积分在经济问题中的应用

Value Engineering

0引言

随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济类问题显得越来越重要。在经济分析中，我们常用积分来求某经济总量及变动值，并通过对经济总量变动值的综合分析对比，对企业的经营决策及时做出正确的调整。

1广告策略

例1某企业每月销售额是10000元，平均利润是销售额的10%。据企业以往经验，广告宣传期间月销售额的变化率近似地服

从增长曲线10000e 0.02t

（t 以月为单位）

，企业现需决定是否举行一次类似的总成本为1300元的广告活动。按惯例，对超过1000元的广

告活动，若新增销售额产生的利润超过广告投资的10%，

则决定做广告。试问该企业按惯例是否应该做此广告？

解12个月后总销售额是当t=12时的定积分，

即总销售额=12

0乙

10000e 0.02t dt=10000e 0.02t 0.02

120=500000e 0.24

-乙乙1≈135600（元）。

公司的利润是销售额的10%，故新增销售额产生的利润是（135600-120000）×10%=1560（元）。1560元是由于花费了1300元的广告费而得到的，因此，广告所产生的实际利润是1560-1300=260（元），这表明盈利大于广告成本的10%，故企业应该做此广告。2消费者剩余和生产者剩余需求量与供给量都是价格的函数，在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋于平衡价格和平衡数量，分别用P 0和Q 0表示，平衡点（P 0，Q 0）是供给曲线与需求曲线的交点。消费者剩余（CS ）和生产者剩余（PS ）是经济福利分析的两个重要工具。在效用与经济福利分析中，消费者剩余是指消费者对某种商品愿意愿意付出的代价超过实际付出代价的余额。即：消费者剩余=愿意付出的金额—实际付出的金额。生产者剩余是指生产者销售某种商品所得到的款额与其生产成本之间的差额。由定义可得：CS=Q

0乙

D （Q ）dQ-P 0Q 0（其中P=D （Q ）表

示需求曲线）

。PS=P 0Q 0-Q 0

乙S （Q ）dQ （其中P=S （Q ）表示供给曲线）。

例2某水果市场的需求函数为：P=50-Q ，供给函数为：P=5+

0.5Q ，求市场均衡价格，市场均衡数量及生产者剩余与消费者剩余。解：联立需求函数与供给函数解方程：50-Q=5+0.5Q 得市场均衡价格P 0=20，市场均衡数量Q 0=30。消费者剩余CS=30

0乙

（50-Q ）

dQ-20×30=50Q-12Q 2≈≈

300-600=450，生产者剩余PS=30×20-300乙

（5+0.5Q ）dQ=600-5Q+14

Q 2≈≈

300=225。3国民收入分配

国民收入分配是指国民经济在一定时期内创造的国民收入，按

一定的方式在政府、企业和居民个人之间的分割。现代经济学家认

为，收入分配有三种标准：第一个是贡献标准;第二个是需要标准;第三个是平等标准。后两个标准有利用收入分配的平等化，但不利于经济效率的提高。有利于经济则会不利于平等，不利于平等则会有损于经济效率，这就是经济学中所说的平等与效率的矛盾。收入分配的平等可以用三种标准来衡量。一是劳动分配率，即劳动收入在国民收入中所占的比例；二是洛伦兹曲线与基尼系数；三是工资的差异率。洛伦兹曲线用以比较和分析一个国家在不同时代或者不同国家在同一时代的财富不平等，该曲线作为一个总结收入和财富分配信息的便利的图形方法得到广泛应用。

如图1中横轴OH 表示人口（按收入由低到高分组）的累积百分比，纵轴OM 表示收入的累积百分比，弧线ODL 为洛伦兹曲线。洛伦

兹曲线的弯曲程度有重要意义。一般来讲，它反映了收入分配的不平等程度。弯曲程度越大，收入分配越不平等，反之亦然。特别是，如果所有收入都集中在一人手中，而其余人口

均一无所获时，

收入分配达到完全不平等，洛伦兹曲线成为折线OHL 。另一方面，若任一人口百分比均等于其收入百分比，从而人口累计百分比等于收入累计百分比，则收入分配

是完全平等的，洛伦兹曲线成为通过原点的45度线OL 。一般来说，一个国家的收入分配，既不是完全不平等，也不是完

全平等，而是介于两者之间。相应的洛伦兹曲线，既不是折线OHL ，

也不是45度线OL,而是像图中这样向横轴突出的弧线ODL ，尽管突出的程度有所不同。将洛伦兹曲线与45度线之间的部分A 叫做“不平等面积”，当收入分配达到完全不平等时，洛伦兹曲线成为折线OHL ，OHL 与45度线之间的面积A+B 叫做“完全不平等面积”。

