求数列通项公式的各种方法(非常全)

龙文教育-------您值得信赖的专业化个性化辅导学校

龙文教育个性化辅导授课教案

教师： 学生： 时间： 年 月 日 段

课题：数列的通项公式

教学目标：掌握数列通项公式的求法 教学重难点：构造等差等比数列

一、教学内容：

一、利用{

1(2)

1(1)

n n S S n S n n

a --≥==

例1．若n

S 和n

T 分别表示数列{}n

a 和{}n

b 的前n 项和，对任意正整数

2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；

解： 22(1)

4

231

a n a d S

n n

n

n

=-+∴=-=-=--

23435T S n n n

n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时

当2,62

6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分

练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n

解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②

由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;

当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3

2．设数列{}n a 的前n 项的和

1

4122

333

n n n S a +=

-

?+

，1,2,3,n =

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ； （Ⅱ）设2

n

n n

T S =

，1,2,3,n = ，证明：1

32

n

i i T =<

∑

解：（I ）

2

11141223

3

3

a S a ==

-

?+

，解得：2a =

()2

1

111441

22

3

3

3

n n n n n n n a S S a a +++++=-=

-

-

-()1

1

2

42

n n

n n a

a ++?+=+

所以数列{

}2

n

n

a

+是公比为4的等比数列

所以：

()1

1

122

4n

n n a a -+=+?

得：42n

n

n a =- （其中n 为正整数）

（II ）

()()()

1

1

1

4124122

242

2

21213

33

33

3

3

n n

n

n n n

n n S a +++=-

?+

=

--

?+

=

--

()()

1

1

2

32

3

112

221212

121n

n

n n n n n

n

T S ++??

=

=?

=

?- ?

----??

所以：

11

1

3

113

221212

n

i

n i T

+=??=

?-<

?--??∑

二、构造等差数列

例2、 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+?两边除以12n +，得

11

32

2

2

n n n n

a a ++=

+

，则

1

1

322

2

n n n n

a a ++-

=

，故数列{}2

n n

a 是以12

22

a 1

1==

为

首项，以2

3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)

2

2

n

n

a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为

31(

)22

2n

n a n =-

。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+?转化为

11

32

2

2

n n n n

a a ++-

=

，说明数列{

}2

n n

a 是等差数列，

再直接利用等差数列的通项公式求出

31(1)2

2

n n

a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

例3．已知数列{}n a 中，11a =,1

11

1()22

n n n a a ++=+，求n a 。 解：在111

1()22

n n n a a ++=

+两边乘以1

2+n 得：112(2)1n n n n a a ++?=?+ 令n n n a b ?=2，则11n n b b +-=,解之得：111n b b n n =+-=- 所以12

2

n n n

n

b n a -=

=

三、累加法

例4、 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2

(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n

---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出

11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。

例5、 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1231n n n a a +=+?+得1231n

n n a a +-=?+则

11232211

1

221

1

2

2

1

1

()()()()(231)(23

1)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13

)

2

(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n

a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n

n a n =+-

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n

n n a a +-=?+，进而求出

11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。

例6、已知数列{}n a 满足1132313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+?+两边除以1

3n +，得

11

1

213

3

3

3

n n n n

n a a +++=

+

+

，

则

11

1

213

3

3

3

n n n n

n a a +++-

=

+

，故

112232112

2

3

2

1

11

1

2

2

1

2

2

()()()()3

33

33

3

3

3

21

2121

213()()()()3

3

333

333

3

2(1)1111

1(

)1

3

3

3

3

3

3

n n n n n n n n

n

n n n n n n

n n n

n

n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-

+-

+-

++-

+=+

++++++++-=

++

+

+

++

+

因此

1

1

(13)2(1)2113

13

3

13

3

2

23

n n

n n

n

a n n ---=

++=

+

-

-?，

则21133.3

2

2

n

n

n a n =

??+

?-

评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+?+转化为

11

1

213

3

3

3

n n n n

n a a +++-

=

+

，进而求出

112232111

1

2

2

3

2

1

()()(

)()3

3

3

3

3

3

3

3

3

n n n n n n n

n n n n n a a a a a a a a a -----------

+-

+-

++-

+ ，即得数列3n n a ??

?

???

的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

四、累乘法

例7、 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

12(1)5n

n n

a n a +=+，故

1

32

112

21

1

2

21

1

(1)(2)21

(1)

1

2

[2(11)5][2(21)5

][2(21)5][2(11)5]32

[(1)32]5

3

325

!

n

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

?

??

??=-+-+??+?+??=-?????=???

