考研数学二真题答案解析

1..【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或

取

对

数

后

转

化

为

隐

函

数

求

导

.

【详解】方法一：x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +，于是

]

sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x x

x x e y x x +?

++?='+，

从而

π

=x dy

=.)(dx dx y ππ-='

方法二：两边取对数，)sin 1ln(ln x x y +=，对x 求导，得

x x x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++='，

于是

]

sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x x

x x x y x +?

++?+='，故

π

=x dy

=.)(dx dx y ππ-='

【评注】幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数，而直接运用相应的求导公式.

2..【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

【详解】因为a=

,1)

1(lim )(lim

2

3=+=+∞→+∞

→x x x x x f x x []23)1(lim

)(lim 2

32

3=

-+=-=+∞

→+∞

→x

x

x ax x f b x x ，

于是所求斜渐近线方程为

.

23

+=x y 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这

里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当∞→x 时，极限

x x f a x )

(lim

∞

→=不存在，则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形，即在右或左

侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x>0，所以只考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】作三角代换求积分即可. 【详解】令t x sin =，则

=

.4

)arctan(cos cos 1cos 2020

2π

ππ

=

-=+-?t t

t d

【评注】本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 4...

【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式： ?+??=-]

)([)()(C dx e x Q e y dx

x P dx x P ，

再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】原方程等价为

x y x y ln 2

=+

'，

于是通解为

??+?=

+???=-

]ln [1

]ln [222

2

C xdx x x C dx e

x e

y dx

x dx

x

=2

1

91ln 31x C x x x +-， 由

91)1(-

=y 得C=0，故所求解为.

91

ln 31x x x y -=

【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外，本题也

可如下求解：原方程可化为

x x xy y x ln 222=+'，即x x y x ln ][22='，两边积分得

C

x x x xdx x y x +-==?332291

ln 31ln ，

再代入初始条件即可得所求解为

.91

ln 31x x x y -=

5…【分析】题设相当于已知1

)

()(lim

0=→x x x αβ，由此确定k 即可.

【详解】由题设，2

00cos arcsin 1lim

)()(lim

kx x

x x x x x x -+=→→αβ

=

)cos arcsin 1(cos 1arcsin lim

20

x x x kx x x x x ++-+→

=k 21143cos 1arcsin lim 20==-+→k x x x x x ，得

.43=k 【评注】无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算.

6…【分析】将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.

【详解】由题设，有

=

??

???

?????941321111),,(321ααα， 于是有.

2219

413211

11=?=?=A B 【评注】本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若

n n a a a αααβ12121111+++=Λ， n n a a a αααβ22221212+++=Λ， n mn m m m a a a αααβ+++=Λ2211，

则有[][].,,,2122212121112121?????????

???=mn n n m m n m a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛΛΛαααβββ

7….【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】当1

1

1lim )(3=+=∞

→n n

n x

x f ；

当

1

=x 时，

1

11lim )(=+=∞

→n n x f ；

当

1

>x 时，

.

)11(

lim )(3

133

x x

x x f n

n

n =+=∞

→

即.1,

11,1,,1,)(33>≤≤--

?

??-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C). 【评注】本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.

8….

【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】方法一：任一原函数可表示为

?+=x

C

dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='

当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即

)()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函

数，则?x

dt

t f 0

)(为偶函数，从而

?+=x

C

dt t f x F 0

)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.

方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=221x ,排除

(D);故应选(A).

【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？

9..【分析】先由x=3确定t 的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.

【详解】当x=3时，有322

=+t t ，得3,1-==t t （舍去，此时y 无意义），于是

81

2

2111

1=

++===t t t t dx

dy ，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：

)3(82ln --=-x y ，

令y=0,得其与x 轴交点的横坐标为：3

2ln 81

+,故应(A).

【评注】注意本题法线的斜率应为-8.此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错.

10…【分析】由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的.本题可考虑用轮换对称性.

【详解】由轮换对称性，有

=σd x f y f x f b y f a y f x f y f b x f a D ??+++++])()()()()()()()([21

=.2

241222

ππσb a b a d b a D +=??+=+??应选(D).

【评注】被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析.特别，当具有轮换对称

性（x,y 互换，D 保持不变）时，往往用如下方法：

11…【分析】先分别求出22x u ??、22

y u ??、y x u ???2，再比较答案即可.

【详解】因为)

()()()(y x y x y x y x x u

--++-'++'=??ψψ??， )()()()(y x y x y x y x y u

-+++-'-+'=??ψψ??， 于是)()()()(2

2y x y x y x y x x u

-'-+'+-''++''=??ψψ??， )()()()(2y x y x y x y x y x u

-'++'+-''-+''=???ψψ??，

)()()()(2

2y x y x y x y x y u

-'-+'+-''++''=??ψψ??， 可见有222

2y u

x

u ??=??，应选(B). 【评注】本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为

做题技巧，也可取1)(,)(2==t t t ψ?，则

y y x y x u 222),(2

2++=，容易验算只有2222y u

x u ??=??成立，同样可找到正确选项(B).

12….

【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且∞

=→)(lim 0

x f x ，所以x=0为第二类间断点；

0)(lim 1=+

→x f x ，

1

)(lim 1-=-

→x f x ，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).

【评注】应特别注意：+∞=-+→1lim 1x x x ，.1lim 1-∞=--→x x x 从而+∞=-→+11lim x x

x e ，

.

0lim 1

1=-→-

x x

x e

13….【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】方法一：令0)(21211=++αααA k k ，则

022211211=++αλαλαk k k ，0)(2221121=++αλαλk k k .

由于21,αα线性无关，于是有

当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，

)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故

应选(B).

