初中数学竞赛指导：《分式》竞赛专题训练(含答案)
《分式》竞赛专题训练
1 分式的概念
分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零.
经典例题
(1)当x 为何值时，分式22211x x
--有意义? (2)当x 为何值时，分式22211x x
--的值为零? 解题策略
(1) 要使分式22211x x
--有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x 和11x -，它们都不为零，即0x ≠且110x -≠，于是当0x ≠且1x ≠时，分式22211x x
--有意义， (2) 要使分式22211x x
--的值为零，应有2220x -=且110x -≠，即1x =±且1x ≠，于是当1x =-时，分式22211x x
--的值为零 画龙点睛
1. 要使分式有意义，分式的分母不能为零.
2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可.
举一反三
1. (1)要使分式
24
x x -有意义的x 的取值范围是( ) (A)2x = (B) 2x ≠ ( C)2x =- (D)2x ≠-
(2)若分式的的值为零，则x 的值为( )
(A)3 (B)3或3- (C) 3- (D)0 2. (1)当x 时，分式23
(1)16x x -+-的值为零;
(2) 当x 时，分式
2101
x x +≥- 3. 已知当2x =-时，分式x b x a -+无意义;当4x =时，分式的值x b x a -+为零，求a b +.
融会贯通
4.
0≤，求a 值的范围.
2 分式的基本性质
分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用.
经典例题 若2731
x x x =-+，求2421x x x ++的值 解题策略 因为
2731
x x x =-+，所以0x ≠ 将等式2731x x x =-+的左边分子、分母同时除以x ，得1713x x
=-+，所以有 1227x x += 因此24222221114911221435
1()1()17
x x x x x x x ====+++++-- 画龙点睛 对于含有1x x
+形式的分式，要注意以下的恒等变形: 22211()2x x x x
+=++ 22211()2x x x x
-=+- 2211()()4x x x x
+--= 举一反三
1. (1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;
10.50.2210.20.53
a b c a b c -+++
(2)不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项系数是正数:
3
211
a a a ---+ 2. 已知
13
xy x y =--，求2322x xy y x y xy +---的值.
3. 已知13x x
+=，求2421x x x ++的值.
融会贯通
4. 已知3a b b a
+=，求22224a ab b a ab b ++++的值.
3 分式的四则运算
分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的关键是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的次序.
经典例题
计算：22448()()[3()]y x xy x y x y x y x y x y x y
--+-÷+--+- 解题策略 原式2222()4()43()()8x y y x y x x y x y xy x y x y x y
--+-+--=÷-+- ()(3)(3)()(3)(3)
x y x y x y y x x y x y x y x y x y +-+--=-++- y x =-
画龙点睛
在进行分式的四则运算时，要注意运算次序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形方法;在解答求值问题时，一般应该先化简分式，再将字母对应的值代入计算.
举一反三
1. 先化简，再求值：
262393
m m m m -÷+--，其中2m =-.
2. 计算：3
22441124a a a b a b a b a b
+++-+++= 3. (1)已知实数a 满足2
280a a +-=，求22213211143a a a a a a a +-+-⨯+-++的值
(2)已知a 、b 为实数，且1ab =，设11a b M a b =+++，1111
N a b =+++，试比较M 、 N 的大小关系.
融会贯通
4. 甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位
采购员的购货方式也不同:甲每次购买800千克;乙每次用去600元，而不管购买多少肥料.请问谁的购货方式更合算?
4 分式的运算技巧——裂项法 我们知道，多个分式的代数和可以合并成一个分式，如134512(1)(2)x x x x x -+=---- 反过来，由右边到左边的计算往往可以使一些复杂的分式计算变得简捷常见的裂项有:11A B AB B A ±=±，111(1)1
n n n n =-++ 经典例题
已知54(1)(21)121
x A B x x x x -=-----，求A 、B 的值 解题策略
由54(21)(1)(1)(21)121(1)(21)x A B A x B x x x x x x x ----=-=------(2)(1)(21)A B x B A x x -+-=--，可得254A B B A -=⎧⎨-=-⎩，解得13
A B =⎧⎨=-⎩ 画龙点睛
已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A 、B 的值即可.
举一反三
1. 若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22
Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，求M ，N .
2. 化简：
222211113256712x x x x x x x x ++++++++++
3. 计算：
222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab
------++--+--+--+
融会贯通 4. 已知21(2)(3)23
x b c a x x x x -=++----，当1,2,3x ≠时永远成立，求以a 、b -、c 为三边长的四边形的第四边d 的取值范围.
5 含有几个相等分式问题的解法
有一类化简求值问题，已知条件中含有若干个相等的分式，其本质是几个比的比值相等的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一个字母表示，从而将其转化为一个整式的问题来解决.
