黄金30题系列高三年级数学(文)大题好拿分【提升版】

黄金30题系列高三年级数学（文）大题好拿分【提升版】

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．已知函数()ππ2sin cos cos 2cos 266f x x x x x ????=+-

++ ? ??

??

?， x R ∈． （Ⅰ）求π12f ??

???

的值． （Ⅱ）求函数()f x 在区间π

,π2??????上的最大值和最小值，及相应的x 的值．

（Ⅲ）求函数()f x 在区间π,π2

?????

?

的单调区间．

2．在ABC ?中， a ， b ， c 分别是角A ， B ， C 的对边，且满足2cos cos a b B

c C

-=

． （1）求角C 的大小；

（2）设函数(

)2

2sin cos cos 2sin sin f x x x C x C =+，求函数()f x 在区间π0,2??

????

上的值域．

3．在数列{}n a 中， 14a =， ()()1121n n na n a n n +-+=+. （1）求证：数列n a n ??

?

???

为等差数列，并求出数列{}n a 通项公式n a ； （2）求数列1n a ??

????

的前n 项和n S ．

4．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S .

（1）若对任意的*

n N ∈， 21n a -， 21n a +， 2n a 组成公差为4的等差数列，且11a =，

求2n S ； （2）若数列n n S a a ??

+?

???

是公比为q （1q ≠-）的等比数列， a 为常数， 求证：数列{}n a 为等比数列的充要条件为1

1q a

=+

. 5．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）

（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？

（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人．从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率．

参考公式：22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中

n a b c d =+++．

参考数据：

6．2015 年 12 月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到华中某城市

由散点图知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（提示数据：

7

1

1372i i

i x y

==∑，

(2)利用(1)所求的回归方程，预测该市车流量为 12 万辆时 2.5PM 的浓度.

参考公式：回归直线的方程是???y

bx a =+， 其中()()()

1122211???,n n

i i i i i i n n

i i i i x x y y x y nx y b a y bx x nx x x ====∑--∑-?===-∑-∑-. 7．甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学

生在该地区二模考试的数学成绩清况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：

乙校:

，1）计算,x y 的值；

，2）若规定考试成绩在[]120150,内为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；

，3）由以上统计数据填写下面22?列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校

的数学成绩有差异.

附： ()

()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++， n a b c d =+++. 8．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，90ABC ∠=?，

AD SD =，1

2

BC CD AB ==

，侧面SAD ⊥底面ABCD ．

（1）求证：平面SBD ⊥平面SAD ；

（2）若120SDA ∠=?，且三棱锥S BCD -SAB ?的面积． 9．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，

4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．

（I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.

10．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PAB ?与ABC ?是等腰三角

形，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，AD =AC BA ⊥，点E 是线段AB 上靠近点

B 的一个三等分点，点F ，G 分别在线段PD ，P

C 上．

（1）证明：CD AG ⊥； （2）若三棱锥E BCF -的体积为

16，求FD PD

的值． 11．已知点P ()2,2-，圆C ， 22

80x y x +-=，过P 的动直线l 与，C 交,A B 两点，

线段AB 中点为M ， O 为坐标原点． ，1）求点M 的轨迹方程；

，2）当OP OM =时，求直线l 的方程以及，POM 面积．

12．已知圆22:100C x y ++-=点A ,P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线I 和半径CP 相交于点Q ．

（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；

（Ⅱ）直线y kx =+Q 的轨迹交于不同两点A 和B ，

且1OA OB ?=（其中 O 为坐标

原点），求k 的值.

13．已知曲线C 的方程为222240ax ay a x y +--=（0a ≠，a 为常数）. （1）判断曲线C 的形状；

（2）设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点A ，B （A ，B 不同于原点O ），试判断AOB ?的面积S 是否为定值？并证明你的判断；

（3）设直线l ：24y x =-+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，且8

5

OM ON ?=-，求a 的值.

