。原因：样本统计量往往是一随机变量，它与总体参数真值之差也是一个随机变量，因此就不能期望某次抽样的样本估计值落在一定区间内是一个必然事件，而只能给予一定的概率保证。因此，在进行抽样估计时，既需要考虑抽样误差的可能范围，同时还需考虑落到这一范围的概率大小。前者是估计的准确度问题，后者是估计的可靠性问题，两者紧密联系不可分开。这也正是区间估计所关心的主要问题。

（二）、区间估计（Interval Estimate ）

在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个范围，称为参数的区间估计。 若总体分布含一个未知参数θ，找出了两个依赖于样本n X X X ,,,21???的估计量：

),,,(?),,,(?212211n

n X X X X X X ???≤???θθ 使得

αθθθ-=≤≤1)??(21P

其中，10ππα，显著性水平α一般取0.05或0.01，则称随机区间为的100（1-α）%的置信区间。百分数100（1-α）%被称为置信度或置信水平。 1.根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范围

给出总体参数落在这一区间的概率

例如: 总体均值落在50~70之间，置信度为 95% 2、置信水平

①.总体未知参数落在区间内的概率

②.表示为 (1 –a)，a 为显著性水平，是总体参数未在区间内的概率

③.常用的显著性水平值有 99%, 95%, 90%，相应的a 为0.01，0.05，0.10。

3、区间估计的要点

①.依据样本指标和抽样误差去推算总体指标时，只是确定了总体指标的估计范围，并没有确定其具体值。这个范围表现为一个上限和一个下限，从而构成一个区间。

②.所得的估计区间表示的只是一个可能范围，而不是绝对的范围。总体指标在这个范围内的可能性为置信概率（α-1）。

③.扩大抽样极限误差可以提高抽样推断的可靠程度，但准确程度会降低；反之，缩小抽样极限误差会降低抽样推断的可靠程度，但准确程度会提高。

第三节 一个总体参数的区间估计

4.3.1总体均值的区间估计

1、区间估计的基本原理

以总体均值的区间估计为例来说明区间估计的基本原理。

在重复抽样或无限总体抽样的情况下，我们知道有μ=)(X E 、n

X σ

σ=

，由此

可以知道样本均值X 落到总体均值μ的两侧各为一个抽样标准差范围内的概率0.687 3；落在两个抽样标准差范围内的概率为0.954 5。而实际上，X 是已知的，

μ而是未知的，也正是我们要估计的。由于X 和μ的距离是对称的，因此如果

有95%的样本均值落在μ的两个标准误差的范围内，则也就是说，约有95%的样本均值所构成的两个标准误差的区间会包括μ。即若有

%95)22(≈+<<-X X X P δμδμ

则有

%95)22()22(≈+<<-=+<<-X X X X X X P X P δμδδμδμ

通俗地说，如果我们抽取100个样本来估计总体的均值，有100个样本均值所构成的100个区间中，约有95个区间包含总体均值。 2、正态总体且方差已知，或非正态总体、方差未知、大样本

当总体服从正态总体且方差已知，或非正态总体、方差未知但大样本时，样本均值的抽样分布为正态分布，有μ=)(X E 、n

X σ

σ=

。即

)1,0(~N n

X z δμ

-=

对显著性水平α，有ααα

-=<<-1)(22

z z z P ，即有：

ασμσαα-=?+<

2

n Z X n Z X P

由此得到总体均值μ在)1(α-置信水平下的置信区间为：

?

??

?

???+?-n Z X n Z X /,/22σσαα （4.3.1） 如果总体方差2δ未知，在大样本条件下，则可以用样本方差2s 代替总体方差2δ，这时总体均值μ在置信水平)1(α-下的置信区间为：

?

??

?

???+?-n s Z X n s Z X /,/22αα （4.3.2） 如果采取不重复抽样，而且插秧比很大时，1

--=N n

N n

X σ

σ，这时总体均值μ在置信水平)1(α-下的置信区间为：

???

? ??--?+--?-1/,1/22N n N n Z X N n N n Z X δδαα （4.3.3） 相应的如果总体方差2δ未知，总体均值μ在置信水平)1(α-下的置信区间可写为：

???

