数学建模
数学建模论文
学院：电气与电子工程学院专业：电气工程及其自动化题目：减肥问题
班级：070305班
姓名：XXX
20009年12月4日
1.题目：减肥问题
2.摘要：
肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。在正常生理情况下，一般人习惯于一日三餐。人体最大消耗是在一天中的上午。由于胃经过一夜消化早已排空，如果不吃早饭，那么整个上午的活动所消耗的能量完全要靠前一天晚餐提供，这就远远不能满足营养需要。中餐在饥不择食的情况下，吃得又快又多，摄入的量往往超过早、中两餐的总和反而使热量过剩，多余的热量以脂肪的形式贮存于体内，使身体发胖。所以在睡前三小时以内不要吃任何东西是最理想的减肥方法，特别注意不要吃酒、肉类食物。如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题，于是了解减肥
的机理成为关键。
在此，我们收集相应数据，通过引入人的体重与时间的函数关系,建立了一个微分方程模型,采用离散化方法,以天为单位,从数学的角度解决了每天的饮食摄入量、运动强度与体重的关系,以探索减肥的科学方法。
3.背景知识：
随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。于是了解减肥的机理成为关键。背景材料: 根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：
（1）每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。
（2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。
（3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。
（4）一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%。1、每日膳食中,营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳质量标准,营养素
的要求量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量,如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量,将使身体产生不利的影响. (每天膳食提供的热量不少于5000 ———7500J ,这是维持正常生命活动的最少热量)
(5) 、成人每天需要的热量= 人体基本代谢需要的热量+ 体力活动需的热量+ 食物的特殊动力的作用所需要的热量
①人体基本代谢的需要的热量的简单算法:
女子:基本热量(千卡) = 体重(斤) ×9 (千卡) = 体重(斤) ×4. 2 ×3
10J
男子:基本热量(千卡) = 体重(斤) ×10 (千卡) = 体重(斤) ×4. 2 ×3
10J
②食物的特殊动力的作用所需要的热量≈10 % ×人体基本代谢的最低热量
③体力活动所需要的热量= 人体基本代谢的需要的本热量×活动强度系数
4.问题重述：
随着人们的生活水平的日渐提高,饮食营养摄入的不断改善和提高“,肥胖”已成为全社会关注的一个重要问题,肥胖无论从审美或健康的角度,都严重地威胁到人们,各种减肥食品、药物或是健美中心如雨后春笋般出现,现在我们也利用减肥的基本原理以及在减肥过程中应注意的问题利用科学的原理,组建一个减肥的数学模型,从数学的
角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。所以我们可以通过引入人的体重与时间的函数关系,建立了一个微分方程模型,采用离散化方法,以天为单位,从数学的角度解决了每天的饮食摄入量、运动强度与体重的关系,以探索减肥的科学方法。
为了说明问题特采集的数据如下表1：
5.模型假设：
1．题中所给出的体重平均值表中的数据比较科学、合理、精确。2．所采集的人群均为健康人群。
3．所采集的人群生理状况良好。
4．采集的人群具有普遍性。
5．只考虑身高与体重的关系。
6．人的体重由碳水化合物、脂肪、蛋白质三部分组成, 不考虑其它成分。
7. 摄入的食物全部转化为热量。
8. 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标。对于一个成年人来说体重主要由三部分组成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2×107焦耳的能量。记D=4.2×107焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数。
9. 人体的体重仅仅看成是时间t的函数w（t），而与其他因素无关，这意味着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响。
10. 体重随时间是连续变化的，即w（t）是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。
11. 不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为50千克和100千克的人都跑1000米，所消耗的能量显然是不同的。可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制订一个合理且相对稳定的活动计划，我们可以假设在单位时间（1日）内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记B为每1千克体重
每天因活动所消耗的能量。
12. 单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重。记C 为1千克体重每天消耗的能量。
13. 减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A 。
6：模型的建立：
建模过程中，我们以“天”为时间单位。根据假设(3)，我们可以在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化。
根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差。
考虑时间区间[t ,t +Δt ]内能量的改变，根据能量平衡原理，有
[()()]()t t
t t
t
t
D w t t w t A t B w s ds C w s ds +?+?+?-=?--?
