数列通项公式的求解方法归纳

数列通项公式的解法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验，多加琢磨。

总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.

1.直接法

2.公式法

3.归纳猜想法

4.累加（乘）法

5.取倒（对）数法

6.迭代法

7.待定系数法

8.特征根法

9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法

◆一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…

（2） ,17

164,1093

,5

42,211 （3） ,52,21,32,

1 （4） ,5

4

,43,

32,21-- ◆二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2

1

11n S S n S a n n n 求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n

n n ．求数列{}n a 的通项公式.

②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n

S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.

③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

通项公式。

◆三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

例3.已知点的序列*

),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…

（1） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。

（2） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。

变式:设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，… （Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式

◆四、累加（乘）法

对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

例5. 在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*

N n ∈），求通项n a 。

◆五、取倒（对）数法

a 、r

n n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解

b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以

,11-n n a a 先求出.,1

n n

a a 再求得

c 、)

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例6.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (3

1∈+=+n a a a n n

n 求.n a

例7 、 设正项数列{}n a 满足11=a ，2

12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.

变式:

1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝

3

2

，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求通项a n ．

2、若数列的递推公式为1111

3,

2()n n

a n a a +==-∈，求通项a n ．

3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项a n ．

4、已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111

=+?=

--a a a a n n n ，求通项a n ．

5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =

2

2+n n

a a n ∈N +，求通项a n ．

◆六、迭代法

迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.

例8、设a 0为常数，且a n ＝3 n -1

－2 a n -1（n 为正整数）证明对任意n≥1 ，

a n ＝ [ 3 n ＋（－1）n -1· 2 n ]＋（－1）n · 2 n

a 0

◆七、待定系数法：

求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k=q ，即k=1

-p q

，从而得等比数列{a n +k}。 例9、数列{a n }满足a 1=1，a n =

2

1

a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

练习、数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

2、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．

2、递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1

+n q ，得

111+?=++n n n n q a q p q a ，令n

n

n

q a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型．

、

例10．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n

n a a )2(≥n ，求n a ．

3、形如b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。 例11:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

变式:已知数列｛n

a ｝中，11122n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…

(Ⅰ)令{}是等比数列；

求证数列n n n n b a a b ,31--=- (Ⅱ)求数列

{}的通项；

n a

4、形如21

n n a pa an bn c +=+++)001

(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

221(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,z.从而转化为

{}2

n

a xn yn c +++是公比为p 的等比数列。 例12:设数列{}n a ：2114,321,(2)n n a a a n n -==+-≥，求n a .

5. 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

先把原递推公式转化为)(112

n n n n sa a t sa a -=-+++

其中s ，t 满足??

?-==+q

st p

t s

例13:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

1

3212+=

++，求n a 。 变式: 1.已知数列

{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；

（II ）求数列{}n a 的通项公式； （III ）若数列{}n b 满足1

2

111*44...4(1)(),n

n

b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列

2.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

13

212+=++，求n a

3.已知数列

{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,

),1n n S a n a +=+==，

⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n

，求证：数列{}n b 是等比数列；

⑵设数列),2,1(,2

==

n a c n n

n ，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

◆八：特征根法。

1、设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。作出一个方程,d cx x +=则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +=≠=时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.

2.对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列

{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n

Bx Ax a ，

其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的

方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把

2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

例14：（1）已知数列

{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。

◆九：不动点法，形如h

ra q

pa a

n n n ++=

+1

解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q

pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，

且r h a r qr ph -

≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q

px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ????-??

是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ??

-?

?-??

是等比数列。

例15：已知数列}{n a 满足性质：对于,3

24

,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

变式:数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(2

11≥-

=

n a b n n

（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值； （Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S

◆十：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。

例16 已知数列{}n a

满足111

(14116

n n a a a +=

++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例17 已知数列{}n a 满足2

1

1=

a ，211n n a a +=

+，求n a 。

◆十一。双数列

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例18. 已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，)2(3111--+=

n n n b a a ,)2(3

1

11--+=n n n b a b ， 求n a ,n b .

◆十二、周期型

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例19：若数列{}n a 满足???