? ??--?+--?-1/,1/22N n N n s Z X N n N n s Z X αα （4.3.4）

【例】某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取９件，测得其平均长度为21.4 mm 。已知总体标准差δ=0.15mm ，试建立该种零件平均长度的置信区间，给定置信水平为0.95。

解：已知Ｘ~N(μ，0.152)，x ＝2.14，n=9，1-a = 0.95，Ｚa/2=1.96 根据式（4.3.1），总体均值μ的置信区间为：

)

498.21,302.21(9

15.0*96.14.21,9

15

.0*

96.14.21()

,(2

2

=+-=+-N

Z x n

Z x δ

δ

αα

我们可以以95％的概率保证该种零件的平均长度在21.302～21.498 mm 之间。

3、正态总体、方差未知、大样本

如果总体服从正态分布，则无论样本容量如何，样本均值x 的抽样分布都服从正态分布。但是，如果总体方差2δ未知，而且是小样本的情况下，则需要用样本方差2s 来代替2δ，这时样本均值经过标准化以后的随机变量服从自由度为

)1(-n 的t 分布，即)1(~--=

n t n

s

x t μ

这时需要应用分布来建立总体均值μ的置信区间。

t 分布是类似正态分布的一种对称分布，但它通常比后者平坦和分散。 根据t 分布建立的总体均值μ在置信水平（1-α）下的置信区间为：

n S t x n /)

1(2

-±α

（4.3.5）

（4.3.5）式中2αt 是自由度为)1(-n 时，t 分布中右侧面积为2α时的t 值。 【例】从一个正态总体中抽取一个随机样本， n = 25 ，其均值x = 50 ，标准差 s = 8。建立总体均值μ的95%的置信区间。

解：已知Ｘ~N(μ，2δ)，x =50, s =8， n=25, 1-a = 0.95，t a/2=2.0639。 由式（4.3.5），可得：

)

3.53,69.46(25

8*0639.250,25

8*0639.250()

,(2

=+-=+-N

s t x n

s t x αα

我们可以95％的概率保证总体均值在46.69～53.30 之间

小结： 表：4.3.1 不同情况下总体均值的区间估计

4.3.2 总体比例的区间估计 1、大样本重复抽样时的估计方法

当样本容量很大时，样本比例p 的抽样分布服从正态分布近似。即 如果5≥?p n 且5)1(≥-?p n ， 则))

1(,

(~n

N p πππ-，其中π为总体的比例。

样本比例p 经过标准化后的随机变量服从标准正态分布，即

n

p p E p z p

)1()

(πππ

δ-?-=

-=

则总体比例π在置信水平)1(α-下的置信区间为：

N

Z p )

1(2

ππα-??

±

用上式计算总体比例π的置信区间时，π的值应该是已知的，但实际上却不然，

π的值恰恰是我们要估计的，所以我们用样本的比例p 来代替π，此时计算总体比例π的置信区间可表示为：

n

p p Z p )

1(2

-??

±α （4.3.6） 式中2

αZ 为标准正态分布右侧面积为2α时的Z 值，n

p p Z )

1(2

-??

α是估计总体比例时的边际误差。

总体比例的置信区间有两部分组成：总体比例的点估计值和描述估计量精确度的

±值，这个±值称为边际误差。 2、大样本不重复抽样时的估计方法

在不重复抽样条件下，样本比例p 的方差为：)1

()1(2--?-=

N n

N n p p p δ 此时总体比例π在置信水平)1(α-下的置信区间为： )1

()1(2

---??

±N n

N n p p Z p α （4.3.7）

【例】某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本。在对其进行访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造95%的置信区间。

解：已知 n=200，p ＝0.7，n* p =140>5，n*(1-p )=60>5，a= 0.95，Ｚa/2=1.96

根据式（4.3.6），得

)

764.0,636.0()

200

)

7.01(7.096.17.0())1((2

=-??±=-??