?
由积分中值定理有()()(),(0,1)w t t w t a t bw t t t θθ+?-=?-+??∈,
其中/a A D =，
B C
b D
+=, 两边同时除以Δt.并令Δt →0取极限得
()
(),0dw t a bw t t dt
=->
这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型。我们知道模型的某些假设不十分合理，但我们希望求解模型，看看能否说明一些问题。
7.模型的求解：
设t =0为模型的初始时刻，这时人的体重为w （0）=w 0。在模型的两边同时乘以e bt 得
()()bt
bt bt dw t e bw t e ae dt
+=
即
(())bt bt d
e w t ae dt
= 从0到t 积分，并利用初值0(0)w w =得
00()(1)()bt
bt
bt a a a w t w e
e w e b b b
---=+-=+-.
8.模型推广：
1）
a
b
是模型中的一个重要参数。/a A D =是每天由于能量
的摄入而增加的体重。()/b B C D =+是每天由于能量的消耗而失去的体重。 2） 假设a =0，即停止进食，无任何能量摄入，体重的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生。此时，0()bt
w t w e
-=.
（1）不进食的节食减肥法是危险的。因为lim ()0t w t →+∞
=, 即体重（脂肪）都消耗尽了，如何能活命！
（2）当a =0时，有00
(())/1bt
w w t w e --=-, 这表明在[0,]t 内体重减少的百分率为1bt e --，称之为[0,]t 内体重消耗率，特别
地，
1b
e --是单位时间内的体重的消耗率，事实上，
(1)00(1)()b t bt b b w t w e w e e w t e -+---+===，
所以(()(1))/()1b w t w t w t e --+=-. 自然0()/bt
e w t w -=为[0，t ]
内的体重保存率，它表明t 时刻体重占初始体重的百分率。
基于上面的分析，t 时刻的体重由两部分构成：一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得的补充量，这一解释从直观上理解也是合理的。
3）由上面的模型可得lim ()t a A w t b B C →+∞==+,记*A
w B C
=+, 也就是说模型的解渐近稳定于*w ，它给出了减肥的最终结果，称 *w 为减肥效果指标。因为
bt
e
-衰减很快，在有限时间内，
0(/)bt
w a b e --就很小，可以忽略，当t 充分大时，
()a A
w t b B C ==
+这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥胖、
瘦小），从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节A （进食）、B （活动）、C （新陈代谢）。同时也说明了，任何减肥方法都是考虑和调节上述三个要素：节食是调节A 、活动是调节B 、减肥药是调节C 。由于C 是基础代谢和食物特殊动力的消耗，它不可能作为减肥的 措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而言可以认为是一个常数，有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得推敲的。于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量。这也是熟知的常识。
容易证明，当且仅当*0w w <时有0dw
dt
<, 这表明只有当*0w w <时才有可能产生减肥的效果。
4） 进一步讨论能量的摄取量A 与活动消耗量B 对减肥效果的影
响。由*A w B C
=+有**A w B w C =+在A －B 坐标系内表示一条过点（－C ，
0）斜率为w *的直线。根据背景知识，任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持正常生理功能所需要的能量。因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限w 1，当*
0w w <时表明能量的摄
入过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需要的能量。这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的健康，因而称w 1为减肥的临界指标。此外，人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围，即存在B 1使得10B B <<, 于是在A B -平面上由B =0、B =B 1和A =0所界出的上半带形区域被直线
