高中数学总结归纳 等比数列的性质及应用
高考数学复习总结归纳点拨
1 等比数列的性质及应用
与等差数列一样，等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质，运用其性质可以使解题更为简便．
一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为n
S '与n T '，次n 项和与次n 项积分别为2
n S '与2n T '，最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T '，则n S '，2n S '，3n S '成等比数列，n T '，2n T '，3n T '亦成等比数列．
例1 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和．
解：由题设，可知12n S '=，2481236n S '=-=， 22
233610812
n n n S S S ''∴==='． 故该数列前3n 项的和为10848156+=．
例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301070S S ==，，求40S ． 解：Q {}n a 成等比数列，10201030204030S S S S S S S ∴---，，，也成等比数列，
即22010103020()()S S S S S -=-，解得2030S =或2020S =-（不合题意，舍去）．
2
302040302010
()150S S S S S S +∴=+=-． 二、一般地，如果t k p m n r ，，，…，，，，…皆为自然数，
且t k p m n r +++=+++……（两边的自然数个数相等），那么当{}n a 为等比数列时，
有t k
p m n r a a a a a a =···…···…． 例3 在等比数列{}n a 中，若9912
3992a a a a =···…·，求50a ． 解：1992
9849515050a a a a a a a a ====Q ··…··， 999912
399502a a a a a ∴==···…·，502a ∴=．
高中数学等差数列性质总结大全
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 ？ （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
等差等比数列的性质总结
等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
等差等比数列的性质总结
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，
等比数列的性质总结
等比数列性质 2. 通项公式： a n a 1q n 1 a i q n A B n a 1 q 0, A B 0 , 首项：a 1;公比：q q 推广：a n a m q n m , 从而得q n m 也或q n a m a m 3. 等比中项 （1） 如果a,A,b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项?即： A ab 或A 、. Ob 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个等比中项互为相反数） 2 （2） 数列a n 是等比数列 a n a n 1 a n 1 4.等比数列的前n 项和S n 公式: ⑴当q 1时，S n na 1 A B n A'B n A'（代 B,A',B'为常数） a 亠 q （q 为常数，a n 0） {a .}为等比数列 a n 0） {a n }为等比数列 {a n }为等比数列 A'B n A' A,B,A',B'为常数 {a n }为等比数列 6. 等比数列的证明方法 … a * 依据定义：若 — q q 0 n 2,且n N 或a n 1 qa n {a n }为等比数列 a n 1 7. 注意 （1） 等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5个元素：a 1、q 、n 、a n 及&，其中a 1、 基本元素。只要已知这 5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即知3求2。 （2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项； a n aq n1 1.等比数列的定义: a n a n 1 q q On 2,且 n N ,q 称为公比 ⑵当 a 11 q n a 1 1 a n q q h 1 q a 1 a 〔 n -q A 1 q 1 q 5.等比数列的判定方法 (1) 用定义：对任意的 n,都有 a n 1 qa n 或 (2) 2 等比中项：a n a n 1a n 1 ( a n 1a n 1 (3) 通项公式：a n A B n A B 0 (4) 前n 项和公式： & A A B^S n q 称作为
等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若* (,,,) m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：
等差数列及等比数列的性质总结
等差数列与等比数列总结 一、等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示； 等差中项，如果2 b a A += ，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数； 等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-； 等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n ）a a （n 1?+=d 2）1-n （n na 1?+ = 中12na n ）2d -a （n ）2d （=?+?； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n += 【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ??成等差数列，公差为d n 2 【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++， ） a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=，d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+
高中数学等比数列的性质总结
等比数列性质 （一）、等比数列的公式 1. 等比数列的定义： ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式： ()1110n n a a q a q -=?≠， 首项：1a ；公比：q n m n m a a q -=， 3. 等比中项 （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=? 4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，() 11111n n n a q a a q S q q --==-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或为常数，?{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0n n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列 （4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7. 注意 （1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为 基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -= 如奇数个数成等差，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q …（公比为q ，中间项用a 表示）；
(完整版)等差等比数列知识点总结
等差等比数列知识点总结 1. 等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即 a n a n 1 d （d为常数）（n 2）； 2. 等差中项： 1）如果a ， A ，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中 项．即： 或2A a b 3. 等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列 a n 的首项是a1 ，公差是 d ，可以得到等差数列的通 项公式为： a n a1 n 1d 推广：a n a m(n m)d ．a n a m 从而 d ； nm 4．等差数列的前n 项和公式： n（a1 a n）n（n 1） d 2 1 2 S n na1 d n （a1 d）n An Bn 2 2 2 2 （其中A、B是常数，所以当d≠ 0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d（常数n N ）a n 是等差数列．（2）等差中项：数列a n是等差数列 2a n a n-1 a n 1(n 2)2a n 1a n a n 2 ． （3）数列a n 是等差数 列a n kn b （其中k,b 是常数）。 （4）数列a n 是等差数 列S n An2Bn, （其中A、B是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若a n a n 1 d 或 a n1a n d （常数n N ）a n 是等差数列． ab 2 2）等差中项数列a n是等数列2a n a n-1 a n 1(n 2) 2a n 1 a n a n 2
等差数列与等比数列归纳
二轮专题复习：等差数列与等比数列 澄海实验高级中学 曦怀 一、教材分析： 数列知识是历年高考的重点容，是必考的热点。数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等比等差数列的性质的灵活运用。这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点，在解答题中以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要容，试题中往往体现了函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想。 二、复习目的： 1．熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质． 2. 灵活运用等差（比）数列的相关性质解决相应问题.在解决数列综合性问题时，灌输方程思想、化归思想及分类讨论思想。培养学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题以及解决问题的能力. 三、复习重点、难点： 重点：等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等差（比） 数列的相关性质． 难点：灵活运用差（比）数列的相关性质结合函数思想、方程思想探求解题思路，分析问 题、解决问题． 复习容： 四、复习过程： （一）知识要点回顾： 1、重要公式： （1）数列通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系：1n 1 n 1 S n 2 n n S a S -=?=?-≥?. （2）等差数列： ①定义：1{}(n n n a a a d +? -=为等差数列常数）. ②通项公式：1(1)n a a n d =+- ， ()n m a a n m d =+- . ③前n 项和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-=+ = . ④等差中项:112n n n a a a -+=+ .