14．已知函数()2

ln 2

x f x x =-， ()22x g x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 的单调区间．

（Ⅲ）设()()()()1h x af x a g x =++，其中01a <≤，证明：函数()h x 仅有一个零点．

15．已知函数()ln f x x =()()ln 1g x x t x =--. （Ⅰ）求证：当0x >时， ()0f x <；

（Ⅱ）若函数()g x 在（1，+∞）上有唯一零点，求实数t 的取值范围． 16．设函数()ln ,R m

f x x m x

=+

∈ （Ⅰ）当e m =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （Ⅱ）若函数()()3

x

g x f x -

'=存在唯一零点，求m 的取值范围． 17．已知在直角坐标系

xOy 中，直线l 的参数方程为3,{

x t y =+=，t 为参数），以坐标原

点为极点， x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为,{x y sin θθ

==，θ

为参数）.

（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；

（2）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围. 18．选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线1C 的参数方程是2cos {sin x y θ

θ

==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；

（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π?

?

??

?

，和(20)，

，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求

22

11

||||OA OB +的值.

19．选修4-5：不等式选讲

已知函数()f x =

（1）求()(4)f x f ≥的解集；

（2）设函数()(3)g x k x =-，k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求实数k 的取值范围.

20．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|． （1）解不等式f （x ）≥6；

（2）记f （x ）的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab +a +2b=m ，求a +2b 的最小值．

参考答案

1．（Ⅰ）π212f ??

=

?

??

（Ⅱ）7π12x =时， ()min 2f x =- πx =时， ()max f x =（Ⅲ）()f x 在π

,π2??

????

上，

单调增区间7π,π12???

???，单调减区间π7,π212??

????

． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的余弦公式，二倍角公式化简()π 2sin 23f x x ?

?=+

??

?

，则π12f ??

?

??

即得解（Ⅱ）∵ππ2x ≤≤， 4π72π333x x ≤+≤，结合正弦函数图像得()

2f x -≤≤，则及()f x 在区间π,π2??

????

上的最大值和最小值，及相应的对应x 的值易

得解（Ⅲ）

4π7

π2π333

x ≤+≤， 由正弦函数图象知，当4π3π2π332x ≤+≤时，即π7

π212

x ≤≤时， ()f x 单调递减，当

3π7π2π233x ≤+≤时，即7ππ12x ≤≤时， ()f x 单调递增，则()f x 在区间π,π2??

????

的单调区间得解. 试题解析：

（Ⅰ）∵()ππ2sin cos cos 2cos 266f x x x x x ?

???=+-

++ ? ??

???

ππππ

sin2cos2cos

sin2sin cos2cos sin2sin 6666

x x x x x =+++-，

sin2x x =+，

12sin22x x ??=+ ? ???， π2sin 23x ?

?=+ ??

?，

∴πππ2sin 212123f ????=?+

? ?

????

π2sin 2= 2=．

（Ⅱ）∵

π

π2

x ≤≤， 4π7

2π333

x x ≤+≤， ()

2f x -≤≤，

当π32π32x +

=时， 7

π12

x =， 此时()min 7π212f x f ??

==- ???

， 当π7

2π33

x +

=时， πx =，

，

此时()()max πf x f == （Ⅲ）∵

π

π2

x ≤≤， 4π7π2π333

x ≤+≤， 由正弦函数图象知，

当

4π3

π2π332x ≤+≤时， 即π7π212x ≤≤时， ()f x 单调递减， 当3π7

π2π233x ≤+≤时， 即7ππ12

x ≤≤时， ()f x 单调递增． 故()f x 单调减区间为π7,

π212??

????

，

单调增区间为7π,π12??

?

???

．

2．（1）π

3C ∠=

（2）??????

【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角以及两角和正弦公式化简得2cos 1C =，解得角C 的大小；（2）先根据二倍角公式以及配角公式将函数()f x 化为基本三角函数形式，再根据自变量范围以及正弦函数单调性确定函数值域 试题解析：（1）∵

2cos cos a b B

c C

-=

，∴()2cos cos a b C c B -=，

∴2sin cos sin cos cos sin A C B C B C =+，∴()2sin cos sin sin A C B C A =+=． ∵A ∠是ABC ?的内角，∴sin 0A ≠，∴2cos 1C =，∴3

C π

∠=．

（2）由（1）可知3

C π

∠=，

∴(

))

21sin212sin 2f x x x =

-

1sin22x x = sin 23x π??=- ??