为方便计算，取横轴OH 为x 轴，纵轴OM 为y 轴，再假定该国

民某一时期国民收入分配的洛伦兹曲线可近似表示为y=f （x ），则A=

乙

[x-f （x ）]dx=12x

0-1

0乙

f （x ）dx=12

-1

乙f （

x ）dx 即不平等面积A=对大不平等面积（A+B ）-B=1-1

0乙

f （x ）dx ，其系数A 即基尼系数表示一个国家国民收入在国民间分配的不平等程度。

例3某年国民收入在国民之间分配的洛伦兹曲线可近似地由y=x 2

（x ∈[0，1]）表示，时求该国的基尼系数。解依题意有：A=12-10乙f （x ）dx=12-10乙

x 2dx=12-13

x 31

0=12-13=16。故其基尼系数A =1/6=1≈0.33。4无穷积分的应用

例4在一汽车零件仓库里，每天所供应的订货比例为如下频率函数：f （x ）=10x 2-x 3

≈≈0燮x 燮1——————————————————————

—作者简介：樊苗（1981-），女，陕西富平人，西安外事学院讲师，硕士，研究方

向为应用数学。

积分在经济问题中的应用

Application of Integration in Economic Problems

樊苗Fan Miao

（西安外事学院商学院，西安710077）

（Business School of Xi'an International University ，

Xi'an 710077，China ）摘要：积分是微积分中的重要内容，在经济学中应用广泛。文中通过具体事例研究了定积分在广告策略，消费者剩余和生产者剩余，国民收

入分配及无穷积分在仓库供应的订货分析中的应用。

Abstract:Integration is the important content of calculus,and it is widely used in economics.Through concrete case,the paper studies the application of definite integral in advertising strategy,consumer surplus and producer surplus,income distribution and the application of infinite integral in orders analysis of warehouse supply.

关键词：定积分；无穷积分；经济问题；应用Key words:definite integral ；infinite integral ；economic issues ；application

中图分类号：G642

文献标识码：A

文章编号：1006-4311（2012）

06-0181-02

·181·

微积分在微观经济学中的应用

1 引言微积分广泛地应用在自然科学、社会科学及应用科学等各个领域，用来解决那些仅靠代数学不能有效解决的问题．经济学作为社会科学“皇冠上的明珠”，其与微积分的联系也尤为紧密，我们就拿微观经济学为例．微观经济学是研究社会资源配置以及社会微观个体的经济关系的一门科学，从它诞生之日便和数学结下了不解之缘．自威廉-斯坦利和卡尔-门格尔等人的“边际革命”将边际分析引入经济学分析起，微积分在经济学研究中的作用越来越重要，它为解决以“变量”为研究对象的大量问题提供了一种深刻的思想方法，是运用定量分析方法研究经济理论的有效工具．微积分以其特有的严密性为微观经济学理论提供了科学的论证和精确的数理分析，严格的量化的论证与分析提高了经济学理论的科学性．微观经济学这一百多来的发展实践证明：将现代的数学方法例如微积分引入到微观经济学领域，大大地推动了经济学的研究和发展．本文主要结合微观经济学中的典型的经济模型和经济问题，探讨微积分在微观经济学研究中的具体运用，以提高用高等数学中的方法来处理复杂经济现象的能力．下面研究主要集中在诸如边际分析、弹性分析、成本问题、收入问题、消费者剩余和生产者剩余这些方面，从而让我们对微积分这个分析工具在经济学中的运用有个更加清晰全面的认识． 2 经济学中常用函数[1] 在引入微积分在微观经济学中的运用之前，先来简要介绍下经济学中的几个常用的函数．需要注意的是，由于在现实中许多经济函数并不是连续函数，为了能够进行微积分运算，我们不妨先假设它们是连续且可微函数．需求函数需求函数是反映在每一可能的价格水平下消费者对某种商品愿意并且能够购买的有效需求量Q 与该商品的价格P 之间一一对应关系的函数,记作()d Q Q P =．供给函数供给函数是反映在每一可能的价格水平下生产者对某种商品愿意并且能够提供的有效供给量Q 与该商品的价格P 之间一一对应关系的函数，记作()S Q Q P =．效用函数效用函数是反映消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数．它被用以衡量消费者从消费既定的商品组合中所获得满足的程度．其表达式是：(),,...U U x y z =式中,,...x y z 分别代表消费者所拥有或消费的各种商品的数量．