????

<≤-≤≤=+)

121(,12)210(,21

n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。

变式:已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则20a =

（ ）

A ．0

B ．3-

C ．

3

D ．

2

3

◆十三、分解因式法

当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得a n .

例20.已知),1,0(,)1()(,)1()(3

4≠-?=-=r x r x g x x f 数列}{n a 满足1,21≠=n a a （n ∈N ），且有条件

n a a f n g a a n n n n (,0)()1()(11求=+-?---≥2）.

◆十四、循环法

数列有形如0),(12=++n n n a a a f ，的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出.n a

例21．在数列}{n a 中，.19981221,,5,1a a a a a a n n n 求-===++

◆十五、开方法

对有些数列，可先求,3n n a a 或再求.n a

例22、两个数列},{},{n n b a 它们的每一项都是正整数，且对任意自然数n a n ,、n b 、1+n a 成等差数列，n b 、1+n a 、1+n b 成等

比数列，.,2,3,1121

n n b a b a a 和求===

2b n =a n +a n+1,① a 2n+1=b n ·b n+1.②

数列通项公式的求法

◆一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17

164,1093

,542,211

（3） ,52,2

1,32,

1（4） ,5

4

,43,32,21-- 答案：（1）110-=n

n a （2）;1

22++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+?

-=+n n

a n n . ◆二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2

1

11n S S n S a n n n 求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项)

例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n

n n ．求数列{}n a 的通项公式.

②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n

S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.

③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

通项公式。

③解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ， ∴ )1()1(1+=?+=-q q q q q b n

n n

◆三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

例3.已知点的序列*

),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…

（3） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。

（4） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。 解析：（1）∵ n A 是线段32--n n A A 的中点， ∴)3(2

2

1≥+=

--n x x x n n n （2）a a x x a =-=-=0121，

2122322x x x x x a -+=

-==a x x 2

1

)(2112-=--，

3233432x x x x x a -+=

-==a x x 4

1

)(2123=--， 猜想*)()

2

1(1

N n a a n n ∈-=-，下面用数学归纳法证明

01 当n=1时，a a =1显然成立；

02 假设n=k 时命题成立，即*)()2

1

(1N k a a k k ∈-=-

则n=k+1时，k k k k k k x x x x x a -+=

-=++++21121=k k k a x x 21)(211-=--+ =a a k k )2

1

()21)(21(1-=--- ∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意*

N n ∈都成立。

变式:设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…

（Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式

◆四、累加（乘）法

对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 解析：由n a a n n +=+1得n a a n n =-+1，所以

11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ，…，112=-a a ，

将以上各式相加得：1)2()1(1+???+-+-=-n n a a n ，又31=a 所以 n a =32

)

1(+-n n 例6.

在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*

N n ∈），求通项n a 。

解析：由已知

n n n a a 21=+，112--=n n n a a ，2212---=n n n a a ，…，21

2=a a

，又11=a ， 所以n a =1-n n a a ??--21n n a a …

1

2a a 1a ?=?-12n ?-2

2n …12??=2)

1(2-n n ◆五、取倒（对）数法

a 、r

n n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解

b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以

,11-n n a a 先求出.,1

n n

a a 再求得

c 、)

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例6.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (3

1∈+=

+n a a a n n

n 求.n a 解：原条件变形为.311n n n n a a a a =?+?++两边同乘以

,11+?n n a a 得1

1

131+=?+n n a a .

∵113211,211)2113-+=+∴+=+n n n n a a a （

∴.1

322

1-?=-n n a 例7 、 设正项数列{}n a 满足11=a ，2

12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.

解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n a

n b ，

则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 1

21=+=b . 11221--=?=n n n b ，122

1log -=+n a n

，12log 12-=-n a n ， ∴1

21

2--=n n a

变式:1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝

3

2，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求通项a n ．

2、若数列的递推公式为1111

3,

2()n n

a n a a +==-∈，求通项a n ． 3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项a n ． 4、已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111

=+?=

--a a a a n n n ，求通项a n ．

5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =

2

2+n n

a a n ∈N +，求通项a n ． ◆六、迭代法

迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.