经典例题
已知
x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且()()()1x y y z z x xyz +++=-，求x y z ++的值
解题策略 由x y z x y z x y z z y x
+--+-++== 得
111x y x z y z z y x +++-=-=- 从而x y x z y z z y x
+++== 设x y x z y z k z y x
+++===，则
x y kz +=，x z ky +=，y z kx +=
三式相加得2()()x y z k x y z ++=++，即()(2)0x y z k ++-=，所以0x y z ++=，或2k =
若0x y z ++=，则1x y x z y z z y x
+++•=-，符合条件； 若2k =，则()()()81x y y z z x xyz
+++=≠-与题设矛盾，所以2k =不成立 因此0x y z ++=
画龙点睛
1. 将相等的比用一个字母表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.
2. 在得到等式2()()x y z k x y z ++=++后.不要直接将等式的两边除以x y z ++，
因为此式可能等于0. 3. 在求出值后.要注意验证，看是否与已知条件矛盾.
举一反三
1. (1)已知
275x y z ==，求值①x y z z ++；②x y z +；③x y z x +-
(2)已知
2310254a b b c c a +-+==，求56789a b c a b +-+的值
2. 若
a b c d b c a a ===，求a b c d a b c d -+-+-+的值
3. 已知实数a 、b 、c 满足0a b c ++≠，并且a b c k b c c a a b
===+++，则直线3y kx =-一定通过( )
(A)第一、二、三象限 (B)第一、二、四象限
(C)第二、三、四象限 (D)第一、三、四象限 融会贯通 4. 已知9p q r ++=，且
222p q r x yz y zx z xy ==---，求px qy rz x y z
++++的值
6 整数指数幂
一般地，当n 是正整数时，1(0)n n a a a
-=≠，这就是说(0)n a a -≠是n a 的倒数.引入了负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.
经典例题
已知2m x
-=，3n y =，求24()m n x y ---的值
解题策略 242(4)(4)84()m n m n m n x y x y x y -------==848481()()23256m n x y ---==⨯=
画龙点睛
将所求的代数式转化为以m x
-、n y 为底的乘方，进而代入相应的值进行计算. 举一反三
1. 计算(1)222242(2)()a b a b a b ----÷
(2)541321111(1)()
()()()21023
----++-+-⨯-
(3)10222(510)(0.210)(200)⨯÷-⨯⨯-
2. 水与我们日常生活密不可分，科学家研究发现，一个水分子的质量大约是
26310-⨯kg ，8 g 水中大约有多少个水分子?通过进一步研究科学家又发现，一个水分子是由2个氢原子和一个氧原子构成的.已知一个氧原子的质量约为
262.66510-⨯kg ，求一个氢原子的质量.
3. 已知2310a a -+=，求(1)1a a -+；(2)22a a -+；(3)44a a -+
融会贯通
4. 如图，点O 、A 在数轴上表示的数分别是0、0. 1.将线段(OA 分成100等份，其分
点由左向右依次为1M 、2M ，…，99M ;再将线1OM 分成100等份，其分点由左向右依次为1N 、2N ，…，99N ;继续将线段1ON 分成100等份，其分点由左向右
依次为1P 、2P …，99P .则点37P 所表示的数用科学记数法表示为
7 分式方程的解法
分母中含有未知数的方程是分式方程.通常我们采用去分母的方法，将其变形为整式方程来解答.
经典例题
解方程52432332
x x x x --=-- 解题策略
解法一 去分母，得
(52)(32)(43)(23)x x x x --=--
2215610486129x x x x x x --+=--+
所以1x =-
验根知1x =-为原方程的解.
解法二 方程两边加1，得
5243112332
x x x x --+=+-- 即222332
x x =-- 所以2332x x -=-
解得1x =-
验根知1x =-为原方程的解.
解法三 原式可化为22112332
x x -=--- 所以222332
x x =-- 以下同解法二
画龙点睛
1. 通常我们采用去分母的方法来解分式方程，先将其变形为整式方程，再用解整式方
程的方法来解答.
2. 除了用去分母的方法来解分式方程外，采用部分分式的方法，即将分式分解为一个
整式和一个分式之和，这样可以使解方程的过程变得简单.
3. 解完分式方程后，要进行检验，这是一个必不可少的步骤.因为在去分母时容易产生
增根.
举一反三
1. (1)解方程2227461
x x x x x +=+--
(2)解方程2222112
x x x x x x x x -++=--+-
2. (1)解方程
22252571061268x x x x x x x x x --+=+----+
(2)解方程
253336237456x x x x x x x x ----+=+----
3. 若解方程
61(1)(1)1m x x x -=+--是会有增根，求它的增根
融会贯通
4. 已知方程11x c x c +=+ (c 是常数，0c ≠)的解是c 或1c
，求方程2131462a a x x a
+++=- (a 是常数，且0a ≠)的解.
8 列分式方程解应用题
和整式中的一元一次方程一样，列分式方程所解的应用题也包括工程问题、行程问题、经济问题等，本节介绍列分式方程解应用问题的方法.
经典例题
某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月多6立方米，求该市今年居民用水的价格.