?． 由0,

2x π??∈????，∴22333x πππ-≤-≤

，∴sin 213x π??≤-≤ ??

?， ∴函数()f x

的值域为??

????

．

3．（1）2

22n a n n =+（2）()

21n n

S n =

+

【解析】试题分析：（1）将()()1121n n na n a n n +-+=+两边同时除以()1n n +，即可证明数列n a n ??

?

???

为等差数列，再根据14a =，即可求出数列{}n a 通项公式n a ；

（2）根据（1）写出数列1n a ???

???的通项公式，结合数列的特点，利用裂项相消求数列和即可求出数列1n a ??

????

的前n 项和n S ．

试题解析：（1）∵()()1121n n na n a n n +-+=+，∴121n n

a a n n

+-=+ ∴n a n ??

?

???

是以公差为2的等差数列 ∵14a =，∴

()42122n

a n n n

=+-=+，即222n a n n =+ （2）∵2

22n a n n =+，∴

2111112221n a n n n n ??==- ?++??

∴数列

1n a ??????

的前

n

项和

()

1231111111111111122233412121n n n n S a a a a n n n n ??=

+++???+=-+-+-+???+-=?= ?+++??

.

4．（1）()223n s n n =+；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：(1)根据题意,可求得21214n n a a +--=， 2218n n a a -=+（*n N ∈）,从而得1a ， 3a ， 5a ，……， 21n a -， 21n a +是公差为4的等差数列,且

2462135218n n a a a a a a a a n -+++

+=+++

++,于是可求()2223n S n n =+；

(2)由

()11n n

n

S a a q a -+=+ ,可求得()11n n n n S a q a aa -=+-,()+1+1+11n n n n S a q a aa =+-,两式相减得()()

()1

1111n n n n a q a a a q a -+??+-=-+??,若1

1q a =+,可证得数列{}n a 为等

比数列,(充分性);若数列{}n a 为等比数列,可证得1

1q a

=+

,(必要性). 试题解析：（1）因为21n a -， 21n a +， 2n a 成公差为4的等差数列， 所以21214n n a a +--=， 2218n n a a -=+（*n N ∈），

所以1a ， 3a ， 5a ，……， 21n a -， 21n a +是公差为4的等差数列，且

2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++，

又因为11a =，所以()21352128n n S a a a a n -=+++++

()()2124846232n n n n n n n n ??-=+?+=+=+????

（2）因为

()11n n

n

S a a q a -+=+，所以()11n n n n S a q a aa -=+-，① 所以()+1+1+11n

n n n S a q a aa =+-，②

②-①，得()()

()1

1111n n n n a q a a a q a -+??+-=-+??，③

（i ）充分性：因为1

1q a

=+

，所以0a ≠， 1q ≠， 1a aq +=，代入③式，得 ()()

111n n n n q q a q a +-=-，因为1q ≠-，又1q ≠，

所以

11

n n a a q

+=， *n N ∈，所以{}n a 为等比数列，

（ii ）必要性：设{}n a 的公比为0q ，则由③得()()

()10111n n a q q a a q -+-=-+， 整理得()()00111n

a q a a q q q ??+-=+-

???

， 此式为关于n 的恒等式，若1q =，则左边=0，右边=-1，矛盾：

若1q ≠±，当且仅当()()()

001{

111a q a a q a q

+=+=+，

时成立，所以11q a

=+. 由（i ）、（ii ）可知，数列{}n a 为等比数列的充要条件11q a

=+. 5．(1)见解析;(2) 9

10

P =. 【解析】

试题分析：，1）计算k 2，与2.027比较大小得出结论，

，2）根据分层抽样即可求出经常使用共享单车和偶尔或不用共享单车的人数，）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e ，根据古典概率公式计算即可． 试题解析：

（1）由列联表可知：()2

220070406030 2.19813070100100

K ??-?=≈???，

因为2.198 2.072>，

所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关． （2）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有60

53100

?=（人），偶尔或不用共享单车的有40

52100

?