微积分在生活中的应用

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/5010716744.html, 微积分在生活中的应用作者：曹红亚来源：《数学大世界·中旬刊》2020年第01期【摘要】微积分产生于十七世纪后期，完善于十九世纪。在现代社会中，微积分是高等数学中至关重要的组成部分，在数学领域中扮演着不可替代的角色，与此同时，微积分在现实生活中的应用也越来越广泛。本文将就微积分在生活中的应用进行深入的分析与探究。【关键词】微积分;现实生活;实际应用众所周知，微积分建立的基础是实数、函数以及极限。关于微积分的定义，其指的是微分学和积分学二者的总称，其更代表着一种数学思想。微积分的发展与现实生活的发展是密切相关的，现在的微积分已经广泛存在于诸多自然科学当中，如天文学、生物学、工程学以及经济学等等，在现实生活着发挥着越来越重要的作用。以下笔者结合自己多年的相关实践经验，就此议题提出自己的几点看法和建议。一、微积分在日常工作中的应用微积分不仅仅应用在科研领域，其更实实在在地存在于我们的生活当中。例如日常生活中，我们需要装修或者从事装修工作，都需要进行工程预算，这时我们便会不自觉地应用微积分原理，首先将整个装修工程科学划分成为多个小单元，然后对应用到的材料和工时进行计算，最终得出总的造价。再比如，现在很多人特别是年轻人都希望创造一份属于自己的事业，那么其在创业时可能会应用到微积分。如对所选地址处的车流量以及人流量进行了解，在一天的几个时间段，做一分钟的调查，测出经过的人数或车数，再通过计算得出每天或每月的人流量或车流量，这将是我们创业的一个重要参考面。二、微积分在曲线领域中的应用在微积分的现实应用中，最具代表性的便是求曲线的长度、切线以及不规则图形的面积。如在当前社会中，相关数字音像制品或者正流行的数字油画，其都需要将图像和声音分解成为一个个像素或者音频，利用数字的方式来进行记录、完成保存。在重放的时候，再由设备用数字方式来解读还原，使我们听到或看到几乎和原作一模一样的音像。再比如，中央电视台新闻频道的时事报道中常看到地球转向某一点，放大，现出地名，播送最新动态的新闻画面。它的整体概貌是拼装的，是由卫星将地球分成一个个小区域进行拍照，最后拼接成地球的形状，才让我们形象地、跨时空地欣赏新闻报道的同步魅力。三、微积分在买卖中的应用

定积分在经济学中的应用

定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。

1 利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本 C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。解总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。解所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10 5210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为

