经典二元一次方程组知识点整理、典型例题练习总结

《二元一次方程组》

一、知识点总结 1、二元一次方程：

含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程， 它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.

2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】

3、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.

4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：1

6x y x y +=??

+=?，1226x y x y +=??+=?；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=??+=?；③有无数组解，例如：1

222x y x y +=??

+=?】

5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。

6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元

7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步： （1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，； （2）设：找出能够表示题意两个相等关系；并用字母表示其中的两个未知数 （3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案. 二、典型例题分析

例1、若方程

2132

57m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值.

例2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y .

例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解

例4、若23

x y =??

=?是方程组2315x m nx my -=??-=-?的解，求m n 、的值.

例5、已知(1)(1)1n

m

m x n y

++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值.

例6、二元一次方程组437

(1)3

x y kx k y +=??

+-=?的解x ，y 的值相等，求k ．

例7：（1）用代入消元法解方程组：

??

?-=-=+4

2357y x y x 563640x y x y +=??

--=?

（2）、用加减法解二元一次方程组：

??

?=+=-8

3120

34y x y x ??

?=+=-9

327

23y x y x

(3)、解复杂的二元一次方程组

．

（提高题）例8、若关于X,y 的二元一次方程组x+y=5k,x-y=9k 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，求k 的值。

三、跟踪训练

知识点1:二元一次方程及其解

1、下列各式是二元一次方程的是（ ）.

.A 67x y -= .B 105

x y

-= .C 45x xy -= .D 210x x ++=

2、若3

2

x y =??

=?是关于x y 、的二元一次方程30x ay -=的一个（组）解，则a 的值为（ ） .A 3 .B 4 .C 4.5 .D 6

3、二元一次方程27x y +=在正整数范围内的解有（ ）. .A 无数个 .B 两个 .C 三个 .D 四个

4、已知在方程352x y -=中，若用含有x 的代数式表示y ，则y = ，用含有y 的代数式表示x ，则x = 。

5、若5m n -=，则15m n -+= 。 知识点2：二元一次方程组及其解

1、有下列方程组：（1）30430x y x y +=??-=? （2）3049x y xy +=??=? （3）52m n =??=-? （4）1

426x x y =??

+=?其中说法正确的是（ ）

.A 只有（１）

、（3）是二元一次方程组 .B 只有（３）、（４）是二元一次方程组 .C 只有（４）是二元一次方程组 .D 只有（２）不是二元一次方程组

2、下列哪组数是二元一次方程组324

x y x +=??

=?的解（ ）

.A 30

x y =??=? .B 12

x y =??=? .C 52

x y =??=-? .D 21

x y =??=? 3、若方程组162

ax y x by -=??+=?有无数组解，则a 、b 的值分别为（ ）

.A a=6,b=-1 .B 2,1a b == .C a=3,b=-2 .D 2,2a b ==-

4、写出一个以 ???-==24y x 为解的二元一次方程组 ；写出以1

2x y =??=?

为解的一个二元一次

方程 . 5、已知2

1

x y =??

=?是二元一次方程组71ax by ax by +=??-=?的解，则a b -的值为 。

6、如果450,x y -=且0,x ≠那么125125x y

x y

-+的值是 .

7、若y x

b a 1

23++与125--b a xy 是同类项，则

b a -= 知识点3 二元一次方程组的解法

8、选择适当的方法解方程组

??

?=-=+121132x y y x ??

???=+=18

4332y x y x ?

?

?-=+-=+1)(258

y x x y x

（提高题）1、已知关于,x y 的方程组35223x y m x y m

+=+??

+=?的解满足10,x y +=-求式子221m m -+的值.

2、小花在家做家庭作业时，发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染32()5()

x y x y ?-=??+=??，

（ ）表示被

污染的内容，她着急地翻开书后面的答案，这道题目的解是2

1

x y =??=-?，聪明的你能够帮她补上（ ）的内容

吗 当堂检测

七年级数学测试题

一、选择题：（每题3分，共33分） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．3x －2y=4z B ．6xy+9=0 C ．

1x +4y=6 D ．4x=2

4

y - 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

A ．22

8

4

23119 (23754624)

x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=???