=（人）． 设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a ，b ，c ；偶尔或不用共享单车的2人分别

为d ，e ．

则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，

(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e 共10种，

其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e 共1种，

故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010

P =-=． 点睛：古典概型的概率求解步骤

(1)判断试验是否为古典概型，只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型；

(2)计算基本事件的总数n ；

(3)计算事件A 包含的基本事件的个数m ； (4)计算事件A 的概率()=

m P A n

. 6．(1) ?619y

x =+，(2) 车流量为 12 万辆时， 2.5PM 的浓度为91微克/立方米. 【解析】

试题分析：

（1）根据公式求出?,,b x y ,利用??a y bx =-求得?a ，可写出线性回归方程； （2）根据（1）的线性回归方程，代入12求出 2.5PM 的浓度； 试题解析：（1)由数据可得：()1

123456747

x =

++++++= ()128303541495662437y =++++++= 77

2

11

1372,140i i i i i x y x ====∑∑

1221137212041?614012n

i i i n i i x y nx y b x nx

==-?-===--∑∑ 4??34619a

y bx =-=-?=，（注:用另一个公式求运算量小些） 故y 关于x 的线性回归方程为?619y

x =+. (2)当车流量为12万辆时，即12x =时，612199?1y

=?+=.故车流量为 12 万辆时，2.5PM 的浓度为91微克/立方米.

点睛：求解回归方程问题的三个易误点：

① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．

② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过

,x y （） 点，可能所有的样本数据点都不在直线上．

③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．

7．，1，6,7x y ==，，2，40%，，3）有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异. 【解析】

试题分析：，1）由分层抽样知甲校抽取11001052100?

，乙校抽取1000

1052100

?； （2）由表格统计考试成绩在[]

120,150内人数比上总人数即可得解； （3）利用2K 公式计算2K 的值，进而查表下结论即可. 试题解析：

（1）由题意知，甲校抽取1100105552100?=人，乙校抽取1000105502100

?=人， ∴6,7x y ==.

（2）由题意知，乙校优秀率为

20

40%50

=. （3）

()2

210510302045336

6.109 5.024********

55

K ??-?=

=

≈>???， ∴有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

8．(1)证明见解析； (2)2

. 【分析】

（1）由梯形ABCD ，设BC a =，则CD a =，2AB a =，运用勾股定理和余弦定理，可得AD ，由线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面SAD ，运用面面垂直的判定定理即可得证； （2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得1BC =，运用勾股定理和余弦定理，可得SA ，SB ，运用三角形的面积公式，即可得到所求值． 【详解】

（1）在梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=?，1

2

BC CD AB ==

， 设BC a =，则CD a =，2AB a =，在直角三角形BCD 中，90BCD ∠=?，

可得BD =

，45CBD ∠=?，45ABD ∠=?，

由余弦定理可得AD =，

则BD AD ⊥，由面SAD ⊥底面ABCD ， 所以BD ⊥平面SAD ， 又BD ?平面SBD ， 所以平面SBD ⊥平面SAD ；

（2）解：120SDA ∠=?，且三棱锥S BCD -

由AD SD ==，

在SAD ?中，可得2sin 60SA SD =?=

，

SAD ?的边AD 上的高sin 60SH SD =?=

， 由SH ⊥平面BCD ，可得

21132a ??=

， 解得1a =，

由BD ⊥平面SAD ，可得BD SD ⊥，

2SB a =，

又2AB a =，

在等腰三角形SBA 中，

边SA =，

则SAB ?的面积为

12SA ?==

．

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理的运用、三棱锥的体积公式，考查转化与化归思想的运用，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．

9

【解析】

试题分析：（，）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MN AT，由此结合线面平行的判断定理可证；（，）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果．

试题解析：（，）由已知得，取的中点T，连接，由N为

中点知，.

又，故平行且等于，四边形AMNT为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（，）因为平面，N为的中点，

所以N到平面的距离为.

取的中点，连结.由得，.

由得到的距离为，故

1

4525

2

BCM

S=??=.

所以四面体的体积

145

32

N BCM BCM

PA

V S

-

=??=.