000:l A w B w C =+和111:l A w B wC =+分割成三个区域：1Ω、
2Ω和3Ω，这表明减肥的效果是控制进食和增加消耗综合作用、相
互协调的结果。在区域1Ω中，能量的摄取量A 大于体重为w 0（初始体重）时的消耗量w 0（B +C ），这时体重将在w 0基础上继续增加，故称之为非减肥区；而在区域3Ω中，能量的摄取量A 低于体w 1 时的消耗量w 1（B +C ），体重将减 少到临界减肥指标以下，这将危及人的身体健康，故称3Ω为减肥危险区。只有区域2Ω所表示的A 和B 的组合才能实现有效的减肥，故称2Ω为有效减肥区。如图
综上分析,认为本模型得出结果是比较科学和合理的。而且，本模型避免了做强度过大的运动和靠药物来达到增加能量消耗、抑制食欲的不科学的方法。
9.模型的评价：
1.模型的优点：
（1）采用的数学模型有很成熟的理论基础，可信度很高。
（2）本文所建立的模型都是通过数学软件工具，严格的对模型求解，具有科学性。
（3）本文建立的模型与实际紧密联系，使模型更贴近实际，通用性，推广性较强。
2.模型的缺点：
模型的建立过程中，仅考虑了身高对体重的影响，没有考虑到其他因素带来的影响，结果与实际具有一定的误差。因此对减肥的实际效果仅能作为参考。
综上分析,认为本模型得出结果是比较科学和合理的。而且，本模型避免了做强度过大的运动和靠药物来达到增加能量消耗、抑制食欲的不科学的方法。例如咖啡因，通过提神一般会增加身体的活动量，同时因利尿作用减少体内的水分；但后一个作用只能暂时的减轻体重。减肥药物的功能不能简单地认为是“使体重减轻”，而是“使体重长期保持在减轻状态”。大多数人在服用减肥药物后，不能使体重保持在减轻状态，而使体重减轻后又出现反弹。
10.结束语:
为了能更好的解决问题也可已根据下面的假设来进行求解：
1体重随时间是连续变化的，即f（t），且只考虑t。这一切先转化到J（能量）
2假设在单位时间（1日）内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记A为每1千克体重每天因活动所消耗的能量。（正如体重分别为50千克和100千克的人都跑1000米，所消耗的能量显然是不同的。）
3每千体重肪可以转换为B焦耳的能量。也可以认为是转化率，也是最为关键的一环。
4记C为1千克体重每天代谢消耗的能量。
5假设人体每天吃进去的能量是D。
人体体重的变化是有规律的，减肥也应该科学化、定量化。根据上述模型，对于想减肥的人可以根据自己的体重、身高、饮食习惯和
运动方式选择不同的减肥方案，并可以分减轻体重和维持体重两个阶段制订适合自己的减肥计划。当然人体体重变化与每个人特殊的生理条件有关，特别是新陈代谢系数，不仅因人而异，而且即使同一个人在不同的环境下也会有所改变。在应用这个模型时，要对作仔细的核对。
11.参考文献
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[12] 吴建国主编. 数学建模案例分析. 北京：水利水电出版社，2005
什么是数学模型与数学建模
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
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数学建模—食品价格波动模型
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的偏差不超过10%是合理的。因此，根据这种理念，我们先作出了一些合理的假设，然后以天为基本周期，建立了以满足营养需求为约束条件，考虑到居民消费水平，以所花费用最低为目标函数的线性规划模型。代入一组具体数据，求解这个模型，得出一组相应的食物摄入量（表1），可以看出其中干豆坚果类与油脂类摄入量均为0，结果不太合理。 同时实际情况中，人不可能每天摄入的营养量完全一样，有时甚至会出现较大差异，因此人均每天营养需求量并不能严格做为约束条件。平衡膳食宝塔（图1）给出了人均每天每类食物摄入量的一个范围，一份食谱中各类事物的摄入量在平衡膳食宝塔给出的范围内浮动是合理的。鉴于此，我们对模型Ⅰ进行了改进，定义营养摄入合理度为各种营养的实际摄入量与需求量的相对偏差的绝对值的平均值。以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，以所需花费最少和营养摄入合理度最高为目标函数。对这个多目标规划，我们采用熵值法将多个目标加权组合形成一个新的目标，考虑到两个目标的量纲不同，我们定义消费合理度为实际花费与人均每天饮食消费的相对偏差的绝对值，以它和营养摄入合理度的加权组合作为目标函数，以每日营养素摄入量至少满足最低需求、食物每日摄入量在平衡膳食宝塔给出的需求范围内为约束，将模型Ⅰ优化成一个线性规划模型Ⅱ。我们给定3组权值，得出3组饮食方案(表5)。通过与标准值的对比，能够看出模型Ⅱ的解已基本满足需求。 再考虑地区饮食习惯和营养卫生需求，进一步优化模型，引入是否摄入食物的0-1变量与0-1常量，对是否要吃，吃多少的问题根据地方特点进行约束。 根据实际情况，考虑湖南地区孕妇、婴幼儿（0~2岁）、学龄前儿童（2~7