所以数列{}n a 的通项公式为(1)

1

2

32

5

!.n n n n a n --=???

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n

n n a n a +=+?转化为

12(1)5

n

n n

a n a +=+，进而求出

1

32

112

21

n

n n n a a a a a a a a a ---?

??

?? ，即得数列{}n a 的通项公式。

例8、已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+ ②

用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故11(2)n n

a n n a +=+≥

所以1

322212

2

![(1)43].

2

n

n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

?

??

?=-???=

③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452

n n a n =?????= 。

所以，{}n a 的通项公式为!.2

n n a =

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为

11(2)n n

a n n a +=+≥，进而求出

1

3212

2

n

n n n a a a a a a a ---?

??

? ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

五.构造等比数列n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+ 例9、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；

解：*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n

n a ∴+=

即 2*

21().n a n N =-∈

练习. 已知数列}a {n 满足）

（2n 12a 2a n 1n n ≥-+=-，且81a 4=。 （1）求321a a a ，，；

（2）求数列}a {n 的通项公式。

解： （1）33a 13a 5a 321===，，

（2）n 1n n n 1n n 2)1a (21a 12a 2a +-=-?-+=--

1n 2

1a 12

1a 2

1a n

n 1

n 1n n

n +=-?

+-=

-?

--

∴12)1n (a n n ++=

六、待定系数法

例10、已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1152(5)n n

n n a x a x +++?=+?

④

将1235n n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n

n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去2n a ，得

1

355

25n n n x x +?+?=?，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1

15

2(5)n n

n n a a ++-=- ⑤

由1156510a -=-=≠及⑤式得50n

n a -≠，则

11525

n n n

n a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1

151a -=为首项，

以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n

n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n

n n a a ++-=-，从而可知数列

{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n

n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

例11 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1123(2)n n

n n a x y a x y +++?+=+?+

⑥

将13524n

n n a a +=+?+代入⑥式，得

1

35242

3(2)n n n

n n a x y a x y ++?++?+=+?+

整理得(52)24323n n x y x y +?++=?+。 令52343x x

y y

+=??+=?，则52x y =??=?，代入⑥式得

1

152

23(522)n n

n n a a +++?+=+?+

⑦

由11522112130a +?+=+=≠及⑦式，

得5220n

n a +?+≠，则

1152

2

3522

n n n

n a a +++?+=+?+，

故数列{522}n

n a +?+是以1152211213a +?+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此

1

522133

n n n a -+?+=?，则1133522n n n a -=?-?-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+?+转化为115223(522)n n

n n a a +++?+=+?+，

从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求出数列{522}n

n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的

通项公式。

例12 已知数列{}n a 满足2

1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设22

1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧

将2

12345n n a a n n +=+++代入⑧式，得

222

2345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则

22

2(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++

等式两边消去2n a ，得22

(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++， 解方程组3224252x x x y y x y z z +=??++=??+++=?，则31018x y z =??

=??=?

，代入⑧式，得

2

2

由213110118131320a +?+?+=+=≠及⑨式，得2310180n a n n +++≠

则

2

123(1)10(1)18

231018

n n a n n a n n ++++++=+++，

故数列2{31018}n a n n +++为以2

1311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=?，则42231018n n a n n +=---。 评注：本题解题的关键是把递推关系式212345n n a a n n +=+++转化为

2

2

13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列2

{31018}n a n n +++是等比数列，

进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

例13、构造数列{}n n a a λ++1，使其为等比数列。 n n n qa pa a +=++12

例：已知数列{}n a 满足,11=a 32=a ，n n n a a a 2312-=++，求{}n a 的通项公式。 解：设 ()n n n n a a a a αβα+=++++112，即(),12n n n a a a αβαβ+-=++

则 (),12n n n a a a αβαβ+-=++与n n n a a a 2312-=++ 比较后的得

2,3-==-αβαβ.

∴ 1,2=-=βα

或 2,1=-=βα.

当2,1=-=βα时，()n n n n a a a a -=-+++1122，{}n n a a -+1是以212=-a a 为首项，2为公比的等比数列。∴n n n a a 21=-+

∴()()()112211a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

122221++++=-- n n 12-=n (2≥n ).

经验证，n=1时适合上式，12-=∴n n a . 同理，当1,2=-=βα时，也得到12-=n n a . 综上知12-=n n a .

七、对数变换法

例14、 已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为5

11237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。在5123n n n a a +=??式两边取常用对数得

1lg 5lg lg 3lg 2n n a a n +=++

⑩

设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++

○

11 将⑩式代入○11式，得5lg lg 3lg 2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去5lg n a 并整理，得

(lg 3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则

lg 35lg 25x x x y y +=??