例8、设a 0为常数，且a n ＝3 n -1

－2 a n -1（n 为正整数）证明对任意n≥1 ，

a n ＝ [ 3 n ＋（－1）n -1· 2 n ]＋（－1）n · 2 n

a 0 证明：

a n ＝3 n -1－2 a n -1＝3 n -1－2（3 n -2

－2 a n -2）

＝3 n -1－2· 3 n -2＋2 2（3 n -3

－2 a n -3）

＝3 n -1－2 ·3 n -2＋2 2 ·3 n -3－2 3（3 n -4

－2 a n -4） ……… ………

＝3 n -1－2·3 n -2＋2 2·3 n –3 －…＋（－1）n -1·2 n -1＋（－1）n ·2 n

a 0

（－1）n ·2 n a 0 前面的n 项组成首项为3 n -1

，公比为－的等比数列，这n 项的和为：

＝ [ 3 n ＋（－1）n -1·2 n

]

∴ a n ＝ [ 3 n ＋（－1）n -1· 2 n ]＋（－1）n · 2 n

a 0

◆七、待定系数法：

求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k=q ，即k=1

-p q

，从而得等比数列{a n +k}。 例9、数列{a n }满足a 1=1，a n =

2

1

a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。 解：由a n =

21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=2

1

（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1， ∴数列{ a n －2}是以21

为公比，－1为首项的等比数列

∴a n －2=－（21）1-n ∴a n =2－（2

1）1

-n

说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到解决问题的目的。 练习、1数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

解：由0731=-++n n a a 得3

7

3

11+

-=+n n a a 设a )(311k a k n n +-=++，比较系数得373=--k k 解得47

-=k

∴{47-n a }是以31-为公比，以43

471471-=-=-a 为首项的等比数列

∴1)3

1(4347--?-=-n n a 1

)31(4347--?-=?n n a

2、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．

解：设)(31t a t a n n +=++，则1231=?+=+t t a a n n ，?+=++)1(311n n a a {}1+n a 是

以)1(1+a 为首项,以3为公比的等比数列???=?+=+--1

11323)1(1n n n a a 1321-?=-n n a 2、递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1

+n q ，得

111+?=++n n n n q a q p q a ，令n

n

n

q a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型．

、

例10．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n

n a a )2(≥n ，求n a ．

解：将123-+=n n n a a 两边同除n

3，得

n n n n a a 32131-+=?

11

33213--+=n n n

n a a 设n n n a b 3

=，则1321-+=n n b b ．令)(321t b t b n n -=--?t b b n n 31

321+=-

?3=t ．条件可化成)3(3

231-=--n n b b ，数列{}3-n b 是以38

33311-=-=-a b 为首项，

32为公比的等比数列．1

)32(383-?-=-n n b ．因n n n a b 3

=, )3)3

2

(38(331+?-==∴-n n n n n b a ?2123++-=n n n a ．

3、形如b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。 例11:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

解：令

1(1)3()n n a x n y a xn y ++++=++ 化简得：

1322n n a a xn y x +=++-

所以2221x y x =??-=-?解得1

0x y =??=?

，所以1(1)3()n n a n a n +++=+ 又因为

115a +=，所以数列{}n a n +是以5为首项，3为公比的等比数列。

从而可得11

53,53-n n n

n a n a n --+=?=?所以 变式:已知数列｛n

a ｝中，111

22n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…

(Ⅰ)令

{}是等比数列；

求证数列n n n n b a a b ,31--=- (Ⅱ)求数列

{}的通项；

n a

4、形如21

n n a pa an bn c +=+++)001

(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

221(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,z.从而转化为

{}2n

a

xn yn c +++是公比为p 的等比数列。

例12:设数列{}n a ：2114,321,(2)n n a a a n n -==+-≥，求n a .

5. 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法先把原递推公式转化为)(11

2

n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足?