【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．

10．(1)见解析；（2）3

8

FD FH PD PA ==. 【解析】

试题分析：，1）由AB，CD，AC，BA ，可得AC，CD ．由PA ⊥底面ABCD ，可得PA，CD ，可得CD ⊥平面PAC ，即可证明CD，AG，，2）设点F 到平面ABCD 的距离为d ，利用三棱锥的体积计算公式可得：V E -BCF =V F -BEC ，可得d ，进而得出答案． 试题解析：

，1，依题意，因为//AB CD ，AC BA ⊥，所以AC CD ⊥， 又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为AC PA A ?=，所以CD ⊥平面PAC ， 因为AG ?平面PAC ，所以CD ⊥ AG ，

，2，设点F 到平面ABCD 的距离为d ，

则1122sin 2233

BEC S BE BC EBC ?=

???∠=??=， 由1136E BCF F BEC BEC V V S d --?==

=，得34d =，故3

8

FD d PD PA ==. 11．，，，()()2

2

312x y -+-=，，）直线l 的方程为3x -y -8=0，，POM 面积是16

5

【详解】

试题分析：，Ⅰ）圆C 的方程可化为（x -4，2+y 2=16，由此能求出圆心为C，4，0），半径为4，设M，x，y ），求出向量CM，MP 的坐标，由0CM MP ?=运用向量的数量积的坐标表示，化简整理求出M 的轨迹方程；

，Ⅱ）由（Ⅰ）知M 的轨迹是以点N，3，-1为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上，可得ON，PM ，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由点斜式方程可得直线l 的方程．利用点到直线距离公式结合已知条件能求出△POM 的面积 试题解析：

，Ⅰ）圆C 的方程可化为：()2

2416x y -+=，所以圆心C(4,0)半径为4， 设M，x,y ，,则CM =，x -4，y，，()2,2MP x y =--则由条件知，0CM MP ?= 故（x -4，，2-x，+y，2-y，=0，即()()2

2

312x y -+-=．由于点P 在圆C 的内部，所以M

的轨迹方程是()()22

312x y -+-=，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M 的轨迹是以点N （3，1）为圆心，

以2为半径的圆．又OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，显然P 在圆N 上，从而ON⊥PM．K ON =

1

3

,所以直线l 的斜率为－3，故直线的方程为3x ＋y -8=0.又OP OM ==22，O 到l 的距离为

008410510

+-=，由勾股定理可得|PM|=410

5,所以△

面积是

141041016

2555

??=． 12．（1）2213x y +=（2）±

【解析】

试题分析，，，）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，结合已知可得点Q 的轨迹是椭圆，并求出a ，c 的值，进一步得到b 的值，则椭圆方程可求；，，）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得A ，B 的横坐标的和与积，再由1OA OB ?=，即可求出k 的值. 试题解析：（I ）配方，圆((2

2

2:C x y ++=

由条件，QC QA CP CA +=>，故点Q 的轨迹是椭圆，1a c b =

==，

椭圆的方程为2

213

x y +=

（II ）将y kx =+2

213

x y +=得221330k x +++=（）.

由直线与椭圆交于不同的两点，得

()

()()

22

22130,

121312310.

k k k ?+≠??

?=-+=->??

即2

1

3

k >

. 设()(),,,A A B B A x y B x y ，则22

3

,1313A B A B

x x x x k k +=-

=++.

由1OA OB ?=,得2A B A B x x y y +=.

而(()

()2

(12A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=++=++++

(

)

2

2

22

2

35312131331

k k k k k -=++=+++.

于是2253131k k -=+.解得k =故k 的值为点睛：转化定义法是求轨迹方程的常用方法，转化定义时一般需要用到几何关系，如本题就利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；涉及直线与圆锥曲线相交时，一般要联立方程组，得一元二次方程，利用韦达定理写出12x x +及12x x ，再根据具体问题应用上式，其中注意判别式条件的约束作用.

13．(1)以点2

(,)a a .(2)答案见解析；(3)2a =或12a =. 【解析】

试题分析，，1，将原式子化简配方，得到()2

2

2224x a y a a a ??-+-=+ ??

?，可知曲线是圆；

（2，因为这个三角形是直角三角形，三角形面积是底乘高，直接求出曲线和坐标轴的交点即可．（3，首先向量坐标化，得到()12128

58165

OM x x x x ?=-++=-，联立直线和曲线得到二次方程，根据韦达定理得22520a a -+=，求出即可． 解析：

（1）将曲线C 的方程化为2

2

420x y ax y a +--=，整理得()2

22224x a y a a a ??-+-=+ ??