微积分在经济生活中的应用

微积分在经济生活中的应用人们面对着规模越来越大的经济和商业活动，逐渐转向用数学方法来帮助自己进行分析和决策，而且正越来越广泛地应用数学理论进行经济理论研究．在经济生活中经常涉及成本、收入、利润等问题，解决这些问题与微积分有着紧密联系． 1 导数及微分的应用导数及微分在经济生活中的应用主要有边际分析与弹性分析等． 1.1 边际问题[1](37)P - 1.1.1 边际成本边际成本是指在一定产量水平下，增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数．设成本函数为()C C x =，产量从x 改变到x x +?时，成本相应改变 ()()C C x x C x ?=+?- 成本的平均变化率为 ()() C C x x C x x x ?+?-= ?? 若当0x ?→时，0lim x C x ?→??存在，则这个极限值就可反映出产量有微小变化时，成本的变化情况．因此，产品在产量x 时的边际成本就是： 00()() ()lim lim x x dC C C x x C x C x dx x x ?→?→?+?-'= ==?? 如果生产某种产品100个单位时，总成本为5000元，单位产品成本为50元．若生产101个时，其总成本5040元，则所增加一个产品的成本为40元，即边际成本为40元．在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算．当企业的生产能力有剩余时，只要增加产量的销售单位高于单位边际成本，也会使得企业利润增加或亏损减少．或者说，只要边际成本低于平均成本，也可降低单位成本．由上面知当产量100x =时，这时候有 (100)40C '= (100) 50100 C = 即边际成本低于平均成本，此时提高产量，有利降低单位成本． 1.1.2 边际收入边际收入是指在某一水平增加或减少销售一个单位商品的收入增加或减少的量．实际上就是收入函数的瞬时变化率．而从数学的角度来看，它是一个导数问题．设收入函数为()R R x =，则边际收入函数就是

(完整版)定积分在经济中的应用

定积分在经济中的应用一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分： ()()()b a R b R a R x dx '-=? （1） ()()()b a C b C a C x dx '-=? （2） ()()()b a L b L a L x dx '-=? （3）例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润 ()I x 的改变量（增量）。解首先求边际利润 ()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+ 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： 300 250 (300)(250)()R R R x dx '-=?300250(0.0825)x dx =-+?=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==? ?=250万元 300 300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+??=-100万元二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()f t ，则称 2 121 ()t t f t dt t t -? 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：

积分学在经济中的应用

积分学在经济中的应用 §1 已知边际函数求总函数已知总成本函数)(Q C C =，总收益函数)(Q R R =（通称总函数），由微分法可得边际成本函数和边际收益函数分别为 dQ dR MR dQ dC MC ==，。由于积分法是微分法的逆运算，所以，利用积分法当已知边际成本函数MC 和边际收益函数MR ，可求得总成本函数和总收益函数分别为 ?=dQ MC Q C )()(，（1-1） ?=dQ MR Q R )()(，（1-2）由于求不定积分时含有一个任意常数，因此，为了得到所求的总函数，在利用公式（1-1）或公式（1-2）时，必须知道确定积分常数的条件。一般在求总成本函数时，题设中给出固定成本)0(0C C =作为条件，在求总收益函数时，确定任意常数的条件是0)0(=R ，即尚未销售出产品时，总收益为零。由于变上限函数的定积分是被积函数的一个原函数，因此，已知边际成本函数MC 和边际收益函数MR ，也可用变上限函数的定积分求总函数。 00)()(C dQ MC Q C Q +=?，（1-3） ?=Q dQ MR Q R 0)()(，（1-4）例1 已知边际成本函数131511832+-=Q Q MC ，固定成本为20000=C ，求总成本函数。解用不定积分法，利用公式（1-1）得总成本函数为 C Q Q Q dQ Q Q Q C ++-=+-=?131559)13151183()(232，利用固定成本20000=C 条件，确定积分常数为2000=C ，所以， 2000131559)(23++-=Q Q Q Q C 。用定积分法，利用公式（1-3）得总成本函数为 2000 1315592000)13151183()(2 302++-=++-=?Q Q Q dQ Q Q Q C Q 。例2 某产品的总成本)(Q C C =（单位：万元）的边际成本为1=MC （万元/百台），

定积分的应用

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浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。关键词定积分定积分的应用求旋转体体积变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?