解题策略
设该市去年居民用水价格为x 元/m 3，则今年用水价格为(125%)x +元/m 3.根据题意得:36186(125%)x x
-=+，解得： 1.8x = 经检验： 1.8x =是原方程的解.所以(125%) 2.25x +=
所以该市今年居民用水的价格为2. 25元/m 3.
画龙点睛
列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题步骤基本上是一致的:审查题意，设未知数;找出等量关系，列出方程;解分式方程并验根;写出答案.
举一反三
1. 某服装厂准备加工300套演出服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效
率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，请问:该厂原来每天加工多少套演出服?
2. 便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衫，就用8000元购进若干件，以每件58元
的价格出售，很快售完.又用17 600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次贵了4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完.问该服装店这笔生意共盈利多少元?
3. 从甲地到乙地共50 km ，其中开始的10 km 是平路，中间的20 km 是上坡路，余下
的20 km 又是平路，小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路上和上坡路上保持匀速).
融会贯通
4. 某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程，规定若干天内完成.
(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多30天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两组先合做20天，剩下的由甲组单独做，恰好按规定的时间完成，那么规定的时间是多少天?
(2)实际工作中，甲乙两组合做完成这项工程的56
后，工程队又承包了新工程，需要抽调一组过去，从按时完成任务考虑，你认为留下哪一组更好?说明理由.
参考答案
1 分式的概念
1. (1)B (2) C
2. (1)3x =- (2) 12x ≤-
或1x > 3. 6
4. 21a -≤<
2分式的基本性质
1. (1)1561561510a b c a b c -+++
(2)3211
a a a --+ 2. 由已知，得3x y xy -=-，所以 原式2()36333()23255
x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+-+-====----- 3. 24222221111111318
1()1x x x x x x x
====++-+++- 4. 将22
224a ab b a ab b ++++分子和分母同时除以ab ，得13143474a b b a a b b a +++==+++
3 分式的四则运算
1. 262393
m m m m -÷+-- 633(3)(3)2
m m m m m -=-++- 33
m m -=+ 当2m =-时，原式3235323m m ---=
==-+-+ 2. 3
2244
1124a a a b a b a b a b +++-+++ 3
222244
224a a a a b a b a b =++-++ 334444
44a a a b a b =+-+ 7
884a a b
=- 3. (1) 22213211143a a a a a a a +-+-⨯+-++ 2
13(1)1(1)(1)(1)(3)
a a a a a a a +-=-⨯++-++
2111(1)
a a a -=-++ 2
2(1)a =+ 由2280a a +-=知2(1)9a += 所以原式222(1)9
a ==+ (2)11(
)()1111
a b M N a b a b -=+-+++++ 111111
a b a a b b =-+-++++ 1111a b a b --=+++ (1)(1)(1)(1)(1)(1)
a b b a a b -++-+=++ (1)(1)(1)(1)
ab a b ab b a a b +--++--=++ 220(1)(1)ab a b -=
=++ 所以M N =
4. 设两次购买肥料的单价分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正数，且a b ≠)，则 甲两次购买肥料的平均单价为：
8008008008002
a b a b ++=+ (元/千克). 乙两次购买肥料的平均单价为：6006002600600ab a b a b +=++ (元/千克). 因为22()2()a b ab a b a b a a b +--=++，又a b ≠，0a >，0b >，所以2
()0()
a b a a b ->+ 所以甲的平均单价比乙的高，所以乙的购货方式更合算一些
4 分式的运算技巧——裂项法
1. 222(2)22()()()()
Mx N x b cx ca c x b ca x x x a x b x a x b ++---+-==+-++++ 且2
2(1)(2)x x x x +-=-+，a b >
所以2a =，1b =-，1c a b =+=
从而可得21M x =-=，24N b ca =-=-
2. 原式1111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)
x x x x x x x x =++++++++++ 111111*********
x x x x x x x x =
-+-+-+-+++++++ 114x x =-+ 3. 原式()()()()()()()()()()()()
a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b -+--+--+-=++------ 111111a c a b b a b c c b c a
=
+++++------ 0=
4. 因为23b c a x x ++-- (2)(3)(3)(2)(2)(3)
a x x
b x
c x x x --+-+-=-- 25632(2)(3)
