二次函数知识要点

二次函数要点姓名：

一．以下说明什么？

1．抛物线过原点2．抛物线对称轴为y轴3．抛物线顶点在x轴上4．抛物线顶点在原点5．抛物线顶点在y轴上

6。抛物线与x轴交点的横坐标为x1，x2，则对称轴为，抛物线过（4，6），（2，6）两点，则说明抛物线对称轴为。

7．当x为何值时函数y有最大值或最小值

8．说出y=ax2，y=ax2+c，y=a（x+m）2，y=a（x+m）2+k的顶点坐标，以上几种形式都可称为式9．求二次函数的最值就是求。

10。函数y=ax2+bx+c的最小值是-1，说明什么？

11．如何判断抛物线与x轴的交点的个数？如何求其坐标？

12．如何判断函数与函数的交点个数？如何求其坐标？

13．要使抛物线进行左、右平移必须在什么形式下进行？

例把y=x2+4x向左平移2个单位把抛物线进行上、下平移必须在什么形式下进行？

14．把抛物线的旋转1800，必须在式下，改变的值即可。

例把y=4x2+3和y=4x2+8x旋转1800得解析式为。

15．求抛物线的顶点坐标有几种方法，各为何法？

16．求抛物线顶点的公式为。

17．函数有最大值或最小值由谁决定，何时有最大值，最小值？

18．二次项系数a决定函数图象的，|a|越大，图象开口。

19．求抛物线与x轴两个交点间的距离如何求？

例。分别求二次函数（1）y=x2+4x-3 （2）y=x2+（a-2）x-2a

20．如何求抛物线与y轴的交点坐标？

21．二次函数对称轴只与哪些系数有关？

例求二次函数y=2x2-4x-c的对称轴

22．在二次函数中，何时出现一元二次方程，什么情况下提及△

例抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点个数为。

23．函数y =ax2+bx+c y恒大于0，必须具备什么条件。y恒小于0必须具备什么条件。y恒大于等于0或恒小于等于0呢？

24．抛物线与y轴交于正半轴，则c 0，交于负半轴则c 0。

二、二次函数必须掌握的题型及步骤

（一）二次函数与坐标轴交点的求法

1．求二次函数与x轴的交点坐标

步骤：令y=0，求ax2+bx+c=0的两根x1、x2，则x1、x2即为二次函数与x轴的交点的横坐标

2．求二次函数与y轴的交点坐标

步骤：把x=0代入y=ax2+bx+c中，求得y 即为交点的纵坐标

例抛物线y=2（x-1）2与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标。

二．函数与函数的交点坐标的求法

步骤：（1）把两函数组成方程组

（2）方程组的解即为交点坐标

例求直线y=3x-3 与抛物线y=x2-x+1的交点坐标。

三．求函数解析式

步骤：（1）设函数解析式（2）求方程或方程组（3）求得系数代入解析式（4）化成一般式

类别：顶点式y=a（x+m）2+k

已知特点：（1）已知顶点坐标（2）已知对称轴（3）最值

例（1）抛物线的顶点坐标是（-1，-2）且经过点（1，10）

（2）抛物线当x=3时，y 最大值=4，且经过点（4，-3）

2．一般式y=ax 2+bx+c

已知特点：（1）三个一般点

例已知抛物线通过三点：（1，0），（0，-2），（2，3）

（2）已知对称轴及两个一般点

例已知抛物线对称轴为x=2的直线且通过（1，4）和（5，0）两点四．四点作图法

五点：（1）顶点（2）与x 轴交点（x 1，0），（x 2，0）（3）与y 轴的交点（0，c ）

五．题目中出现y ＞0，y ＜0，y=0（或y=ax 2+bx+c ＞0）

步骤：（1）求抛物线与x 轴交点的横坐标

（2）画草图（只须与x 轴交点的横坐标及开口方向）

例（1）已知二次函数y =3（x-2）（x+3），问x 为何值时y ＞0，y ＜0，y=0

（2）看图求解何时y ＞0，y ＜0，y=0

六．比较函数值y 的大小

步骤：（1）已知二次函数的对称轴

（2）画草图（草图只须对称轴及开口方向）

（3）点在对称轴的同侧：用函数增减性比较

异侧：用点与对称轴的距离来比较

例（1）已知二次函数y=-x 2+2x+3，设自变量

x 1＞x 2＞x 3＞1，试比较y 1，y 2，y 3的大小

（2）二次函数y=-2x 2+4x+k ，当x 分别取0，1.5，3时，相应的函数值为y 1，y 2，y 3，那么y 1，y 2，y 3的大小关系为（用＜号连接）

