课时跟踪检测(十五) 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离

课时跟踪检测（十五） 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离

1．若点P (a,0)到直线3x ＋4y －6＝0的距离大于3，则实数a 的取值范围为( ) A ．(7，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－∞，－3)∪(7，＋∞) D ．(－3,7)∪(7，＋∞)

解析：选C 根据题意，得

|3a －6|32＋42

>3，解得a >7或a <－3.

2．[多选]已知点P 为x 轴上一点，点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( )

A ．(－8,0)

B ．(－12,0)

C ．(8,0)

D ．(0,0)

解析：选BC 设P (x 0,0)，因为d ＝

|3x 0＋6|

32＋(－4)2

＝6，所以|3x 0＋6|＝30，解得x 0＝8或

x 0＝－12.

3．已知点P (a ，b )是第二象限的点，那么它到直线x －y ＝0的距离是( ) A ．2

2

(a －b ) B ．b －a C ．

2

2

(b －a ) D ．a 2＋b 2

解析：选C ∵P (a ，b )是第二象限点， ∴a <0，b >0，∴a －b <0.

∴点P 到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2

＝2

2(b －a )．

4．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A ．42

3

B ．

82

3

C ．4 2

D ．2 2

解析：选B ∵l 1∥l 2，∴?????

a (a －2)－3＝0，

2a －6(a －2)≠0，

解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2

的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋2

3

＝0，∴l 1，l 2间的距离是

???

?6－2312＋(－1)

2

＝823.

5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )

A ．3 2

B ．2 3

C ．3 3

D ．4 2

解析：选A 由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，

∴M 到原点的距离的最小值为d ＝

6

2

＝3 2. 6．分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________．

解析：两直线方程分别是x ＝－2和x ＝3，故两条直线间的距离d ＝|－2－3|＝5. 答案：5

7．已知在△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上．若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为________．

解析：由|AB |＝5，△ABC 的面积为10，得点C 到直线AB 的距离为4.设C (x,3x ＋3)， 由两点式得直线AB 的方程为y －25－2＝x －3

－1－3，

即3x ＋4y －17＝0.

利用点到直线的距离公式d ＝|3x ＋12x ＋12－17|32＋42＝4，解得x ＝－1或x ＝5

3.

答案：()－1，0或????

53，8

8．P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．

解析：直线6x ＋8y ＋6＝0可变形为3x ＋4y ＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d ＝|－12－3|32＋4

2＝3，

∴|PQ |min ＝3. 答案：3

9.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．

解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，

则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )， ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .

梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，

由梯形面积公式得2＋2b 2×b －1

2＝4，

∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.

10．直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，l 1到l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．

解：①若l 1，l 2的斜率存在，设直线的斜率为k ， 由斜截式得l 1的方程为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.

由点斜式得l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0. 则直线l 1到l 2的距离d ＝

|1＋5k |1＋k 2

＝5，

所以25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，解得k ＝12

5

.

所以l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.

②若l 1，l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．

综上，满足条件的直线方程有两组：

????? l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0或?????

l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.

1．若倾斜角为45°的直线m 被直线l 1：x ＋y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0所截得的线段为AB ，则AB 的长为( )

A ．1

B ． 2

C ． 3

D ．2

解析：选B 由题意，可得直线m 与直线l 1，l 2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB |＝

|－1＋3|

12＋12

＝ 2.

2．[多选]定义点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的有向距离为d ＝Ax 0＋By 0＋C

A 2＋

B 2

.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，则下列命题中正确的是( )

A ．若d 1＝d 2，则直线P 1P 2与直线l 平行

B ．若d 1＝－d 2，则直线P 1P 2与直线l 垂直

C ．若d 1·d 2>0，则直线P 1P 2与直线l 平行或相交

D ．若d 1·d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交

解析：选CD 若d 1＝d 2＝0，则P 1∈l ，P 2∈l ，故A 不正确；若d 1＝－d 2，则P 1与P 2

在直线l 两旁. 故P 1P 2与l 相交，不一定垂直，故B 不正确；若d 1·d 2>0，则P 1与P 2在l 同旁，则P 1P 2∥l 或P 1P 2与l 相交，故C 正确；若d 1·d 2<0，则P 1与P 2在l 两旁，则P 1P 2与l 相交，故D 正确．

3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．

解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A a ＝1.又x sin A ＋ay ＋c ＝0的

斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·????

－sin A a ＝－

1，所以两条直线垂直．

答案：垂直

4．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．

解：因为l 1∥l 2，所以m 2＝8m ≠n

－1

，

所以?

????

m ＝4，

n ≠－2或???

m ＝－4，n ≠2.

①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， 所以

|n ＋2|

16＋64

＝5，解得n ＝－22或n ＝18. 所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0， 把l 2的方程写成4x －8y －2＝0， 所以

|－n ＋2|16＋64

＝5， 解得n ＝－18或n ＝22.

所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.

5．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．

解：设点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝

310

. 因为l AB ∥l CD ，所以可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ，则|m ＋16|10＝3

10.

又因为m ≠－13，所以m ＝－19， 即l AB ：x ＋3y －19＝0. 因为l AD ⊥l CD ，

所以可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，

则点P (1,5)到l AD 的距离等于点P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310，|n －2|10＝3

10

，解得n ＝5或n ＝－1，

则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.

所以正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0. 6．已知三角形的三个顶点分别是A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求角A 的平分线的方程．

解：设P(x，y)为角A的平分线上任一点，

则点P到直线AB与到直线AC的距离相等，

因为直线AB，AC的方程分别是4x－3y－13＝0和3x＋4y－16＝0，所以由点到直线的距离公式，

有|4x－3y－13|

42＋(－3)2

＝

|3x＋4y－16|

32＋42

，

即|4x－3y－13|＝|3x＋4y－16|，

即4x－3y－13＝±(3x＋4y－16)，

整理得x－7y＋3＝0或7x＋y－29＝0.

易知x－7y＋3＝0是角A的外角平分线的方程，7x＋y－29＝0是角A的平分线的方程．