ax ax a bx b cx c x x -++-+-=-- 所以2215632x ax ax a bx b cx c -=-++-+-
所以1a =，50a b c -++=，6321a b c --=-
解得1a =，3b =-，8c =
所以四边形的第四边d 的取值范围应满足138d ++>，138d ++>，182d ++>，381d ++>，解得412d <<
5 含有几个相等分式问题的解法
1. (1)设275
x y z k ===，则2,7,5x k y k z k === ① 2751455
x y z k k k z k ++++== ② 27955
x y k k z k ++== ③ 27522x y z k k k x k
+-+-== (2)设2310254
a b b c c a k +-+===则
2253104a b k b c k c a k +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩
解得2a k b k c k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
56756(14)25898917
a b c k k k a b k k +-+--==++ 2. 设a b c d k b c a a
==== 则234
,,,d ak c dk ak b ck ak a bk ak =======
所以41k =，得1k =±
当1k =时，a b c d ===，原式0=
当1k =-时，a b c d =-==-，原式2=-
3. (),(),()k a b c k b c a k c a b +=+=+=
于是2()k a b c a b c ++=++
因为0a b c ++≠ 所以12
k =
直线132y x =-的图象经过第一、三、四象限 故选择D
4. 设222p q r k x yz y zx z xy
===---， 故222(),(),()p k x yz q k y zx r k z xy =-=-=-
所以222
()9p q r k x y z yz zx xy ++=++---=
又px qy rz ++=333()k x xyz y xyz z xyz -+-+-
333()k x y z xyz xyz xyz =++--- 222()()k x y z x y z yz zx xy =++++---
9()x y z =++
所以px qy rz x y z
++++9= 6 整数指数幂
1. (1)4
24b a
(2)149
(3)12510⨯
2. 232.6710⨯个 271.67510
-⨯ kg 3. (1)因为2310a a -+=，且0a ≠
所以2
13a a += 所以21
13a a a a -++== (2) 2212()27a a
a a --+=+-= (3)44222()247a a a a --+=+-=
4. 1M 表示的数为310.110100
-⨯
= 1N 表示的数为3511010100
--⨯= 1P 5711010100--⨯= 37P 表示的数为637 3.710-=⨯
7 分式方程的解法
1. (1)原方程分母因式分解为746(1)(1)(1)(1)
x x x x x x +=+-+- 去分母得7(1)4(1)6x x x -++= 解得35
x =
检验知35x =为原方程的根
(2) 原方程式变形为22221112x x x x +
=+--+- 整理得2212x x x x --=+- 解得12
x =
检验知12x =为原方程的根 2. (1) 原方程分母因式分解为525710(3)(2)(4)(3)(2)(4)
x x x x x x x x x --+=+--+-- 去分母得5(4)(25)(2)(710)(3)x x x x x x -+--=-+
解得1x =
检验知1x =为原方程的根
(2)原方程化为2(7)93(4)93(5)92(6)97456
x x x x x x x x -+-+-+-++=+---- 999923327456
x x x x +++=+++---- 11117456
x x x x +=+---- 11117654
x x x x -=----- (6)(7)(4)(5)(7)(6)(5)(4)
x x x x x x x x ------=---- 11(7)(6)(5)(4)
x x x x =---- 22111342920
x x x x =-+-+ 422x = 解得112
x = 检验把112x =代入最简公分母(7)(4)(5)(6)0x x x x ----≠，所以112
x =是原方程的根
3. 去分母，得6(1)(1)(1)m x x x -+=+-
如果增根为1x =，则6(11)0m -+=，3m =
如果增根为1x =-，则6(11)0m --+=，无解，
所以3m =
4. 将方程2131462a a x x a
+++=-整理得 112323x a x a
+
=++- 112323x a x a -+=+- 所以23x a -=，或123x a -=
故32a x +=或312a x a +=
8 列分式方程解应用题
1. 设服装厂原来每天加工x 套演出服.根据题意，得
603006092x x -+= 解得20x =
经检验20x =是原方程的根.
2. 设原进价为x 元一件，则第二次进价为(4)x +元一件，依题意得
176********x x =+ 解得40x = 经检验40x =是原方程的根 服装店这笔生意第一次购进8000200x =件，第二次购进176004004
x =+件，服装店这笔生意共盈利200(5840)400(5844)9200⨯-+⨯-=(元). 3. 设小明在平路上的速度是x km/h ，根据题意，得
131011203()66x x -=-， 解得15x =
经检验15x =是原方程的根，且符合题意.
4. (1)设规定的时间是x 天，则甲单独完成需要(30)x +天，乙单独完成需要(12)x +，由
题意，得11120()(20)1301230
x x x x ++⨯-=+++， 解得24x =
经检验24x =是原方程的根，所以规定的时间是24天;
(2)由题意，因为规定时间是24天，所以甲单独完成需要243054+=(天)，乙单独完成需要241236+=(天).
留下甲完成需要的时间是:
51151()(1)65436654÷++-÷189=+ 27=24>，不能在规定时间完成任务;
留下乙完成需要的时间是:
51151()(1)1862465436636÷++-÷=+= 能在规定时间完成任务.
所以留下乙组好.