等比数列的性质总结
等比数列性质 1. 等比数列的定义：()()* 1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式： ()1 1110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠， 首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=， 从而得n m n m a q a -= 或n q = 3. 等比中项 （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab = 或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=? 4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，() 11111n n n a q a a q S q q --= =-- 11 ''11n n n a a q A A B A B A q q = - =-?=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法 （1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或 为常数，?{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：2 11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0n n a A B A B =??≠? {}n a 为等比数列 （4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义：若 ()()* 1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1 n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7. 注意 （1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；1 1n n a a q -= 如奇数个数成等差，可设为…， 2 2 , ,,,a a a aq aq q q …（公比为q ，中间项用a 表示） ；
等差、等比数列性质总结
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列
高中数学必修5等比数列知识点总结及题型归纳
等比数列知识点总结及题型归纳 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m n m m m a a a a q q q a a ---=?=?= 3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A ab =± 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? （4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n k a ，{}n k a ?，{}k n a ，{}n n k a b ??，{}n n a b （k 为非零 常数）均为等比数列。 （5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++???仍为等比数列 （6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列 （8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ??????，122n n n a a a ++??????，21223n n n a a a ++???????成等比数列
等差数列的性质总结
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1 （d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
等比数列 知识梳理： 1、等比数列的定义： ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -===??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?= ?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= =-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列
等差等比数列的性质总结
等差数列 1.等差数列的定义：（d为常数）（）； 2．等差数列通项公式： ，首项:，公差:d，末项: 推广：．从而； 3．等差中项 （1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或 （2）等差中项：数列是等差数列 4．等差数列的前n项和公式： （其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项 （项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若或(常数)是等差数列．（2）等差中项：数列是等差数列 ． （3）数列是等差数列（其中是常数）。 （4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若或(常数)是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项
②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）； ③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2） 8..等差数列的性质： （1）当公差时， 等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； 前和是关于的二次函数且常数项为0. （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 （3）当时,则有，特别地，当时，则有. 注：， （4）若、为等差数列，则都为等差数列 （5）若{}是等差数列，则，…也成等差数列 （6）数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列 （7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和 1.当项数为偶数时， 2、当项数为奇数时，则 （其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）． （8）、的前和分别为、，且， 则.
(完整版)等比数列常考题型归纳总结很全面
等比数列及其前n 项和 教学目标： 1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n 项和；性质。 2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。 知识回顾： 1．定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。用递推公式 表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a a n n =+1。注意：等比数列的公比和首项都不为零。（证明数列是 等比数列的关键） 2．通项公式： 等比数列的通项为：11-=n n q a a 。推广：m n m n q a a -= 3．中项： 如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项；其中ab G =2。 4．等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 5．等比数列项的性质 （1）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则q p n m a a a a =；特别的，若m ，p ，q N +∈且q p m +=2，则q p m a a a =2 。 （2）除特殊情况外，,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。n q q ='。 （其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0，但是当n 为奇数是是成立的）。 4、证明等比数列的方法 （1）证： q a a n n =+1（常数）；（2）证：112 ·+-=n n n a a a （2≥n ）. 考点分析
等比数列知识点总结
等比数列 知识梳理： 1、等比数列的定义： ()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -===??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?= ?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =、 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互 为相反数） （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= =-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q =-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： ` （1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列
（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （1）当1q ≠时 > ①等比数列通项公式()1110n n n n a a a q q A B A B q -===??≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ； ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q --==-=-?=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。 （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=，特别的，当1m =时，便得到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 （3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? （4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n k a ，{}n k a ?，{}k n a ，{}n n k a b ??，{}n n a b （k 为非零常数）均为等比数列。 （5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++???仍为等比数列 （6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 # （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列 （8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ??????，122n n n a a a ++??????，21223n n n a a a ++???????成等比数列