定积分在生活中的应用

PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院题目 : 定积分在生活中的应用年级专业: 11级市场营销班学生姓名 : 孙天鹏

定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述 1、定积分的定义：设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =）， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。

微积分在现实中的应用

微积分的应用微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛

的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的

微积分及经济学应用

第3章微积分及其经济学应用 3、1 一元函数与多元函数在数学上,函数的定义为:如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ,对任意给定的x 值,仅存在一个y 值与其对应,则称y 就是x 的函数,表示为)(x f y =。其中x 为自变量,y 为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量,因此该函数称为一元函数。x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域,y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。在对经济问题的分析过程中,我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如,在商品的供求关系中,定义某种商品价格为P ,需求量为D Q ,供给量为S Q 。那么,需求与价格的函数关系可以表示为:)(P f Q D =,)(P g Q S =。然而我们所处的经济环境就是非常复杂的,每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此,采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数就是在一个函数关系中函数值就是由多个变量确定的,用 ),,,(21n x x x f y K =的形式来表示,它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21K 的大小。例如在消费理论的基本假设中,每个消费者都同时对多种商品有需求,“效用”取决于所消费的各种商品的数量,效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U K =,其中U 表示消费者的效用,n x x x ,,,21K 就是对n 种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样,生产函数常表示为),(K L f y =,y 为产出水平,K 表示资本,L 表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。 Q=A*L^ alpha *K^ belta A=1;alpha=0、5;belta=0、5;

浅谈定积分的应用

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微积分在经济学中的应用分析李博西南大学数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本文从经济学与数学的紧密联系出发,分析了数学,尤其是微积分在经济学研究中的地位和作用。关键词:微积分;经济学;边际分析 Calculus’s Applied Analysis in Economics Li bo School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: Based on the close relationship between economics and maths,this paper analyzes the role and function of maths especially calculus in economics. Key words: calculus; Economics; marginal analysis 1.数学与经济学的紧密联系经济学与数学之间有天然的联系, 经济学从诞生之日起便与数学结下了不解之缘。经济学应用数学有客观基础。经济学研究的对象是人与人之间的“物的交换”，是有量化规则的。经济学基本范畴如需求、供给、价格等是量化的概念。经济学所揭示的规律性往往需要数量的说明。特别是经济学的出发点是“理性经纪人”。由于经纪人在行为上是理性的,经纪人能够根据自己的市场处境判断自身利益,且在若干不同的选择场合时,总是倾向于选择能给自己带来最大利益的那一种。所以,数学中所有关于求极值和最优化的理论,都适用于分析各种各样的最优经济效果问题,而很多求极值的数学理论和概念,也只能在最优经济效果中找到原型。数学方法本身所提供的可能性。多变量微积分的理论特别适用于研究以复杂

微积分在经济中的应用分析

一、经济分析中常用的函数（一）需求函数和供给函数】【2 1.需求函数。需求函数是描述商品的需求量与影响因素，其影响因素很多，例如收入、价格、消费者的喜好等。我们这里先不考虑其他因素，假设商品的需求量只受市场价格的影响，记Q=Q （p ）（Q 表示某种商品的需求量，P 表示此种商品的价格）一般来说，需求函数为价格p 的单调减少函数．例如，某鸡蛋的价格从10元/千克降到8元/千克时，相应的需求量就从1500千克增到2000千克，显然需求是和价格相关的一个变量。一般来说，需求函数为价格p 的单调减少函数（如图一）。需求曲线是从左上方向右下方倾斜的具有负斜率的曲线；曲线表明了需求量与价格之间呈反方向变动的关系。当价格下降时，需求量上升；当价格上升时，需求量下降。 2.供给函数。一种商品的市场供给量与商品的价格存在一一对应的关系，记S=S （p ），例如，当鸡蛋收购价为4.5元/千克时，某收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每4.6元/千克时，收购量为5400kg 。一般来说，供给函数为价格的单调增加函数。（如图二）