初中培优竞赛含详细解析 第5讲 分式
第5讲 分 式 一、选择题 1.（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式、整体代换） 已知a 2?3a +1=0,则4 a 2?9a ?2+9 1+a 的值为（ ） A . 3 B.5 C. 3 5 D. 6 5 分析：显然a ≠0，由题设得a +1 a =3，所求式子=4 a 2?3a +3a ?2+9 3a =?4+3×3?2=3. 答案：A . 技巧：通过对题设中等式的整体变形，能整体求值的就整体求值代换，这样能简化运算，达到快捷解题的目的. 易错点：代换过程中容易变形失误而致错. 2. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式） 若4x ?3y ?6z =0,x +2y ?7z =0(xyz ≠0)，则代数式 5x 2+2y 2?z 22x ?3y ?10z 的值为( ) A. ?12 B. ?19 2 C.-15 D.-13 分析：由题意得 4x ?3y =6z x +2y =7z ，解得 x =3z y =2z ，代人5x 2+2y 2?z 22x 2?3y 2?10z 2得5×9z 2+2×4z 2?z 2 2×9z 2?3×4z 2?10z 2 = ?13. 答案：D. 技巧：将三元化为一元，然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧. 易错点：这类题型在换元的时候容易计算错误. 3. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式） 已知x ，y ，，z 满足 2x = 3y ?z = 5z+x ，则 5x ?y y+2z 的值为（ ） A.1 B. 13 C.?12 D. 12 分析：由 2x = 3y ?z = 5z+x 得2(z +x )=5x ,2(y ?z )=3x ，解之得y =3x ,z =3 2 x . 所
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析
八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的化简与求值 典例剖析 【例l 】 已知2 310a a -+=，则代数式3 61 a a +的值为 ． （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a +=，需要对所求代数式变形含“1 a a +”． 【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =， 356 124234567 a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944 （五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路． 【例3】 3(0)x y z a a ++=≠． 求 222 ()()()()()() ()()() x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程． 【例4】 已知 1,2,3,xy yz zx x y y z z x ===+++求x 的值． （上海市竞赛试题） 解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．
【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111 a b c a b c ++= ++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数． 解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=． （北京市竞赛试题） 【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++= ② 1 4 b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答． （全国初中数学联赛试题） 能力训练 1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d -+-+-+的值是 ． （“希望杯”邀请赛试题） 2．已知2 131 x x x =-+，则242 91x x x =-+ ． （广东竞赛试题） 3．若2 2 2 1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c ++--- 的值为 ． （“缙云杯”竞赛试题） 4．已知 232325 x xy y x xy y +-=--，则11 x y -= ． 5．如果111,1a b b c + =+=，那么1 c a +=（ ）． A ．1 B ．2 C ．12 D ．1 4 （“新世纪杯”竞赛试题）
人教版 八年数学上册 竞赛专题：分式的化简与求值(含答案)
人教版 八年数学上册 竞赛专题：分式的化简与求值（含答案） 【例l 】 已知2 310a a -+=，则代数式3 61 a a +的值为 ． （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a +=，需要对所求代数式变形含“1 a a +”． 【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =， 356 124234567 a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1344 （五城市联赛试题） 解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路． 【例3】 3(0)x y z a a ++=≠． 求 222 ()()()()()() ()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成 x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程． 【例4】 已知 1,2,3,xy yz zx x y y z z x ===+++求x 的值． （上海市竞赛试题） 解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式． 【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c ++=++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第四讲 分式运算的方法和技巧(含答案)
第四讲 分式运算的方法和技巧 趣题引路】 如何计算 1111223(1)n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯+？通分？行不通！注意1111111,,,12122323(1)n n =-=-⋅⋅⋅⨯⨯+ 11.1n n = -+这叫做裂项，因此原式111111(1)()()1223111 n n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-= +++.从这里可以看出，分式的运算还有很多学问呢.本讲我们专门研究这一问题. 知识拓展】 分式的运算以分式的概念、分式的基本性质、运算法则为基础，其中分式的加减运算是难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，并以整式变形、因式分解为工具进行运算，通分一般有以下技巧： (1)等式中含有整式，其分母可看作1. (2)当分子的次数高于或等于分母次数时，可将其分离为整式与真分式之和. (3)先约分，后通分，可简化计算. (4)合理搭配，分组通分，化整为零 (5)拆项相消后通分. (6)分步通分，逐步计算 (7)换元通分法. 一、分步通分法 例1 计算424211 1111x x x x +++ +++- 解析 如一次性通分，最简公分母为1－x 8，可以预见计算量将非常大，注意到后两个分母：(1＋x )(1－x )＝1－x 2，因此采取各个“击破”法，后两个先通分. 解 原式＝422422 111x x x ++ ++- ＝444411x x + +- ＝ 881x - 点评:解题中既要看到局部特征，又要有全局考虑 二、裂项通分法
