2019年浙江省杭州市中考数学试卷及答案解析

2019年浙江省杭州市中考数学试卷

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；

1．（3分）计算下列各式，值最小的是（）

A．2×0+1﹣9B．2+0×1﹣9C．2+0﹣1×9D．2+0+1﹣9 2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3 3．（3分）如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）

A．2B．3C．4D．5

4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）

A．2x+3（72﹣x）＝30B．3x+2（72﹣x）＝30

C．2x+3（30﹣x）＝72D．3x+2（30﹣x）＝72

5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）

A．平均数B．中位数C．方差D．标准差

6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）

A．＝B．＝C．＝D．＝

7．（3分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°

C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°

8．（3分）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．

C．D．

9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）

A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos x

C．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x

10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）

A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝n﹣1或M＝N+2

C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；

11．（4分）因式分解：1﹣x2＝．

12．（4分）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于．

13．（4分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于cm2（结果精确到个位）．

14．（4分）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝．

15．（4分）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式．

16．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．

三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）化简：﹣﹣1

圆圆的解答如下：

﹣﹣1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．

18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．

实际称量读数和记录数据统计表

（1）补充完成乙组数据的折线统计图．

（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系．

②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．19．（8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．

（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC ＝3∠B，求∠B的度数．

20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．

（1）求v关于t的函数表达式；

（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行

驶速度v的范围．

②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．

21．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC 边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．

（1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．

22．（12分）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．

（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．

23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，

①求证：OD＝OA．

②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．

（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED （m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．

2019年浙江省杭州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；

1．解：A.2×0+1﹣9＝﹣8，

B．2+0×1﹣9＝﹣7

C．2+0﹣1×9＝﹣7

D．2+0+1﹣9＝﹣6，

故选：A．

2．解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，

∴m＝﹣3，n＝2．

故选：B．

3．解：连接OA、OB、OP，

∵P A，PB分别切圆O于A，B两点，

∴OA⊥P A，OB⊥PB，

在Rt△AOP和Rt△BOP中，

，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），

∴PB＝P A＝3，

故选：B．

4．解：设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：

3x+2（30﹣x）＝72．

故选：D．

5．解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．

故选：B．

6．解：∵DN∥BM，

∴△ADN∽△ABM，

∴＝，

∵NE∥MC，

∴△ANE∽△AMC，

∴＝，

∴＝．

故选：C．

7．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

故选：D．

8．解：A、由①可知：a＞0，b＞0．

∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；

B、由①可知：a＜0，b＞0．

∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；

C、由①可知：a＜0，b＞0．

∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；

D、由①可知：a＜0，b＜0，

∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．

故选：A．

9．解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，

∴∠EAB＝x，

∴∠FBA＝x，

∵AB＝a，AD＝b，

∴FO＝FB+BO＝a?cos x+b?sin x，

故选：D．

10．解：∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+1，

∴△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，

∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，

∴M＝2，

∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，

∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；

当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；

综上可知，M＝N或M＝N+1．

故选：C．

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；

11．解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），

故答案为：（1﹣x）（1+x）．

12．解：∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，

则这m+n个数据的平均数等于：．

故答案为：．

13．解：这个冰淇淋外壳的侧面积＝×2π×3×12＝36π≈113（cm2）．故答案为113．

14．解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C ＝＝＝；

若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cos C＝＝

＝；

综上所述，cos C的值为或．

故答案为或．

15．解：设该函数的解析式为y＝kx+b，

∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，

∴

解得：，

所以函数的解析式为y＝﹣x+1，

故答案为：y＝﹣x+1．

16．解：∵四边形ABC是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，

由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，

∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，

∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，

∵△A′EP∽△D′PH，

∴＝，

∴＝，

∴x2＝4a2，

∴x＝2a或﹣2a（舍弃），

∴P A′＝PD′＝2a，

∵?a?2a＝1，

∴a＝1，

∴x＝2，

∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，

∴AD＝4+2++1＝5+3，

∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．

故答案为2（5+3）

三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：圆圆的解答错误，

正确解法：﹣﹣1

＝﹣﹣

＝

＝

＝﹣．

18．解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：

（2）①＝50+．

②S甲2＝S乙2．

理由：∵S甲2＝[（48﹣50）2+（52﹣50）2+（47﹣50）2+（49﹣50）2+（54﹣50）2]＝6.8．

S乙2＝[（﹣2﹣0）2+（2﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（4﹣0）2]＝6.8，

∴S甲2＝S乙2．

19．解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，

∴P A＝PB，

∴∠B＝∠BAP，

∵∠APC＝∠B+∠BAP，

∴∠APC＝2∠B；

（2）根据题意可知BA＝BQ，

∴∠BAQ＝∠BQA，

∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，

∴∠BQA＝2∠B，

∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，

∴5∠B＝180°，

∴∠B＝36°．

20．解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，

∴v关于t的函数表达式为：v＝，（0≤t≤4）．

（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时

将t＝6代入v＝得v＝80；将t＝代入v＝得v＝100．

∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．

②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：

8点至11点30分时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120千米/小时，超速了．

故方方不能在当天11点30分前到达B地．

21．解：（1）设正方形CEFG的边长为a，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴DE＝1﹣a，

∵S1＝S2，

∴a2＝1×（1﹣a），

解得，（舍去），，

即线段CE的长是；

（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，

∴CH＝0.5，

∴DH＝＝，

∵CH＝0.5，CG＝，

∴HG＝，

∴HD＝HG．

22．解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；

∴二次函数经过点（0，0），（1，0），

∴x1＝0，x2＝1，

∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，

当x＝时，y＝﹣，

∴乙说点的不对；

（2）对称轴为x＝，

当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；

（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，

∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，

∴mn＝[﹣][﹣]

∵0＜x1＜x2＜1，

∴0≤﹣≤，0≤﹣≤，∴0＜mn＜．

23．解：（1）①连接OB、OC，

则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，

∴∠OBC＝30°，

∴OD＝OB＝OA；

②∵BC长度为定值，

∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，

当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，

△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OB sin60°×＝；

（2）如图2，连接OC，

设：∠OED＝x，

则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，

则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，

∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，

∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，

即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，

化简得：m﹣n+2＝0．