数学建模 人口模型
中国人口增长预测模型的建立与分析 摘要 针对我国人口发展过程中出现的老龄化进程加快，出生人口性别比持续升高，乡村人口城镇化的新特点，我们基于LESLIE 矩阵，着重考虑城镇与乡村间的人口迁移及女性人口比例变化对我国人口增长的影响，经过两次改进建立了便于计算机求解的差分方程模型，对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测。随后利用时间段参数设置法，对差分方程模型又进行了一次改进。然后运用等维灰色系统预测法对该差分方程模型的中短期预测进行了检验，同时根据2001年人口基本数据运用此模型对2001年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。 我们将预测区间分为2006～2020年、2021～2035年、2036～2050年三个区间，以量化短期、中期与长期。通过调整模型中相关参数及输入条件，定量地分析了男女性别比例、老龄化和乡村人口城镇化对我国人口增长的影响。预测结果表明，从短期来看，我国的出生性别比变化不明显，将在短期内维持基本不变，老龄化进程在15年内在上升了8个百分点，人口扶养比持续升高，这将加重我国的人口压力，乡村人口城镇化水平进展缓慢；从中期来看，总人口性别比将保持在1与1.1之间，老龄化进程将呈线性增加趋势，乡村人口城镇化水平将持续发展；从长期来看，老龄化进程将在2035到2045年经历老龄人口高峰平台，老龄人口比重在0.3以上，育龄妇女人数持续下降，总人口数将在2023年达到峰值14.05亿。 关键词：LESLIE矩阵，人口预测，性别比例，城镇化，老龄化，灰色系统预测
一、问题的重述 人口问题是中国社会发展的重要问题，对中国人口的中长期预测有助于政府制定相应的政策保持中国的长治久安。 现需要解决的问题如下： 1.主要根据2001～2005年的人口统计数据，对中国人口增长的中短期和长期趋势作出预测，特别要关注老龄化，出生人口性别比及乡村人口城镇化等因素。 2.指出所建模型的优点和不足之处。 二、模型假设 1.在未来50年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁灭性灾难）。 2.国际人口迁入与迁出量相等。 3.在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。 4.题目所给抽样数据是随机的，真实地反映了整体实际情况。 三、符号说明 123 d t d t d t分别表示乡村、镇、市第t年i岁人口的死亡率； (),(),() i i i 123 (),(),() x t x t x t分别表示乡村、镇、市第t年i岁的人口数； i i i 123 b t b t b t分别表示乡村、镇、市第t年i岁的女性生育率； (),(),() i i i 123 k t k t k t分别表示乡村、镇、市第t年i岁人口的女性比； (),(),() i i i 123 c t c t c t分别表示乡村、镇、市第t年的婴儿死亡率； (),(),() 123 f t f t f t分别表示乡村、镇、市第t年的出生人数； (),(),() 123 h t h t h t分别表示乡村、镇、市第t年i岁女性的生育模式； (),(),() i i i 123 βββ分别表示乡村、镇、市第t年的总和生育率； (),(),() t t t 123 t t t N N N分别表示乡村、镇、市第t年的总人数； (),(),() 123 w t w t w t分别表示乡村、镇、市第t年i岁女性的总人数； (),(),() i i i 123 (),(),() wd t wd t wd t分别表示乡村、镇、市第t年i岁女性的死亡率； i i i 123 m t m t m t分别表示乡村、镇、市第t年i岁男性的总人数； (),(),() i i i 123 md t md t md t分别表示乡村、镇、市第t年i岁男性的死亡率； (),(),() i i i r表示为迁移人口中女性所占比例； 123 z z z分别表示乡村、镇、市出生人口中女性所占的比例； ,, 四、问题的分析 人口发展过程的定量预测，需要预测出未来的人口发展趋势，包括人口总数、人口的性别、年龄和城乡构成，人口出生、死亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成中劳动力和抚养水平及老龄化水平等各项人口指数全部测算出来。人口增长的决定因素为出生率、死亡率和人口基数，但人口分布，人口素质，宏观政策和人口结构（如：年龄结构，性别比例等）等众多因素能够影响出生率与死亡率的波动，从而从根本上影响我国人口的增长。鉴于我国人口问题已有多方面的研究，我们针对近年来我国的人口发展出现的一些新特点，忽略国际人口流动，故可以认为我国人口为一个封闭的系统。对于封闭的系统来说，某时刻人口总量=人口基数+新生人口数—死亡人口数。为了提供更多关于市、镇、乡的人口增长分布趋势，我们对三者分别进行研
系统的描述与数学建模