例2 (“五羊杯”竞赛题)计算： 222222()()()x yz y zx z xy x y z x yz x z x y zx x x y z xy +-++++--+++--- 解析 各分母相距甚远，似乎无从下手.考虑将每一分式拆成几个分式之和，化繁为简. 解 原式＝ ()()()()()() ()()()()()()x x z z x y y y x x y z z z y y z x x y x z y z y x z x z y -+++-++--++ +-++-+ ＝( )()()0x z y x z y x y x z y z y x z x z y ++-+-=+-++-+ 点评: 裂项需要很强的变形技巧：因式分解的熟练，添项减项的意识.数学技巧需要积累！ 三、先约分再通分 例3 (江西竞赛题)计算： 3323232 2112(1) .2212211x x x x x x x x x x -+++-+++-+-- 解析 注意到第一个分母可以分解成(x 3＋x 2)＋(x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)，与分子有公因式，可以约分，这样就轻松了. 原式＝ 222222(1)(1)(1)(1)2(1)112(1) 0.(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++-++-+++-=+-=+++--++-+-+- 四、换元通分法 例4 化简 222 ()()().()()()()()() y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------ 解析 三个分母有关联，均与x 、y 、z 的差有关，若设法将分母换成单项式，计算量就小多了，换元试一试. 解设x －y ＝a ，y －z ＝b ，z －x ＝c ，则a ＋b ＋c ＝0. 所以 222 ()()().()()()()()() y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------ ＝ 2223333333 [()3()]33b c a a b c a b ab a b c c abc c ac ab bc abc abc abc +++-++-++++====------- 点评: 根据分式的特点选取道当的方法，往往事半功倍. 五、部分分式法
初中数学竞赛分式(含答案)
初中数学竞赛分式(含答案) 分式常常因为其复杂的结构使人望而生畏，成为考试中的难点。要解决有关分式的问题，就必须准确掌握分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算等知识。灵活的运用相关的方法是解决这类问题的唯一途径。例如，通过分析来例证，则可以使分式悄然变成考试中的亮点。 一般地，有A，B表示两个整式，则式子①B中含有字母，②B≠0.B有两点要求：①含有字母，②不为0.本讲主要讲述分 式的变形和求值的技巧。 例1已知a,b为整数，且满足（）（）。求a+b的值。先 把已知等式的左边化简，然后考虑求出a、b的值。得出 b2+a2b-aa2b2ab=4，而a,b为整数且不相等，故3b-2,3a-2只可 能取值1，4或-1，-4.不妨设b 说明当已知条件以连比的形式出现时，可引进一个参数来表示这个连比，从而将条件分式转化为整式。 例3将分式化为部分分式。由于，和的分式的分子为。因为，则其中每个部分分式的分子应为常数。可利用待定系数法，设原式=，比较系数，得A=1，B=2，所以化为部分分式。 例4化简。先研究通项，解设，则比较系数,得A=1,B=-1，所以原式=……+的分解变形情况。(k=1,2,…1999).则。待定系 数法是化部分分式的常用方法。这种变形在有关分式计算等方面运用较多。 例5已知，求。由，得。的数值求出。的方法在运算中经常用到，希望同学们能熟练地掌握它们之间的关系。 例6求证无论a为什么整数，分式是不可约的。可先证明 公式，即。因为无论a为什么整数，有是不可约的。不可约。 说明对于某些非零代数式来说，从取倒数的角度来分析，有时可以揭示出一些内在的特征，从而找到解题的突破口。例如，对于求能被n+10整除的正整数n的最大值的问题，我们 8、分式的概念、分式的基本性质 【知识精读】 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。 下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 【分类解析】 例1. 已知a b ，为有理数，要使分式a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00， C. a b ≥>00， D. a b ≥>00，，或a b ≤<00， 分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由 a b ≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。 例2. 当x 为何值时，分式 ||x x -+5 5 的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。 解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。 ∴当x =5时，分式5 5 ||+-x x 的值为零。 例3. 已知113a b -=，求 2322a ab b a a b b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 9 5 D. 4 分析：Θ11311 3a b b a -=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 2322223 1122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=⨯----=()，故选择C 。 初中数学专项练习《分式》100道计算 题包含答案 一、解答题(共100题) 1、观察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（其中x≠0）．（1）根据上述分式的规律写出第6个分式； （2）根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 2、列方程解应用题： 某校为了满足同学们体育锻炼的需要，准备购买跳绳和足球若干．已知足球的单价比跳绳的单价多35元，用400元购得的跳绳数量和用1100元购得的足球数量相等．求跳绳和足球的单价各是多少元. 3、曲靖市某街道学苑社区开展爱心捐赠活动，并决定赠送一批阅读图书，用于贫困学生的课外学习.据了解，科普书的单价比文学书的单价多8元，用12000元购买科普书与用8000元购买文学书的本数相同，求这两类书籍的单价各是多少元. 4、先化简，再求值：其中x=1－2tan45°． 