±n p p Z p α 所以我们可以以95％的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在63.6%~76.4%之间 4.3.3 总体方差的区间估计

设n X X X ,,,21???来自正态总体),(2δμN X ∈的容量为n 的样本，参数δ未知。为了估计2δ，可根据样本方差2s 来确定其在置信水平)1(α-下的置信区间。

从2χ分布表中查得221αχ-和2αχ（

2

)(222α

χχα=>P ；

21)(2

212α

χχα-=>-P ）

， 使得下式成立： αχδ

χ

αα-=<-<

-1))1((222

2

2

2

1s n P

即： αχ

δχαα-=-<

<--1))1()1((

2

2

12

2

2

2

2

s n s n P

因此，总体参数2δ在置信水平)1(α-下的置信区间为：

))1(,)1((2

2

122

2

2ααχχ---s n s n （4.3.8） 【例】假定A 品牌25公斤袋装大米的重量服从正态分布。现随机抽取13袋，测得它们的重量分别是：24.0、24.2、24.4、24.6、24.7、24.8、25.0、25.1、25.1、25.2、25.3、25.4、25.6公斤，试以95%的置信水平估计该品牌袋装大米重量的标准差。

解：因为05.0=α，1-n =12，查2χ分布表，得：

404.4221=-αχ和2

αχ=23.337

所以，置信水平为95%的总体方差的置信区间是：

22

2404.412337.2312s s <<δ

由原始数据可计算得到2

s =0.23，代入上式得：

627.0118.02<<δ

所以79.034.0<<δ

所求信区间是：（0.34，0.79）

第四节样本容量的确定

1、确定样本容量的理论依据

样本容量对估计精度有较大的影响，从理论上说，样本容量越大，对总体特征的估计误差越小；但从实践角度看，抽样数目过大，则会增大调查及相关的工作量。因此，样本容量的确定是至关重要的。

一般说来，抽样数目以满足在一定的概率保证下抽样误差不超过给定的允许范围的最小样本容量为界。因此，可根据抽样极限误差与抽样数目的关系来确定抽样数。

说明：确定样本容量时一般要考虑抽样方法的影响，即重复抽样和不重复抽样。

2、总体均值参数估计中抽样数目的确定

为了简单，可直接考虑大样本的情况，这时样本均值x 服从正态分布即

)1,0(~)

(N x x σμ

- 于是在1- a 的置信度下，存在临界值Z a/2 ，使得

2)(/ασμZ x x ≤- 或 )(2x Z x σμα≤-根据抽样极限误差的定义，若

用样本均值估计总体均值的极限误差（边际误差）为x ?，则：

x n Z x Z ?==)/()(22σσαα

故，在该置信度下，如果允许误差为x ?时，可以其为极限误差解出必须的抽样数：

()222

2x Z n ?=σα

由此可知，此抽样数目由总体方差、允许误差以及概率保证程度三者确定。 【例】一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费用有多少。经验表明，总体方差约为1800000元。如置信度取95%，并要使估计处在总体平均值附近500元的范围内，这家广告公司应抽多大的样本？

解:已知2δ=1800000，a=0.05， Z a/2=1.96，x ?=500应抽取的样本容量为：

()28

65.27500/)1800000()96.1(22222

≈=?=?=x

Z n σα

3、总体比例参数估计中的抽样数目确定

在大样本下，样本比例的分布趋近于如下正态分布)/)1(,(~n P P P N p -，于是：

)1,0(~)1(N n

P P P p --

设在1- a 的置信度下，对应的临界值为Z a/2 ，则易知

n P P Z P p )1(2-≤-α于是，

如果允许误差为p ?，可得最小的抽样数目：

()22

2)1(p P P Z n ?-=α

注：1、如果总体方差或总体比例未知，可用样本方差或样本比例代替。

2、为了保证抽样推断的把握程度，若有多个可供参考的方差数值，应选其中方差最大值来计算。对于比例的方差，比例应取接近50%的样本(Why?)。【例】一家市场调研公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例。该公司希望对比例P的估计误差不超过0.05，要求的可靠程度为95%，应抽多大容量的样本（没有可利用的p估计值）

解: 已知p

?=0.05，a=0.05，Z a/2=1.96，当p未知时用最大方差0.25代替.应抽

取的样本容量为:

()

385

)

05

.0(

)5.0

1(

)5.0(

) 96 .1(

)

1(

2

2

2 2

2

≈

-

?

?

=

-

=

p

P

P

Z

n

α