2017年浙江高考理科数学试题及解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
选择题部分（共50分）
1.(2017年浙江)已知集合{1＜x＜1}，{0＜x＜2}，那么P∪（）A．（1，2）B．（0，1）C．（-1，0）D．（1，2）
1 【解析】利用数轴，取P，Q所有元素，得P∪（-1，2）.
2. (2017年浙江)椭圆=1的离心率是（）
A．,3) B．,3) C．D．
2 【解析】,3),3).故选B．
3. (2017年浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：3）是（）
（第3题图）
A．B．C．D．
3. A 【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个
棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为×3×（×2×1）+1.故选A.
4. (2017年浙江)若x，y满足约束条件则2y的取值范围是（）A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞）
4. D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
5. (2017年浙江)若函数f(x)2+ 在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M–m（）
A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关
5. B 【解析】因为最值f（0），f（1）=1，f（）中取，所以最值之差一定与b无关.故选B.
6. (2017年浙江)已知等差数列{}的公差为d，前n项和为，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6. C 【解析】由S4 + S6-2S5=10a1+212（5a1+10d），可知当d＞0时，有S46-2S5＞0，即S4+ S6>2S5，反之，若S4+ S6>2S5，则d＞0，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．
7. (2017年浙江)函数(x)的导函数′（x）的图象如图所示，则函数(x)的图象可能是（）
（第7题图）
7. D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且0位于增区间内.故选D.
8. (2017年浙江)已知随机变量ξi满足P（ξ1），P（ξ0）=1–，1，2．若0 A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2) 8. A 【解析】∵E(ξ1)1，E(ξ2)2，∴E(ξ1)＜E(ξ2)，∵D(ξ1)1(11)，D(ξ2)2(12)，∴D(ξ1)- D(ξ2)=(p12)(112)＜0.故选A． 9. (2017年浙江)如图，已知正四面体D–（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为，，上的点，，=2，分别记二面角D––Q，D––R，D––P的平面角为α，β，γ，则（） （第9题图） A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α 9. B 【解析】设O为三角形中心，则O到距离最小，O到距离最大，O到距离居中，而高相等，因此α<γ<β.故选B. 10. (2017年浙江)如图，已知平面四边形，⊥，＝＝＝2，＝3，与交于点O，记I1))·))，I2))·))，I3))·))，则（） （第10题图） A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3 10. C 【解析】因为∠∠＞90°，＜，＜，所以·))＞0＞))·))＞))·)).故选C. 非选择题部分（共100分） 11. (2017年浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6= ． 11. ,2) 【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则S6=6×（×1×1× 60°）,2)． 12. (2017年浙江)已知a，b∈R，（）2=3+4i（i是虚数单位）则a22，. 12.5 2 【解析】由题意可得a22+23+4i，则解得则a22=5，2. 13. (2017年浙江)已知多项式（1）3（2）251x42x33x245，，则a4，a5． 13. 16 4 【解析】由二项式展开式可得通项公式为3 2·22 3· 2·22·，分别取0，1和1，0可得a4=4+12=16，取，可得a5=1×22=4． 14. (2017年浙江)已知△，4，2．点D为延长线上一点，2，连结，则△的面积是，∠. 