5、当a取什么值时，分式的值是正数？ 6、先化简：，再从－1，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值. 7、先化简，再求值：﹣﹣，其中m=4﹣． 8、化简：（xy﹣x2）÷÷． 9、先化简，再求值：，其中． 10、甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元.已知甲公司的人数比乙公司的人数多20℅，乙公司比甲公司人均多捐20元.甲、乙两公司各有多少人？ 11、红红服装店用元购进一批某款式T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，又用元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了元.求第一批该款式T恤衫每件进价. 12、先化简，再求值：，其中x=﹣3． 13、某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． （1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？ （2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ 14、某厂接到一份订单，某运动会开幕式需要720面彩旗，后来由于情况紧急，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前2天完成生产任务，该厂迅速增加人员，实际每天比原计划多生产36面彩旗．请问该厂实际每天生产多少面彩旗？ 15、某工厂为了完成供货合同，决定在一定天数内生产某种零件6000个，由于采用了新技术，每天比原计划增产20%，因此可提前20天完成任务，问原计划每天生产零件多少个？ 16、解方程：+=2； 17、先化简，再求值：﹣÷（1﹣）．其中m满足一元二次方程m2+（5 tan30°）m﹣12cos60°=0． 18、先化简，再求值：，其中x=3． 19、甲、乙两人分别从距离目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度. 《分式》竞赛专题训练 1 分式的概念 分母中含有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零. 经典例题 (1)当x 为何值时，分式22211x x --有意义? (2)当x 为何值时，分式22211x x --的值为零? 解题策略 (1) 要使分式22211x x --有意义，应有分母不为零这个分式有两个分母x 和11x -，它们都不为零，即0x ≠且110x -≠，于是当0x ≠且1x ≠时，分式22211x x --有意义， (2) 要使分式22211x x --的值为零，应有2220x -=且110x -≠，即1x =±且1x ≠，于是当1x =-时，分式22211x x --的值为零 画龙点睛 1. 要使分式有意义，分式的分母不能为零. 2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可. 举一反三 1. (1)要使分式 24 x x -有意义的x 的取值范围是( ) (A)2x = (B) 2x ≠ ( C)2x =- (D)2x ≠- (2)若分式的的值为零，则x 的值为( ) (A)3 (B)3或3- (C) 3- (D)0 2. (1)当x 时，分式23 (1)16x x -+-的值为零; (2) 当x 时，分式 2101 x x +≥- 3. 已知当2x =-时，分式x b x a -+无意义;当4x =时，分式的值x b x a -+为零，求a b +. 融会贯通 4. 0≤，求a 值的范围. 2 分式的基本性质 分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如改变分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节主要讲解它在解答一些分式计算综合题时的应用. 经典例题 若2731 x x x =-+，求2421x x x ++的值 解题策略 因为 2731 x x x =-+，所以0x ≠ 将等式2731x x x =-+的左边分子、分母同时除以x ，得1713x x =-+，所以有 1227x x += 因此24222221114911221435 1()1()17 x x x x x x x ====+++++-- 画龙点睛 对于含有1x x +形式的分式，要注意以下的恒等变形: 22211()2x x x x +=++ 22211()2x x x x -=+- 2211()()4x x x x +--= 举一反三 1. (1)不改变分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数; 专题40 全国初中数学竞赛分类汇编卷（七）分式综合（简单） 1．将分式1 2 a−b a+0.5b 中分子与分母的各项系数都化成整数，正确的是（ ） A ． a−2b 2a+b B ． a−b 2a+b C ． 2a−2b 2a+b D ． a−b a+b 2．如果对于任何实数，分式7−x 2+3x+m 总有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞−94 B ．m ＜−94 C ．m ＞0 D ．非以上答案 3．已知式子(x−8)(x+1)|x|−1的值为0，则x 的值为（ ） A ．±1 B ．﹣1 C ．8 D ．﹣1或8 4．当m =−16 时，代数式21−5m m 2−9 −m m 2−9 ÷m m+3 −m−3m+3 的值是（ ） A ．﹣1 B ．−1 2 C ．1 2 D ．1 5．设a ，b ，c 满足abc ≠0，a +b ＝c ，则b 2+c 2−a 2 2bc +a 2+b 2−c 2 2ab 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．﹣2 6．一件工程，甲乙合作2天可以完工，乙丙合作2天，可以完成全工程的5 9；丙甲合作2 天后，剩余工程由丙单独去做1天即可完工，那么由丙单独完成全部工程需要的天数是（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 7．已知x 2 ﹣5x ﹣2012＝0，则代数式 (x−2)3−(x−1)2+1 x−2 的值是（ ） A ．2013 B ．2015 C ．2016 D ．2017 8．已知实数p 、q 满足条件：1 p −1q = 1p+q ，则代数式q p −p q 的值为 ． 9．已知1 x − 1y =2，则分式 3x+2xy−3y x−2xy−y 的值等于 ． 10．化简： 2x x+1 − 2x+4x 2−1 ÷ x+2x 2−2x+1 ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的 数代入求值． 11．已知关于x 的分式方程 4x+1 + 3x−1 = k x 2−1 （1）若方程有增根，求k 的值； （2）若方程的解为负数，求k 的取值范围． 12．已知ab a+b = 1 15 ， bc b+c = 1 17 ， ca c+a = 116 ，求 abc ab+bc+ca 的值． 13．根据有理数的除法符号法则“两数相除，同号得正，异号得负”，求不等式2x+12−3|x| ＜0的 解集． 初中数学专项练习《分式》100道解答 题包含答案 一、解答题(共100题) 1、先化简，再求值：，其中x=2sin60°﹣（）﹣2． 2、已知：≠0，求代数式的值． 