系统的描述与数学建模 [摘要]数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。 [关键词]系统的建模数学建模 数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。一个极其复杂的数学模型对于分析系统毫无帮助。 为了说明这种数学建模的方法，我们举一个简单的例子。比如我们研究某一地区人口的健康状况。假定在我们的研究时段内没有人口的自然死亡，按照自然规律人口总是以一定的概率，变成亚健康、或者患上某种轻疾病、或者患上重疾病。在一定的环境和医疗条件下，部分亚健康者和患者会得以康复，这是一种简单运算的系统描述，并没有具体地给出定量表达。为了能用数学的方法表达这个描述，我们按照以下方式将人口分类：（1）健康人。（2）亚健康人。（3）患轻病人。（4）患重病人。 根据上面的关系和一些假定条件，我们可以得到相应的微分方程，至于方程的详细导出我们以后再讨论。这里我们需要指出，前面我们只是一种说明性的举例，在实际建模过程中，要依赖于系统所在的环境，按照前面方法得到的应是确定性模型，在随机环境中，上面所述的量应当对应成相应状态的概率。 再比如排队系统，是最常见的一种系统，这类系统主要描述顾客到达，接受服务然后离开这一过程。系统由顾客与服务员两个单元组成。这类问题主要由以下四个因素决定：（1）顾客来到窗口的频率。（2）窗口的个数。（3）排队规则。（4）服务时间分布；所以我们必须对它们作适当的假定。 在单个服务台的排队系统模型M/M/1，即系统只设一个服务台床的情况。假定顾客是相互独立地到达系统，而且顾客到达系统的间隔时间服从负指数分布 F(t)=1-e -λt (输入过程)，又服务窗为每一位顾客的服务时间也同时服从负指 数分布H(t)=1-e -μt (运行方式)。对这种最简单的排队模型，我们将依照不同的系统规则确定排队系统所满足的微分方程。 M/M/1损失制排队模型是指系统内只设一个服务窗，系统容量为1（即有一个排队位置而无排队等待位置），顾客到达和窗口服务时间均为负指数分布，且
数学建模 人口模型 人口预测
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历 史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况，人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数0.032735617965.017372.5t Y e ?=?-；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021年，深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词:GM(1,1)灰色模型 Logistic 阻滞增长模型 线性拟合 非线性拟合
数学建模 自习室管理系统
一．问题重述： 近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。根据题目所给出的数据，有以下问题。数据见表。 1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7. 要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。 2．在第一问基础上，假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…， 41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。 假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。
食品安全问题数学建模论文
食品安全模型 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. xd 2. pjp 3. lck 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2013 年 8 月 7日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
食品安全指数 摘要 食品安全问题近年来渐受全社会关注。提高食品安全程度，让人民群众吃得放心，已成为当前主要的民生问题之一。本文研究了食品安全指数的建立及其深度利用方法。 对于问题一，我们针对我国食品产业链的现状，将食品供应链划分为供应源头、食品加工和经营消费三个环节，建立了“从生产到消费”的评价指标体系。然后，用层次分析法计算出各同级指标之间的权重，并通过一致性指标进行验证。接着，应用模糊数学的理论处理2005~2012年各项指标的数据，计算出各同级指标与其上一级指标之间的模糊矩阵，根据各个指标间的权重，计算出各指标的安全指数，以此对食品安全问题做定量评估。然后通过各种媒体进行发布宣传。 对于问题二，我们利用线性回归的方法及matlab编程作出由问题一得出的S(a)即安全指数随年数的变化图形，结合移动平均法来预测未来几年的变化趋势，并算出2013年的食品安全指数。最后查阅相关资料，得到关于政府部门如何提高食品安全的具体措施。对于问题三，我们简单介绍了食品安全指数，向群众普及了这一概念，并叙述了如何运用该指数提高食品安全。 关键词：食品安全指数层次分析法模糊数学理论线性回归移动平均法未来预测