?，

可知曲线C 是以点2,a a ?? ???为半径的圆.

（2）AOB ?的面积S 为定值.

证明如下：在曲线C 的方程中令0y =，得()20ax x a -=，得()2,0A a ， 在曲线C 方程中令0x =，得()40y ay -=，得40,B a

?? ??

?

，

所以114

2422S OA OB a a

=

?=?=（定值）. （3）直线l 与曲线C 方程联立得(

)

2

2

5216816160ax a a x a -+-+-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则

2122168

5a a x x a

+-+=

，1216165a x x a -=， ()121212128

58165

OM ON x x y y x x x x ?=+=-++=-，

即280801612864808

55

a a a a a ---++=-，即22520a a -+=，解得2a =或12a =，

当2a =时，满足0?>；当1

2

a =时，满足0?>. 故2a =或12

a =

. 点睛：这个题目考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系．考查学生分析解决问题的能力，属于基础中档题，在这里涉及到向量在曲线中的应用，一般要有向量坐标化的意识，通过坐标化发现点之间的关系，进而决定采用什么方法．

14．（Ⅰ）1

2

y =-

（Ⅱ）单调增区间为()0,1单调减区间为()1,+∞（Ⅲ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导()1f x x x '=-，所以()11101f '=-=，又()1

12

f =-可得

()f x 在1x =处的切线方程（Ⅱ）令()0f x '>，解出01x <<，令()0f x '<，解出1x >，可得

()f x 的单调区间．（Ⅲ） ()()2

11ln 2

h x x a x a x =

-++， ()()()()1

11a h x x a x x a x x

=+

-+=--' ()h x 在()0,a 单调递增在(),1a 单调递减，在()1,+∞单调递增，且()h x 极大值()21

ln 02

h a a a a a ==--+<， ()h x 极小值

()1

102h a ==--<可得()h x 在()0,1无零点，在()1,+∞有一个零点，所以()h x 有且仅

有一个零点．

试题解析：（Ⅰ）∵()21ln 2f x x x =-

， ()1

f x x x

'=-， ∴()11101f '=-=． ()11

11122

f ln =-?=-，

∴()f x 在11,2??-

???处切线为102y ??--= ???

，即为12y =-． （Ⅱ）令()0f x '>，解出01x <<，令()0f x '<，解出1x >． ∴()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞．

（Ⅲ）()()22ln 122x x h x a x a x ????=-++- ? ?????

()2

11ln 2x a x a x =-++，

()()1a h x x a x '=+

-+ ()211x a x a x ??=-++?? ()()11x x a x

=--． 令()0h x '>，解出0x a <<或1x >，令()0h x '<，解出1a x <<． ∴()h x 在()0,a 单调递增在(),1a 单调递减，在()1,+∞单调递增，

()h x 极大值()21ln 02h a a a a a ==--+<， ()h x 极小值()1

102

h a ==--<，

∵在x a =时， ()h x 极大值小于零，

在1x =时， ()h x 极小值小于零．在()1,+∞， ()h x 单调递增，说明()h x 在()0,1无零点，在()1,+∞有一个零点，∴()h x 有且仅有一个零点．

点睛：本题考查了利用导数求函数在某点处的切线，考查了函数的单调区间，考查了利用导数研究零点问题，注意()h x '处理时采用因式分解很容易得出()0h x '=的根，考查了学生推理运算的能力，属于中档题. 15．，，）见解析（，，(0，1)

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导(

)1'0f x x =

==，得4x =，分析单调性得当0x >时， ()(

)()4ln42ln210f x f ≤==-<即得证；（Ⅱ） ()1

'g x t x

=

-对t 进行讨论①0t ≤， ()g x 在[1，+∞)上是增函数，所以当1x >时， ()()10g x g >=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，②若1t ≥， ()g x 在[1，+∞)上是减函数，所以当1x >时，

()()10g x g <=，所以()g x 在(1，+∞)上没有零点，③若0

找到2

1x =?

?

，则当1x x >

时

2

0t t >，

()1t x <-成立；