3、某人现在有大、小两辆卡车，已知的大卡车每天运m吨货物，小卡车比大卡车每天少运10吨货物，现在该人要让大卡车完成运送120吨货物，小卡车完成运送100吨货物，请问那辆卡车完成任务用的时间少？ 4、在徐汇区开展“创建全国文明城区”期间，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务，工程队在改造完180米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用30天完成了任务，问引进新设备后工程队每天改造管道多少米？ 5、某地区两个城市之间，可乘坐普通列车或高铁．已知高铁行驶线路的路程是400千米，普通列车行驶线路的路程是高铁行驶路程的1.3倍；高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍．如果乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度． 6、学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车的平均速度与自行车的平均速度的比是3：1，问：汽车与自行车的平均速度分别是多少？ 7、先化简再求值：，其中a=2，b=﹣1． 8、如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值． 9、在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？ 10、先化简，再求值：，其中x= ． 11、目前，中国首条水上生态环保公路﹣﹣湖北省兴山县古夫至昭君大桥全线贯通．该条公路全长10.5公里，公路建成后，汽车速度将提高到原来的3倍，行驶完全程所用的时间比建成前节省了42分钟．问：现在汽车行驶完全路程需多少时间？ 12、已知：y=2x2﹣ax﹣a2，且当x=1时，y=0，先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ． 13、因雾霾天引发的汽车尾气污染备受关注，由此汽车限号行驶也成为人们关注的焦点，限行期间为方便市民出行，某路公交车每天比原来的运行增加15车次．经调研得知，原来这路公交车平均每天共运送乘客5600人，限行期间这路公交车平均每天共运送乘客8000人，且平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同，问限行期间这路公交车每天运行多少车次？ 14、先化简，再求值：（﹣x+1）÷ ，其中x= ﹣2． 15、先化简，再求值：（﹣）÷ ，其中x是方程2x2﹣7x+3＝0的解. 16、马小虎的家距离学校2000米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的教学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校400米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度． 17、先化简，再求值：，其中x是不等式组 的整数解． 18、化简：•（1+ ） 初中数学专项练习《分式》100道填空 题包含答案与解析 一、填空题(共100题) 1、当x=________ 时，分式没有意义． 2、某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产________台机器． 3、计算：________. 4、计算=________ 5、若有意义，则x的取值范围为________． 6、计算：________ ． 7、方程﹣=0的解是________． 8、计算：（1）a5•a3•a=________，（2）（a5）3÷a6=________ ，（3）（﹣2x2y）3=________ ． 9、科学家发现，距离地球2540000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近．其中2540000用科学记数法表示为________． 10、如果方程的解为x＝5，则b＝________． 11、如果关于x的方程2无解，则a的值为________. 12、在函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 13、已知|a﹣3|+|b+2|=0，则的值是________． 14、如果等式（2a﹣1）a+2=1，则a的值为________．已知4x=2x+3，则 x=________． 15、分式，的最简公分母是________． 16、使式子1+ 有意义的x的取值范围是________． 17、对于分式，当x ________ 时，分式无意义；当x ________ 时，分式的值为0. 18、计算：= ________；（3ab2）﹣2= ________． 19、已知a≠0，S 1=﹣3a，S 2 =，S 3 =，S 4 =，…S 2015 =，则 S 2015 =________． 20、已知，则m=________ . 21、函数中，自变量x的取值范围是________． 22、已知关于x的方程=m的解满足（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是________． 23、方程的解为x=________. 24、红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为 0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为________ ． 25、神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为________公里． 26、代数式有意义，则x的取值范围是________． 初中数学专项练习《分式》100道选择 题包含答案 一、选择题(共100题) 1、若,则的值为( ) A. B. C. D. 2、若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（） A.为原来的3倍 B.不变 C.为原来的 D.为原来的 3、若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（） A.23 B.25 C.27 D.28 4、使分式无意义，x的取值是（） A.0 B.1 C.-1 D. ±1 5、分式方程﹣1= 的解为（） A.x=1 B.x=﹣1 C.无解 D.x=﹣2 6、小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（） A. B. C. D. 7、要使分式有意义，则x应满足的条件是（） A.x≠1 B.x≠﹣1 C.x≠0 D.x＞1 8、下列运算正确的是（）. A.（2a 2）3=6a 6 B.﹣a 2b2•3 ab 3=﹣3a 2b5 C. =﹣1 D. =﹣1 9、下列计算正确的是（） A. B. C. D. 10、“五·一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x名，则所列方程为( ) A. －＝3 B. －＝3 C. －＝ 3 D. －＝3 11、若分式方程的解为2，则a的值为（） A.4 B.1 C.0 D.2 12、如果分式有意义，那么的取值范围是（） A. B. C. D. 13、甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x 天．则可列方程为（） A. B.10+8+x=30 C. D.8年级数学(人教版)培优竞赛训练—8、分式的概念、分式的基本性质
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