供给函数特征：横轴S为供给量，纵轴P为自变量价格；供给曲线是从左下方向右上方倾斜的具有正斜率的曲线。当价格上升时，供给增加；当价格下降时，供给减少。（二）、市场均衡在市场中，当一种商品满足Q=S即需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，当Q=S时的价格称为均衡价格，当市场价格高于均衡价格时，供给量就会增加而需求量就会减少，这是出现“供过于求”的现象；当市场价格低于均衡价格时，需求量就会增加而供给量减少，这是出现“供不应求”的现象。（三）、价格函数、收入函数、利润函数 1.价格函数。一般来说，价格是销售量的函数。在我们的生活中是随处可见的，就像我们去买东西，买的越多就可以把价格讲得越低。例如，平和一家茶叶批发公司，批发50千克茶叶给零售商，批发价是50元每千克，若每次多批发20千克茶叶，那么相应的批发价格就可以降低4元，很明显价格和销售量是相关的一个变量。在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格。在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P（Q）。要注意的是需求函数 Q=f（P）与价格函数 P=P（Q）是互为反函数的关系。 2.收入函数。在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为R。销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为R=R（Q）=PQ。其中 Q 表示销售量，P表示价格。 3.利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L。则L=L（Q）=R （Q）-C（Q）。其中Q 表示产品的的数量，R（Q）表示收入，C（Q）表示成本。总收入减去变动成本称为毛利，再减去固定成本称为纯利润。三、导数的经济学意义及其在经济分析中的应用（一）、边际分析经济学中的“边际”这一术语是指“新增”的或“额外”的意思。例如，当【3。消费者多吃一单位的冰淇淋时，会获得“新增”的效用或满足，即边际效用】【4：设函数y=f(x)可导，则导函数f'（x）在经济学中称为边际函数。定义】在经济学中，我们经常用到边际函数，例如边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导数在经济学中的应用。成本函数C（P）表示生产P个单位某种产品时的总成本。平均成本函数c（P）表示生产P个单位某种产品时平均每个单位的成本，即c（P）=c（P）/P。边际成本函数是成本函数C（P）相对于P的变化率，即C（x）的导函数）（p C 。边际成本的变动规律：最初在产量开始增加时由于各种生产要素的效率为得到充分发挥，所以，产量很小；随着生产的进行，生产要素利用率增大，产

定积分在经济学中的应用论文

定积分在经济学中的应用国会2班李怡雯 1420110513 内容摘要：一直以来，定积分都是大学数学中的重要内容，它是解决实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，所以本文对定积分的概念以及它在经济学上的应用做了重点研究，并利用一些例题对定积分在经济学上的应用进行了举例分析。关键词：定积分微分经济学边际函数投资 1.定积分在边际函数中的应用积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数. 设总量函数P (x )在区间I 上可导，其边际函数为P ′(x )，[a , x ]∈ I ，则总有函数 ()()()x a P x P u du P a '=+? 当 x 从a 变到b 时，P (x )的改变量为 ()()()x a P P x P a P u du '?=-=? 将 x 改为产量Q ，且a=0 时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q)，可得 ()()(0)Q C Q C x dx C '=+? 其中即为(0)C 固定成本，0()Q C x dx '?为可变成本． 0()()Q R Q R x dx '=? （因为(0)0R =） 0()()(0)Q L Q L x dx C '=-? 例 1。已知某公司独家生产某产品，销售Q 单位商品时，边际收入函数为 2()() ab R Q c Q b '=-+（元/单位）（a>0,b>0,c>0）求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数. 解：(1)总收入函数为

0()()Q R Q R x dx '=?=()20[]Q ab c dx x b -+?=0Q ab x b ??- ?-??=ab a cQ Q b --+ (2)设产品的价格为P ，则ab R PQ a cQ Q b ==--+，得需求函数为 ()a ab a P c c Q Q Q b Q b =--=-++ 2 .利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。解所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(105210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 .利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为10000=c 元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。解总成本函数为)0()2100()(0c dt t x c x ++=? =10001002++x x 总收益函数为R( x ) = 500x 总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = 10004002--x x L '= 400- 2x 令L '= 0, 得x= 200 因为L '' ( 200) < 0 所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。最大利润为L( 200)=400 ?200-2200-1000=39000( 元) 。

应用数学论文---定积分在生活中的应用

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 定积分概述 (2) 1.1定积分的定义 (2) 1.2定积分的性质 (2) 1.3定理及方法 (3) 2定积分的应用 (4) 2.1 定积分在平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 (4) 2.2定积分在物理中的应用 (8) 3总结 (11) 致谢 (11) 参考文献 (11)

定积分在生活中的应用数学与应用数学专业学生郑剑锋指导教师徐玉梅论文摘要：本文简要的讨论了定积分在生活中的基本应用。数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积和物理应用。关键词：微元法定积分数列极限 The Definite Integral in Our Life of Application Student majoring in mathematics and applied mathematics Jianfeng Zheng Tutor Yumei Xu Abstract：This paper discussed the definite integral in our life of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph and physical applications. Key words: Micro element method definite integral sequence limit 引言本文主要介绍了定积分在生活中的应用，定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用，微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