++=?，故lg 34lg 3lg 2

164x y ?

=????=+??

代入○11式，得1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (1)5(lg )4

16

4

4

16

4

n n a n a n ++++

+

=++

+

○

12

由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 1lg 71041644

16

4

a +?+

+

=+

?++≠及○

12式，

得lg 3lg 3lg 2lg 0416

4

n a n +

++≠，

则

1lg 3

lg 3lg 2lg (1)4

164

5lg 3lg 3lg 2lg 4

16

4

n n a n a n ++

+++

=+

+

+

，

所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }416

4

n a n +

++

是以lg 3lg 3lg 2lg 7416

4

+

+

+

为首项，以5为公比的等比数列，则

1

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2

lg (lg 7)5416

4

4

16

4

n n a n -+

+

+

=+

++

，因此

1

1

1

11111

16

16

4

4

4

4

1

1

1

1

1

1

161644441

1

1

1

1

1

161644445

5

51

4

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)5

4

16

4

4

6

4

(lg 7lg 3lg 3lg 2)5

lg 3lg 3

lg 2[lg(7332)]5

lg(332)

lg(7332)5

lg(332)

lg(733

n n n n n n n

n n

n n n a n ---------=+

+

+

-

-

-

=+++---=???-??=???-??=??1

1

15

1

164

541

5

151

16

4

2

)

lg(7

3

2)

n n n n n -------?=??

则1

1

541

5

1

5

16

4

7

3

2

n n n n n a -----=??。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5

123n n n a a +=??转化为

1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3

lg 2

lg (1)5(lg )4

16

4

4

164n n a n a n ++

++

+

=+

+

+

，从而可知数列lg 3

lg 3

lg 2

{lg }

4164

n a n +

+

+

是等比数列，进而求出数列lg 3lg 3

lg 2

{lg }4164

n a n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

八、迭代法

例15、已知数列{}n a 满足3(1)2

115n

n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21n n n n a a ++=，所以1

2

1

323(1)232

1

2

[]

n n n n n n n n

n a a a

---?-??--==

(2)(1)23(1)22

(2)(1)323(2)23(1)2[]

3

(3)(2)(1)33(2)(1)2312(3)(2)(1)1323(2)(1)21

(1)

123!21

n n n n a

n n n n n n n a n n n n n n n a

n n n n n n n n a n n n n a -+--??=--+---?-??=--+-+---?=-=+++-+-+--??-?-??=--??=

又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)

12

3!25

n n n n a n --??=。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)2

1n

n n n a a ++=两边取常用对数

得

1lg 3(1)2lg n

n n

a n a +=+??，即

1lg 3(1)2

lg n

n n

a n a +=+，再由累乘法

可

推

知

13211

2

2

1

(1)

1lg lg lg lg 2

3!2lg lg lg 5

lg lg lg lg n n n n n n n n a a a a n a a a a a a -----??=

?

??

?

?= ，从而1

(1)3

!2

2

5

n n n n n a --??=。

九、数学归纳法

例16、已知数列{}n a 满足112

2

8(1)8(21)(23)

9

n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由12

2

8(1)(21)(23)

n n n a a n n ++=+

++及189

a =

，得

2122

322

2

432

2

8(11)

88224(211)(213)

9

925258(21)

248348(221)(223)

25

2549498(31)

488480(231)(233)

49

4981

81

a a a a a a +?=+=

+=

?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+

=

+

=?+?+?

由此可猜测2

2

(21)1(21)

n n a n +-=

+，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当1n =时，2

12

(211)18(211)

9

a ?+-=

=

?+，所以等式成立。

（2）假设当n k =时等式成立，即2

2

(21)1(21)

k k a k +-=

+，则当1n k =+时，

12

2

8(1)(21)(23)

k k k a a k k ++=+

++

2

2

22

22

2

2

2

22

2

22

22

2

2

2

2

2

(21)18(1)

(21)

(21)(23)

[(21)1](23)8(1)

(21)(23)

(21)(23)(23)8(1)

(21)(23)

(21)(23)(21)

(21)(23)(23)1(23)

[2(1)1]1[2(1)1]

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=

+

++++-+++=

++++-+++=

++++-+=

+++-=

+++-=

++2

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*

n N ∈都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用

十、换元法

例17、已知数列{}n a 满足111(14124)116

n n n a a a a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令124n n b a =+，则2