七、函数应用题

1、经济类：利润=（售价-成本价）乘以销售量

2、几何类：运用几何面积或周长

3、实际生活类：如桥、篮球、水流等要先建立适当的平面直角坐标系，把实际数据转化成点的坐标，再求出函数解析式。

1、已知抛物线的对称轴为x =2，且经过点（3，0），则a +b +c 的值为．

2、已知抛物线经过点A （－2，7），B （6，7），C （3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点坐标是___________．

1、求将二次函数图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到图像的函数表达式．

2、请写出一个二次函数解析式，使其图像的对称轴为x =1，并且开口向下．

3、请写出一个二次函数解析式，使其图象与x 轴的交点坐标为（2， 0）、（－1，0）．

4、请写出一个二次函数解析式，使其图象与y 轴的交点坐标为（0， 2），且图象的对称轴在y 轴的右侧．

2．二次函数c bx x y ++=2

的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）

3．抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（）

4．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（）

5．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2

－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（）

6．函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）

一、补全网络

1．二次函数的定义：一般地，形如c bx ax y ++=2的函数叫做x 的二次函数，a 具备的条件是．

2．二次函数的图象是，它是具有对称性质的图形。

3．c bx ax y ++=2图象的性质：

（1）开口方向：

（2）顶点及对称轴：（3）增减性：（4）最大值（或最小值）：二、巩固网络 1．当a 时，函数()()()33922---+-=a x a x a y 是二次函数，当a 时，是一次函数．

2．抛物线22x y =的对称轴是，开口，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，函数有值，是．

3．抛物线322--=x x y 的顶点坐标是，对称轴是，与y 轴的交点是．

4．写出一个二次函数：（1）开口向下，对称轴在y 轴的右侧；（2）开口向上，且经过原点．回思：（1）这四道题都涉及那些知识点？（2）运用什么方法做题时比较直观？

5．二次函数2x y -=的图象向上平移2个单位，得到的函数解析式是，将得到的新图象再向左平移3个单位，得到的函数解析式是．

6．二次函数4)3(21

2++-=x y 的图象向下平移3个单位，再向右平移4个单位，得到的函数解析式

是，再绕顶点旋转?180得到的函数解析式是．

回思：（1）这两道题有什么共同特点？（2）你用什么方法作的？

8．二次函数()k x y +--=213的图象上有()1,2y A ，()2,2y B ，()3,5y C -三点，则y 1，y 2，y 3的大小关

系是．

回思：你用什么方法做这道题？你有几种方法？哪种方法最简单？

9．用两种方法求25212-+-

=x x y 的顶点及对称轴．方法一：公式法

方法二：配方法回思：（1）这两种方法有什么内在联系？

（2）用哪种方法做题速度快？

三、尝试范例

例若抛物线c x x y ++=62的顶点在x 轴上，求c 的值．

回思：（1）解题的关键是什么？

（2）易犯什么错误？

中考数学复习专题二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结： 2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．

总结： 3. ()2 y a x h =-的性质：结论：左加右减。总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：总结： a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

二次函数基本知识点梳理及训练(最新)

① 二次函数考点一一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数． 1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式；②x 的最高次数是2；③二次项系数a ≠0. 2．二次函数的三种基本形式一般形式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)；顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k)；交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1 、x 2 是图象与x 轴交点的横坐标．考点二二次函数的图象和性质

考点三二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系考点四任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：考点五 1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式． 3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式考点六二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系． ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围． (1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是() A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2)D．(1，－4) (2)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为() A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2 (3)函数y＝x2－2x－2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是() ②

二次函数知识点梳理

二次函数de 基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数de 概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）de 函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数de 定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++de 结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x de 二次式，x de 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数de 基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =de 性质： a de 绝对值越大，抛物线de 开口越小。 2. 2 y ax c =+de 性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-de 性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+de 性质：三、二次函数图象de 平移在原有函数de 基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++de 比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同de 表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2 y ax bx c =++图象de 画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取de 五点为：顶点、与y 轴de 交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称de 点()2h c ，、与x 轴de 交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称de 点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴de 交点，与y 轴de 交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++de 性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x de 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x de 增大而增大；当2b x a =-时，y

二次函数知识点汇总(全)

二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）

3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有

二次函数知识点梳理

初三年级数学—二次函数的基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -．

二次函数知识点总结59889

二次函数知识点一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成c m x b m x a y ++++=)()(2 （或 c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而

全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质（1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0