高三数学一轮定积分与微积分基本定理课时检测理(含解析)北师大版
3.4 定积分与微积分基本定理
一、选择题 1.与定积分∫3π
1-cos x d x 相等的是( ).
A.2∫3π
0sin x
2
d x
B.2∫3π
0?
???
??
sin x 2
d x
C.?
?????2∫3π
0sin x
2d x
D .以上结论都不对
解析 ∵1-cos x =2sin 2
x
2,∴∫3π
1-cos x d x =
∫3π
2|sin x
2|d x =2∫3π
0|sin x
2
|d x .
答案 B
2. 已知f (x )为偶函数,且??0
6f(x)d x =8,则?
?6-6f(x)d x =( )
A .0
B .4
C .8
D .16
解析 ?
?6-6f(x)d x =2??0
6f(x)d x =2×8=16.
答案 D
3.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度v =40-10t 2
,则此物体达到最高时的高度为( ). A.160
3 m B.80
3 m C.40
3
m D.
203
m 解析 v =40-10t 2
=0,t =2,??0
2(40-10t 2
)d t =
????
????40t -103t 320
=40×2-103×8=1603(m). 答案 A
4.一物体以v =9.8t +6.5(单位:m /s )的速度自由下落,则下落后第二个4 s 内经过的路
程是( )
A .260 m
B .258 m
C . 259 m
D .261.2 m
解析 ??4
8
(9.8t +6.5)d t =(4.9t 2
+6.5t)?? 8
4
=4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4=
313.6+52-78.4-26=261.2. 答案 D
5.由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为
( ).
A.103 B .4 C.163
D .6
解析 由y =x 及y =x -2可得,x =4,所以由y =x 及y =x -2及y 轴所围成的封闭图形面积为?
?0
4(x -x +2)d x =? ????23x 32-12x 2+2x | 40=163. 答案 C
6.已知a =∑i =1
n 1n ? ??
??i n 2,n ∈N *,b =??0
1x 2
d x ,则a ,b 的大小关系是( ).
A .a >b
B .a =b
C .a
D .不确定
答案 A 7.下列积分中
①??1e
1
x
d x ;②?
?2-2x d x ;③??
2
4-x
2
π
d x ; ④∫
π
20cos 2x 2
cos x -sin x
d x ,积分值等于1的个数是( ).
A .1
B .2
C .3
D .4 解析 ①
?
??
??1
e
1
x d x =ln x e 1=1, ②
?
????2
-2x d x =12x 22
-2=0, ③??
2
4-x 2
πd x =1π(14
π22
)=1, ④∫
π
20
cos 2x
2
cos x -sin x
d x =12∫π
2
0(cos x +sin x )d x
=12(sin x -cos)|π
20=1. 答案 C 二、填空题
8.如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ,为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ,则力所做的功为______.
解析 由F(x)=kx ,得k =100,F(x)=100x ,W =∫0.06
0100x d x =0.18(J ).
答案 0.18 J
9.曲线y =1
x
与直线y =x ,x =2所围成的图形的面积为____________.
答案 3
2
-ln 2
10.若??0
k (2x -3x 2
)d x =0,则k 等于_________.
解析 ??0
k (2x -3x 2)d x =??0
k 2x d x -?
?0
k 3x 2d x =x 2
????k 0-x 3k
=k 2-k 3
=0,
∴k=0或k =1. 答案 0或1
11. ??1
2|3-2x |d x =________.
解析 ∵|3-2x |=?????
-2x +3,x ≤3
2
,2x -3,x >3
2
,
∴?
?1
2|3-2x |d x =∫321(3-2x )d x +??23
2(2x -3)d x
= |
3x -x 2
321+(x 2
-3x )|232=12
. 答案 1
2
12.抛物线y =-x 2
+4x -3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________.
解析 如图所示,因为y ′=-2x +4,y ′|x =1=2,y ′|x =3=-2,两切线方程为y =2(x -1)和y =-2(x -3).
由?????
y =2x -1,
y =-2x -3
得x =2.
所以S =??12[2(x -1)-(-x 2
+4x -3)]d x +??2
3[-2(x -3)-(-x 2
+4x -3)]d x
=??12(x 2-2x +1)d x +??2
3(x 2
-6x +9)d x
=
?
??? ????13x 3-x 2+x 21+
?
??? ????13x 3-3x 2+9x 32=23.