1(1)24

n n a b =-

故2

111(1)24

n n a b ++=

-，代入11

(14124)16

n n n a a a +=

+++得

2

2

1111(1)[14

(1)]24

16

24

n n n b b b +-=

+-+

即2214(3)n n b b +=+

因为1240n n b a =+≥，故111240n n b a ++=+≥ 则123n n b b +=+，即11322

n n b b +=+

，

可化为113(3)2

n n b b +-=

-，

所以{3}n b -是以1131243124132b a -=+-=+?-=为首项，以

2

1为公比的等比数列，因此

121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+，即2

1124()32

n n a -+=+，得

2111()()3423

n n n a =

++。 评注：本题解题的关键是通过将124n a +的换元为n b ，使得所给递推关系式转化11322

n n b b +=

+

形式，从而

可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

十一、倒数法

数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以

,11

-n n a a 先求出

.,1n n

a a 再求得

1．构造数列?

????

?n a 1，使其为等差数列。 （形式：11

+=+n n

n pa a a ） 例18、已知数列{}n a 满足 ,11=a 131+=+n n

n a a a ，求证：?

??

???n a 1是等差数列，并求{}n a 的通向公

解： 1

31+=

+n n n a a a ，∴

3111

+=

+n

n a a ，即

.3111

+=-

+n

n a a

∴ ?

??

??

?n a 1是首项为1，公差为3的等差数列。 ∴

,231

-=n a n

2

31-=

n a n .

2. 构造数列?

?????+λn a 1，使其为等比数列。（q pa a a n n

n +=+1）

例19、在数列{}n a 中，已知,21=a 1

21+=

+n n n a a a ，求证：数列{}n a 的通项公式。

解：由,21=a 121+=

+n n n a a a 可知，对N n ∈，0≠n a .

∴

n

n a a 212

111

+

=+，即

???

? ??-=

-+11

21111

n

n a a . 又 ,11=a ∴

2

1111

-

=-a .

∴数列?

????

?-11n

a 是首项为21-，公比为21

的等比数列.

∴ n

n n a ??

?

??-=???

??-=--21212111

1

. ∴ 1

22

-=

n

n

n a

例20、设数列}{n a 满足,21=a ),N (3

1∈+=+n a a a n n n 求.n a

解：原条件变形为.311n n n n a a a a =?+?++两边同乘以

,11

+?n n a a 得1

1131+=

?

+n n

a a .

∵1

1

3

2

11,2

11)2

113-+=+

∴

+

=

+

n n

n n

a a a （

∴.1

3

221

-?=

-n n a

四、课堂答疑：

五、课后小结：

六、课后作业：

七、学生评价：○特别满意○满意○一般○差

学生签字：

八、教师评定：

1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差

2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差

教师签字：

龙文教育教务处：

https://www.360docs.net/doc/4f8897736.html,

学生作业：

教师： 学生： 时间： 2012 年 月 日

1、 在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

2、已知数列{}n a 中，3

11=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

3、已知数}{n a 的递推关系为43

21+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。

4、在数列{}n a 中，11=a ,22=a ，n n n a a a 3

13

212+

=++，求n a 。

5、已知数列｛n a ｝中11=a 且1

1+=+n n n a a a （N n ∈），

，求数列的通项公式。

6、已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n

=+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. （1）求数列{}a n 的通项公式；

7、已知等差数列{a n }的首项a 1 = 1，公差d > 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项．

（Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；

8、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

10、数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；

11、已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，1n n n b a a +=（*n ∈N ），且{}n b 是以q 为公比

的等比数列．

（I ）证明：2

2n n a a q +=；

（II ）若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列；

12、设数列{a n }的前项的和S n =

3

1

（a n -1） (n *∈N )．

(Ⅰ)求a 1；a 2； (Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列．

14、已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足2(1),1n n n S a n =+-≥． (Ⅰ)写出数列{}n a 的前3项;,,321a a a (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式．

15. 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

16、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

17、已知数列}

a{

n 满足3

a

1

3

2

a

a

1

n

n

1

n

=

+

?

+

=

+

，，求数列}

a

{

n

的通项公式。

18、已知数列}

a{

n 满足3

a

1

3

2

a

3

a

1

n

n

1

n

=

+

?

+

=

+

，，求数列}

a

{

n

的通项公式。

19、已知数列}

a{

n 满足3

a

a

5)1

n(2

a

1

n

n

1

n

=

?

+

=

+

，，求数列}

a

{

n

的通项公式。

20、已知数列}

a{

n 满足6

a

5

3

a

2

a

1

n

n

1

n

=

?

+

=

+

，，求数列}

a

{

n

的通项公式。

21、已知数列}

a{

n 满足4

1

3

n n

a a

+

=，7

a

1

=，求数列}

a{

n

的通项公式。