微积分在经济中应用

·406 · 第十二章微积分在经济中的应用 §1.1 微积分在经济中的应用内容网络图 §1.2内容提要与例题一、极限在经济中的应用 1.复利. 例1 X 银行提供每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，Y 银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢？解两种情况中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%，这相当于当前余额乘以1.08.如果存入100元，则余额A 为一年后：A=100（1.08），两年后：A=100（1.08）2，…，t 年后：A=100（1.08）t . 而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前余额的8%/4=2%。因此，如果同样存入100元，则在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有100（1.02）4 元，所以余额B 为一年后：B =100（1.02）4，二年后：B =（1.02）4×2，…，t 年后：B =（1.02）4t 。注意这里的8%不是每三个月的利率，年利率被分为四个2%的支付额，在上面两种复利方式下，微积分在经济中的应用数列在经济中的应用复利年有效收益极限在经济中的应用连续复利导数在经济中的应用成本函数平均最小成本需求函数供给函数均衡价格收益函数利润函数边际函数弹性函数最大利润供给弹性需求弹性积分在经济中的应用收入流的现值收入流的将来值消费者剩余生产者剩余偏导数在经济中应用求最大利润常微分方程与差分方程在经济中的应用把经济中的某些问题转化为常微方程来求解

·407· 计算一年后的总余额显示一年一次复利：A=100（1.08）=108.00，一年四次复利：B=100（1.02）4=108.24.因此，随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱.所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多（尽管差别不是很大）. 2.年有效收益由上面的例子，我们可以测算出复利的效果，由于在一年支付四次，复利为年利率的8%的条件下投100元，一年之后可增加到108.24元，我们就说在这种情况下年有效收益为8.24%. 我们现在有两种率来描述同一种投资行为：一年支付四次的8%复利和8.24%的年有效收益，银行称8%为年百分率（或年利率）或APR （aannual percentage rate ），我们也称为票面利率（票面的意思是“仅在名义上”）.然而，正是年有效收益确切地告诉你一笔投资所得的利息究意有多少.因此，为比较两种银行帐户，只须比较年收益. 例2 银行X 提供每月支付一次，年利率为7%的复利，而银行Y 银供每天支付一次，年利率为6.9%的复利，哪种收益好？若分别用100元投资于二个银行，写出t 年后每个银行中所存余额的表达式. 解由题意知，设在银行X 的一年后的余额为A 1，t 年后的余额为A t ；设在银行Y 的一年后的余额为B 1，t 年后的余额为B t .由题意知 ),3072.1(100)286072.1(100)833005.1(100)12 07.01(1001212 1≈==+ =A ),4071.1(100)413071.1(100)189000.1(100)365 069.01(100365365 1≈==+=B 所以银行X 帐户年有效收益%23.7≈，银行Y 帐户年有效收益%14.7≈.因此，银行X 提供的投资行为效益好.t 年后每个银行中所存余额则为 .)4071.1(100)413071.1(100,)3072.1(100)286072.1(100t t t t t t B A ≈=≈= 由此，我们可以得出：如果年利率为r （票面利率）的利息一年支付n 次，那么当初始存款为P 元时，t 年后余额A t 则为).()1(是票面利率r n r P A nt t + = 3. 连续复利在上式中，令n ∞→,得,rt t Pe A =如果初始存款为P 元的利息水平是年率利为r 的连续复利，则t 年后，余额B 可用以下公式计算：.rt Pe B =在解有关复利的问题时，重要的是弄清利率是票面利率还是年有效收益，以及复利是否为连续的. 在现实世界中，有许多事情的变化都类似连续复利.例如，放射物质的衰变；细胞的繁殖；物体被周围介质冷却或加热；大气随地面上的高度的变化；电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过程等等. 例3 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定t=0）就售出，总收入为0R （元），如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为.5 2 0t e R R = 假定银行的年利率为r ，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求06.0=r 时的t 值. 解根据连续复利公式，这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为rt t A -=Re )(，而