?

?

?+=-==-=???? 3．二元一次方程5a －11b=21 （ ）

A ．有且只有一解

B ．有无数解

C ．无解

D ．有且只有两解 4．方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ）

A ．333

3

...2422x x x x B C D y y y y ==-==-???????

?===-=-????

5、方程组???=-=+.

134,

723y x y x 的解是（ ）

A 、??

?=-=;3,1y x B 、???-==;1,3y x C 、???-=-=;1,3y x D 、???-=-=.

3,

1y x

6、设方程组()??

?=--=-.433,1by x a by ax 的解是???-==.

1,

1y x 那么b a ,的值分别为（ ）

A 、;3,2-

B 、;2,3-

C 、;3,2-

D 、.2,3-

7．某年级学生共有246人，其中男生人数y 比女生人数x 的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（ ） A ．246246216246

(22222222)

x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+=?????

?

?

?

=-=+=+=+???? 二、填空题（每题3分，共33分） 1．若x

3m －3

－2y

n －1

=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．

2．若（3x-2y+1）2

+333--y x =0，则x=______，y=______.

3．已知23

16x mx y y x ny =-=???

?

=--=??

是方程组的解，则m=_______，n=______． 4、如果63)2(1||=---a x a 是关于x 的一元一次方程，那么a

a 1

2--= 。

5、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x 人，女生人数为y 人，则可列方程组为

6、如果b a a b y x y x 4222542-+-与是同类项，那么 a = ，b = 。 三、用适当的方法解下列方程

??

?=-=+-6430524m n n m ???????=--=-32

3

113121y x y x

???=-=+67381953y x y x ???????=-=-62

392

y x y x

四、（本题6分）某厂买进甲、乙两种材料共56吨，用去9860元。若甲种材料每吨190元，乙种材料每吨

160元，则两种材料各买多少吨

五、某工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到B 地,公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米），A地到工厂有公路20千米，铁路150千米；从工厂到B地有公路30千米，铁路120千米。若这两次运输共支出公路运费6600元，铁路运费24600元，原料费为每吨1000元，新产品每吨2000元，则该工厂这批产品获得利润多少元

1．（2014?岳阳）某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少

2．（2014?黄冈）浠州县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机．已知购买

2 块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元．问购买一块

电子白板和一台投影机各需要多少元

3．（2014?海南）海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克26元和22元，李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元．请问李叔叔购买这两种水果各多少千克

4．（2014?铜仁）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，

60座客车租金为每辆300元，问：

（1）这批游客的人数是多少原计划租用多少辆45座客车？

（2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算

5．（2014?呼和浩特）为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元

6．（2014?聊城）某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价-进价），这两种服装的进价、标价如下表所示：

A型B型

进价（元/件）60100

标价（元/件）100160

（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元

7．（2014?鞍山一模）在鞍山外环公路改建工程中，某路段长5280米，现准备由甲乙两个工程队拟在20天内（含20天）合作完成，已知两个工程队各有20名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天工作量相同，已工程队每人每天工作量相同），甲工程队1天、乙工程队2天共修路400米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路700米．

（1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米？

（2）甲乙两个工程队施工8天后，由于工作需要需从甲队调离m人去其他工程工作，总部要求在规定时间内完成，请问甲队最多可以调离多少人

8．（2014?南岗区三模）在我市地铁工程建设中，拟有甲、乙两队共同完成某工程项目，从他们的竞标资料中可知，若甲队工作20天，乙队工作10天，两队所需工程费用总和是110万元；若甲队工作30天，乙队工作20天，则甲队所需的工程总费用比乙队所需工程总费用少10万元．

（1）求甲、乙两队每天所需工程费用各是多少万元？

（2）在这个工程项目中，已知甲队工作的天数是乙队工作天数的2倍还少10天，两队工作的总天数至少是80天，且甲、乙两队所需的工程总费用最多是311万元，求甲队工作的天数（注：甲、乙两队工作的天数均为整数）