数学建模logistic人口增长模型
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增 长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r - = （3）
将（3）代入方程（1）得： ?? ???=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0) 解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5 得到1954-2005实际人口与理论值的结果： 根据《国家人口发展战略研究报告》 我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率2.0），我国的人口峰值在2045年
基于人口增长模型的数学建模(DOC)
数学建模论文 题目：人口增长模型的确定专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名：
人口增长模型 摘要 随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。关键词：人口预测Logistic模型指数模型
一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 年份1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 人口(?106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 年份1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(?106) 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。 人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。 三、问题假设 1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故 或战争等而受到大的影响； 2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则 3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制 四、变量说明
办公室电话系统模拟(数学建模)
排队论在电话问题中的应用 摘要 本文建立一个模拟办公室电话系统模型，解决由三个电话机占线而可能打不进电话的问题。根据该办公室的电话系统状况得知其服从排队论模型规律，则应用排队论知识建立模型。 用)(t Pn 表示在时刻t ，服务系统的状态为n （系统占线条数为n ）的概率。通过输入过程（顾客打进电话），排队规则，和服务机构的具体情况建立关于)(t Pn 的微分差分方程求解。令0)('=t P n 把微分方程变成差分方程，而不再含微分了， 把)(t Pn 转化为与t 无关的稳态解。关于标准的M/M/s 排队模型各种特征的规定于标准的M/M/1模型的规定相同。另外规定各服务器工作是相互独立（不搞协作）且平均服务率相同 .==...==s 21μμμμ于是整个服务机构的平均服务率为μs 。令ρ=λ/su 只有当时λ/su<1时才不会排成无限的队列，成这个系统为服务强度，各顾客服务时间服从相同的负指数分布 ' 通过模型我们可以得到：无占线、一条占线、两条占线、三条占线的概率分别 是%，%，%，%。 · 关键词：泊松分布，指数分布，概率，期望，Little 公式
… 一、问题重述 一个办公室有三条电话线可打进，也就是说在任意时刻最多能接待三个顾客，顾客打电话是随机的，其时间服从上午9点至下午5点的均匀分布，每次电话持续时间是均值为6分钟的随机变量。 经理关心由于三个电话机占线而可能打不进电话的顾客数。他们当中部分人稍后可能重拨电话，而其他人则可能放弃通话，一天中接通的电话平均数是70。 请你建立一个模型模拟办公室电话系统，帮助经理在休息时思考这个问题，用你的模型做下述估计： （1）} （2）无电话占线、有一条、两条占线和三条都占线的时间百分比; （3）未打进电话的顾客所占百分比。 二、问题的分析 这是一个多服务台混合制模型M/M/s/K，顾客的相继到达时间服从参数为的负指数分布（即顾客的到达过程为Poisson流），服务台的个数为s，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布，系统的空间为K。