14. ,2) ,4) 【解析】取中点E，由题意，⊥，△中，∠，∴ ∠，∠),4)，∴S△×××∠,2).∵∠2∠，∴∠ 2∠22∠1，解得∠,4)或∠,4)（舍去）.综上可得，△面积为,2)，∠,4). 15. (2017年浙江)已知向量a，b满足12,则的最小值是，最大值是． 15. 4，2 【解析】设向量a，b的夹角为θ，由余弦定理有θ)θ)，(π-θ))θ) ，则θ)θ)，令θ)θ)，则y2=10+2 ∈[16,20]，据此可得()=2,()=4，即的最小值是4，最大值是2． 16. (2017年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答） 16. 660 【解析】由题意可得，“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为C4 8×C1 4×C1 3（种）方法，其中“服务队中没有女生”的选法有C4 6×C1 4×C1 3（种）方法，则满足题意的选法有C4 8×C1 4×C1 3- C4 6×C1 4×C1 3=660（种）. 17. (2017年浙江)已知，函数f（x）在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是． 17.（-∞，]【解析】x∈[1,4]∈[4,5]，分类讨论：①当a≥5时，f（x）2，函数的最大值24=5，∴，舍去；②当a≤4时，f（x）≤5，此时命题成立；③当4＜a＜5时，[f(x)]{|45}，则或解得或a＜.综上可得，实数a的取值范围是（-∞，]． 18. (2017年浙江)已知函数f（x）2x–2x–2 x x（x∈R）．（1）求f（）的值． （2）求f（x）的最小正周期与单调递增区间． 18.解：（1）由,2)，， f （）=（,2)）2-（）2-2×,2)×（）． 得f （）=2． （2）由 222x 与 22 x ， 得f(x) 2 22(2)． 所以f(x)的最小正周期是π． 由正弦函数的性质得+2kπ≤2≤+2kπ，k∈Z， 解得π≤x≤+2kπ，k∈Z， 所以，f （x ）的单调递增区间是[π，+2kπ]，k∈Z． 19. (2017年浙江)如图，已知四棱锥P –，△是以为斜边的等腰直角三角形，∥，⊥，22，E 为的中点． （第19题图） （1）证明：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19.解：（1）如图，设中点为F ，连接，． 因为E ，F 分别为，中点， 所以∥且， 又因为∥，， 所以∥且， 即四边形为平行四边形， 所以∥， 因此∥平面． （2）分别取，的中点为M，N，连接交于点Q，连接.因为E，F，N分别是，，的中点，所以Q为中点， 在平行四边形中，∥. 由△为等腰直角三角形得⊥. 由⊥，N是的中点得⊥． 所以⊥平面， 由得⊥平面， 那么平面⊥平面． 过点Q作的垂线，垂足为H，连接． 是在平面上的射影，所以∠是直线与平面所成的角．设1． 在△中，由2，1，得， 在△中，由1，得， 在△中，，， 所以∠,8)， 所以直线与平面所成角的正弦值是,8)． 20. (2017年浙江)已知函数f(x)=（x–）（x≥）． （1）求f(x)的导函数； （2）求f(x)在区间[，+∞)上的取值范围． 20.解：（1）因为（x–）′=1)，（）′， 所以f（x）=（1)）（x–）-2))(x＞). （2）由f′(x)-2))=0 解得1或． 因为 又f（x）（-1）2≥0， 所以f（x）在区间[，+∞)上的取值范围是[0，]． 21. (2017年浙江)如图，已知抛物线x2，点A（，），B（，），抛物线上的点p()(＜x＜)．过点B作直线的垂线，垂足为Q． （第19题图） （1）求直线斜率的取值范围； （2）求·的最大值． 21. 解：（1）设直线的斜率为k， )， 因为＜x＜，所以直线斜率的取值范围是（-1，1）． （2）联立直线与的方程=0，=0，)) 解得点Q的横坐标是． 因为()(1)， ())， 所以·(1)(1)3． 令f(k)(1)(1)3， 因为f′(k)(42)(1)2， 所以f(k)在区间(-1)上单调递增，(,1)上单调递减， 因此当时，·取得最大值． 22. (2017年浙江) 已知数列{}满足x1=1，1(11)（n∈N*）．证明：当n∈N*时， （1）0＜1＜； （2）21?≤； （3）≤≤． 22.解：（1）用数学归纳法证明＞0． 当1时，x1=1>0． 假设时，>0， 那么1时，若1≤0，则0＜1（1+1）≤0，矛盾，故1＞0．因此＞0（n∈N*）． 所以1（11）＞1， 因此0＜1＜（n∈N*）． （2）由1（11）， 得1-41+212-21+（1+2）（11）. 记函数f（x）2-2（2）（1）（x≥0）， f′（x）（1）＞0（x＞0）， 函数f（x）在[0，+∞]上单调递增，所以f（x）≥f（0）=0，因此12-21+（1+2）（11）（1）≥0， 故21≤（n∈N*）． （3）因为1（11）≤11=21， 所以≥， 由≥21， 得≥2（）＞0， 所以≥2（）≥…≥21（）=22， 故≤． 综上，≤≤（n∈N*）．