高一数学幂函数知识点

高一数学幂函数知识点

1.概念：y x α=（x 是自变量，α是常数）

注意：（1）.只有形如y x α=（α为任意实数，x 为自变量）的函数才是幂函数，否则就不是； （2）.判断是否为幂函数的依据：y x α=

①．指数为常数 ②. 底数为自变量 ③. 底数系数为1 如：()3,2,5,

y x y x y x α

αα===+等都不是幂函数.

2.幂函数的图象 按0,1,1,01,0ααααα==><<<五种类型分

3.幂函数y x α=在第一象限图象特征

（1）.当1α>时，图象过（0,0），（1,1），下凸递增，如3y x = （2）.当01α<<时，图象过（0,0），（1,1），上凸递增，如12

y x =

（3）.当0α<时，图象过（1,1），下凸递减，且以两坐标轴为渐近线.如12

y x -= -

4.幂函数的性质

（1）.所有的幂函数在()0,+∞上都有意义，图象都过（1,1）. （2）.如果0α>，则幂函数过原点，在()0,+∞上单调递增.

（3）.如果0α<，图象在()0,+∞上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴；当x 趋向于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴.

（4）.①.当α为奇数时，幂函数为奇数 ②.当α为偶数时，幂函数为偶数 ③.当(),,p

p q p q N q

α+=

∈为互质，时

a. 若q 为奇数，则当p 为奇数时p q y x =为奇函数，当p 为偶数时p q

y x =为偶函数 b. `

c.

若q 为偶数，则p 必为奇数，此时p q

y x =为非奇非偶函数

（5）.幂函数的定义域

①.当N α+∈时，定义域为R ②.当0α=时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ③.当α为负整数时，定义域为{}|,0x x R x ∈≠ ④.当(),,1,,p

p q N q p q q

α+=

∈>且互质时 a. q 为偶数时，定义域为[)0,+∞ b. q 为奇数时，定义域为R ⑤.当()-,,1,,p

p q N q p q q

α+=∈>且互质时 a. q 为偶数，定义域为()0,+∞ b. q 为奇数，定义域为{}|,0x x R x ∈≠.