答案 23
三、解答题
13.如图在区域Ω={(x ,y )|-2≤x ≤2,0≤y ≤4}中随机撒900粒豆子,如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,试估计落在图中阴影部分的豆子数.
解析 区域Ω的面积为S 1=16. 图中阴影部分的面积
S 2=S 1-
?
????2
-2x 2
d x =16-13x 32-2=323. 设落在阴影部分的豆子数为m , 由已知条件m 900=S 2
S 1, 即m =900S 2
S 1
=600.
因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒.
14.如图所示,直线y =kx 分抛物线y =x -x 2
与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.
解析 抛物线y =x -x 2
与x 轴两交点的横坐标为x 1=0,x 2=1, 所以,抛物线与x 轴所围图形的面积
S =??0
1(x -x 2
)d x =
?
??? ????x 2
2-13x 310=16.
又????
?
y =x -x 2
,y =kx ,
由此可得,
抛物线y =x -x 2
与y =kx 两交点的横坐标为
x 3=0,x 4=1-k ,所以,
S
2
=∫1-k 0(x -x 2
-kx )d x
=?
??
??
???1-k 2x 2-13x 31-k
0 =16(1-k )3
. 又知S =1
6,
所以(1-k )3
=12
,
于是k =1- 312=1-34
2
.
15.曲线C :y =2x 3-3x 2
-2x +1,点P ? ??
??12,0,求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.
解析 设切点坐标为(x 0,y 0)
y ′=6x 2-6x -2,
则y ′|x =x 0=6x 2
0-6x 0-2,
切线方程为y =(6x 2
0-6x 0-2)? ??
??x -12,
则y 0=(6x 2
0-6x 0-2)?
????x 0-12,
即2x 30-3x 20-2x 0+1=(6x 2
0-6x 0-2)? ????x 0-12.
整理得x 0(4x 2
0-6x 0+3)=0,
解得x 0=0,则切线方程为y =-2x +1.
解方程组?????
y =-2x +1,
y =2x 3-3x 2
-2x +1,
得?
??
??
x =0,
y =1或?????
x =32,
y =-2.
由y =2x 3
-3x 2
-2x +1与y =-2x +1的图象可知
S =∫32
0[(-2x +1)-(2x 3-3x 2-2x +1)]d x
=∫320(-2x 3+3x 2
)d x =2732
.
16. 已知二次函数f(x)=3x 2
-3x ,直线l 1:x =2和l 2:y =3tx(其中t 为常数,且0 图K 15-3,设这两个阴影区域的面积之和为S(t). (1)求函数S(t)的解析式; (2)定义函数h(x)=S(x),x ∈R .若过点A (1,m )(m ≠4)可作曲线y =h (x )(x ∈R )的三条切线,求实数m 的取值范围. 解析 (1)由? ?? ?? y =3x 2 -3x , y =3tx 得x 2 -(t +1)x =0, 所以x 1=0,x 2=t +1. 所以直线l 2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0,t +1. 因为0 所以S(t)=∫t +10[3tx -(3x 2-3x)]d x +? ?2t +1[(3x 2 -3x)-3tx]d x = ? ????????3t +12x 2-x 3t +10 + ? ????????x 3-3t +12x 22t +1 =(t +1)3 -6t +2. (2)依据定义,h(x)=(x +1)3 -6x +2,x ∈R , 则h ′(x )=3(x +1)2 -6. 因为m ≠4,则点A (1,m )不在曲线y =h (x )上. 过点A 作曲线y =h (x )的切线,设切点为M (x 0,y 0), 则3(x 0+1)2 -6=x 0+13-6x 0+2-m x 0-1 , 化简整理得2x 3 0-6x 0+m =0,其有三个不等实根. 设g (x 0)=2x 30-6x 0+m ,则g ′(x 0)=6x 2 0-6. 由g ′(x 0)>0,得x 0>1或x 0<-1; 由g ′(x 0)<0,得-1 所以g (x 0)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 所以当x 0=-1时,函数g (x 0)取极大值; 当x 0=1时,函数g (x 0)取极小值. 因此,关于x 0的方程2x 3 0-6x 0+m =0有三个不等实根的充要条件是??? ?? g -1>0,g 1<0, 即??? ? ? m +4>0,m -4<0, 即-4 故实数m 的取值范围是(-4,4). 一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理练习题及答案
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分及微积分基本定理练习题及答案