求平稳分布，考虑系统处的任一状态n。假设记录了一段时间内系统进入状态n和离开状态n的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等要么相差1。但就这两件事件平均发生率来说，可以认为是相等的。 三、基本假设 ①顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布； ②服务时间服从参数μ的负指数分布； ③顾客选择打进哪一条线是随机的而且是等可能的； ④， ⑤某条线接通时，其他顾客不能接通，则称为占线 四、符号定义及变量说明 ①：顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布，服务时间服从参数μ的负指 数分布； ②：) Pn表示在时刻t服务系统的状态为n（系统中顾客数为n）的概率，(t
食品安全问题数学建模
摘要 随着人们对生活质量的追求和安全意思的提高，食品安全已成为社会关注的热点。本文在此背景下通过建立数学模型来研究影响食品质量因素等问题。具体如下： 对于问题一，我们首先将主要食品分为蔬菜、肉类、面制品，饮品四大类，并将微生物、添加剂、重金属定为影响食品质量的因素三大因子。利用归纳统一法对该市数据进行统计分析，并运用数据拟合法，建立了影响各主要食品领域的因素与时间关系的模型，分析matlab软件绘制出的图形，得出2010、2011、2012三年该市的食品质量发展趋势。 对于问题二，在问题一主要食品分类的基础上，我们将影响食品质量的因素分为食品产地、食品销售地点、季节、保质期四大类，运用层次分析法对问题进行定量分析，建立影响食品质量的模型。通过比较每种因素对食品安全的权重，运用一致性检验的方法，确定各种因素与食品质量的关系。从结果来看，食品产地是影响食品质量的最大因素。 对于问题三，我们运用多层次划分法建立了集时间较短、成本费用较低和抽样效果较好的抽检模型，在已求得的权重基础上，进一步建立了基于权重的检测模型，即依据各个环节以及其内部影响因素的权重来进行检测次数的分配，保证检测针对性与较少投入的同时，尽可能检测出有问题的食品及生产企业。针对上述两个模型建立了目标函数分析模型，给出了详细的目标函数方法。 关键词：层次分析法多层次划分法抽样模型基于权重的检测模型
一问题重述 随着人们生活水平越来越好，人们越来越重视食品的食品的质量，“民以食为天”，食品安全关系到千家万户的生活与健康。随着人们对生活质量的追求和 安全意思的提高，食品安全已成为社会关注的热点，也是政府民生工程的一个 主题。城市食品的来源越来越广泛，人们消费加工好的食品的比例也越来越高，因此除食材的生产收获外，食品的运输、加工、包装、贮存、销售以及餐饮等每一个环节皆可能影响食品的质量与安全。另一方面，食品质量与安全又是一个专业性很强的问题，其标准的制定和抽样检测及评价都需要科学有效的方法。深圳是食品抽检、监督最统一、最规范、最公开的城市之一。根据2010年、2011年和2012年深圳市的食品抽检数据，确定如何抽检效果最好，在保证好效果的前提下，尽可能的节省时间和费用？根据实际情况，建立数学模型来讨论些列问题：（1）如何评价深圳市这三年各主要食品领域微生物、重金属、添加剂含量等安全情况的变化趋势； （2）从这些数据中能否找出某些规律性的东西：如食品产地与食品质量的关系；食品销售地点（即抽检地点）与食品质量的关系；季节因素等等； （3）能否改进食品抽检的办法，使之更科学更有效地反映食品质量状况且不过分增加监管成本（食品抽检是需要费用的），例如对于抽检结果稳定且抽检频次过高的食品领域该作怎样的调整？ 二问题的分析 食品安全与人们身体健康密切相关，我们经过讨论分析后，认为本题属于数理统计与优化类问题，如何分析食品质量的变化趋势以及确定最优抽检模型是解题的关键。 问题一的分析 通过阅读深圳市三年的食品质量的数据，为了更好的分析食品领域微生物、重金属、添加剂的含量随时间的变化趋势，把食品领域分为了蔬菜，肉类，面制品，饮品四大类，采用归纳统一法对每类食品在微生物，重金属，添加剂中的合格率进行了数据的统计。在研究方法上，采用数据拟合法建立影响各主要食品领域的因素与时间的模型，并利用matlab软件绘制出各类食品质量的变化曲线，通过观察、分析曲线得出2010、2011、2012三年深圳市各类食品微生物、重金属、添加剂含量的变化趋势。 问题二的分析 对于第二问我们采用了多层次问题分析法（AHP），在问题一主要食品分类的基础上，将影响食品安全的因素分为：食品产地、食品销售地、季节、保质期四大类。运用层次分析法统计分析各类影响指标的数值特征，再对其进行归一化处理，求得每一类特征对食品安全质量的权重，对比权重的大小从而反映食品质量安全状况。 问题三的分析 在第二问的基础上，将这一问的具体模型分为抽样模型和检测模型，对于抽样模型，建立多层次划分法抽样模型来抽取样本，根据各类所占的权重按适当的比例抽取。其次按照“重点抽查易出问题的环节，兼顾其他环节”的原则，建立了基于权重的检测模型，将检测模型分成了四个环节（原材料的使用，生产加工，