??-==+q st p t s

例13:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

1

3212+=

++，求n a 。

变式: 1.已知数列

{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；

（II ）求数列{}n a 的通项公式； （III ）若数列

{}n b 满足1

2

111*44...4(1)(),n

n

b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列

2.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

13

212+=++，求n a

3.已知数列

{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,

),1n n S a n a +=+==，

⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n

，求证：数列{}n b 是等比数列；

⑵设数列),2,1(,2

==

n a c n n

n

，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。 ◆八：特征根法。

1、设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。作出一个方程,d cx x +=则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +=≠=时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.

2.对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列

{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1

211--+=n n n

Bx Ax a ，

其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的

方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把

2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

例14：（1）已知数列

{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。

解法一（待定系数——迭加法） 由025312

=+-++n n n a a a ，得

)(3

2

112n n n n a a a a -=

-+++，且a b a a -=-12。 则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，3

2

为公比的等比数列，于是

11)32

)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入，得

a b a a -=-12，

)32

()(23?-=-a b a a ，

234)3

2

()(?-=-a b a a ，

???

21)3

2

)((---=-n n n a b a a 。

把以上各式相加，得

])3

2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3

21)32(11

a b n ---=

-。 a b b a a a b a n n n 23)3

2

)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。

解法二（特征根法：这种方法一般不用于解答题）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n

n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特

征方程是：02532

=+-x x

。 3

2

,121=

=x x , ∴1

211--+=n n n Bx Ax a 1)3

2(-?+=n B A 。

又由b a a a ==21

,，于是

???-=-=???

?

??+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1)32)((323--+-=n n

b a a b a (2)．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

1

11

=∈--=+a n a a n n 求.n a

解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.211

23,1101=+=≠a b x a

数列}{n b 是以3

1

-为公比的等比数列.

于是.N ,)3

1

(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n ◆九：不动点法，形如h

ra q

pa a

n n n ++=

+1

解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q

pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，

且r h a r qr ph -

≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx q

px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ????-??

是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ??

-?

?-??

是等比数列。

例15：已知数列}{n a 满足性质：对于,3

24

,N 1++=

∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

变式:数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(2

11≥-

=

n a b n n

（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值； （Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S

◆十：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。

例16 已知数列{}n a

满足111

(14116

n n a a a +=

++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b 2

1(1)24

n n a b =-

故2111(1)24n n a b ++=-

，代入11

(1416n n a a +=++得

22

1111(1)[14(1)]241624

n n n b b b +-=+-+ 即2

214(3)n n b b +=+

因为0n

b =≥

，故10n b +=≥

则123n n b b +=+，即113

22

n n b b +=+，

可化为11

3(3)2

n n b b +-=-，

所以

{3}

n b -是

以

13332

b -==为首项，以

2

1

为公比的等比数列，因此121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+

21

()32n -=+，得

2111()()3423

n n n a =++。

n b ，使得所给递推关系式转化1

13

22

n n b b +=+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

例17. 已知数列{}n a 满足2

1

1=a ，2

11n

n a a +=

+，求n a 。

解析：设3

cos 211

π==

a ，∵ 2

11

n

n a a +=

+，

∴ 6

cos

2

π

=a ，3

2cos

2

3

?=π

a ，…，3

2

cos

1

?=-n n

a π

总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。

◆十一。双数列

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例18. 已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，

)2(3111--+=n n n b a a ,)2(31

11--+=n n n b a b ，求n a ,n b .

解：因=+n n b a ++--)2(3111n n b a )2(3

1

11--+n n b a 11--+=n n b a

所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=???=+=--b a b a b a n n

即1=+n n

b a (1)

又因为=

-n n

b a -+--)2(3111n n b a )2(3

111--+n n b a )(31

11---=n n b a

所以=-n n b a )(3

111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31(111

b a n -=-

1)31(-=n .即=-n n b a 1)3

1

(-=n (2)

由（1）、（2）得：])31(1[211-+=n n a ， ])3

1(1[211

--=n n b

◆十二、周期型

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例19：若数列

{}n a 满足???

????

<≤-≤≤=+)

121(,12)210(,21

n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。

变式:已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则20a =

（ ）

A ．0

B ．3-

C ．

3

D ．

2

3