方法二：由于

???

?

??=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ， 可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是

.

00122

1

≠=λλλ故应选(B).

【评注】本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念.

14…【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.

【详解】由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），

使得B A E =12，于是

12

*1

1212*12***12

*)(E A E E A E A A E B -=?===-，即

*12*B E A -=,可见应选(C).

【评注】注意伴随矩阵的运算性质：

E

A A A AA ==**，当A 可逆时，

,

1*-=A A A

***)(A B AB =.

15…【分析】此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形.

【详解】由于?

??=-=

-=-0

)())(()(x

x

x

u t x du

u f du u f dt t x f ,于是

=

?

?+-+→x

x

x x xf du u f x xf x xf dt t f 0

)

()()

()()(lim

=

?

?+→x x

x x xf du u f dt

t f 0

)

()()(lim

=

)()()(lim

x f x du

u f x

dt

t f x

x

x +?

?

→=.

21

)0()0()0(=+f f f

【评注】本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则

?

?

+→x

x

x x xf du u f dt

t f 0

)()()(lim

=.21

)()()()(lim 0='++→x f x x f x f x f x

错误的原因：f(x)未必可导.

16….【分析】利用定积分的几何意义可确定面积)(),(21y S x S ，再根据)()(21y S x S =建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系. 【详解】如图，有

?--=+-=x x t t x e dt e e x S 01)

1(21

)]1(21[)(，

?-=y

dt

t t y S 1

2))((ln )(?，

由题设，得?-=--y x

dt

t t x e 1))((ln )1(21?， 而x e y =，于是?-=--y dt t t y y 1))((ln )1ln (21

?

两边对y 求导得)

(ln )1

1(21y y y ?-=-，

故所求的函数关系为：

.21

ln )(y y y y x --

==?

【评注】本题应注意点M(x,y)在曲线2C 上，因此满足x

e y =.

17……【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函

数值及一阶、二阶导数值.

【详解】由题设图形知，f(0)=0,2)0(='f ;f(3)=2,.0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知 =

dx

x f x f x x f d x ??

'+'+-='+-3

3

30

)(2)

()12()()12(

=.20)]0()3([216=-+f f

【评注】本题f(x)在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖，综合考查了导数的几何意义和定积分的计算.另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函数的导数时，一般优先考虑用分部积分.

18…….【分析】先将y y ''',转化为

2

2,dt y d dt dy ，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可. 【详解】

dt dy t dx dt dt dy y sin 1-=?=

'，

)

sin 1(]sin 1sin cos [222t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y -?-=?'=''， 代入原方程，得02

2=+y dt y

d .

解此微分方程，得2

21211sin cos x C x C t C t C y -+=+=，

将初始条件

2

,10

='

===x x y y

代入，有1,221==C C .故满足条件的特解为

.122x x y -+=

【评注】本题的关键是将y y ''',转化为

2

2,dt y

d dt dy ，而这主要是考查复合函数求一、二阶导数.

19….【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.

【详解】（I ）令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在),1,0(∈ξ使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .

（II ）在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点

)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得

0)0()()(--=

'ξξηf f f ，ξξζ--=

'1)

()1()(f f f

于是

.1111)(1)()()(=-?-=--?=

''ξξ

ξξξξξξζηf f f f

【评注】中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理

或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式. 20……【分析】根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式.而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值,可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值.

.【详解】由题设，知x x f 2=??，y y f 2-=??，

于是)(),(2y C x y x f +=，且y y C 2)(-='，从而C y y C +-=2)(， 再由f(1,1)=2，得C=2,故

.2),(22+-=y x y x f

令0,0=??=??y f x f 得可能极值点为x=0,y=0.且

2

)

0,0(2

2=??=x f A ，

0)0,0(2=???=

y

x f

B ，

2

)

0,0(22-=??=y f

C ，

042>=-=?AC B ，所以点(0,0)不是极值点，从而也非最值点. 再考虑其在边界曲线1

42

2

=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为

)

14(),(),,(2

2

-++=y x y x f y x F λλ，

解???

??

?

???=-+='=+-=+??=

'=+=+??=',014,02122,0)1(2222

y x F y y y y f F x x x f

F y x

λλλλλ

得可能极值点4,2,0===λy x ；4,2,0=-==λy x ；1,0,1-===λy x ；

.1,0,1-==-=λy x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域

}

14

),{(2

2

≤+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2.

【评注】本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及到多个重要基础概念，特别是通过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识. 21…..【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可. 【详解】记

}

),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，

}

),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，

于是

σd y x D

??

-+122=??-+-1)1(22D dxdy y x ??-++2

)1(2

2D dxdy

y x

=

??--20

21

)1(π

θrdr

r d ??-++D

dxdy y x )1(22??-+-1

)1(22D dxdy

y x

=8π+????---+201

02210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π

【评注】形如积分

σ

d y x f D

??

),(、

??D

d y x g y x f σ

)},(),,(max{、

??D

d y x g y x f σ)},(),,(min{、

??D

d y x f σ)],([、

??-D

d y x g y x f σ

)},(),(sgn{等的被积函数

均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分. 22……【分析】向量组

321,,ααα可由向量组321,,βββ线性表示，相当与方程组：

3,2,1,332211=++=i x x x i βββα. 均有解，问题转化为

),,(321βββr =

3,2,1),,,(321=i r i αβββM 是否均成立？这通过初等

变换化解体形讨论即可.而向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，相当于

至少有一个向量

)

3,2,1(=j j β不能由

321,,ααα表示，即至少有一方程组

3,2,1,332211=++=j x x x j αααβ，无解.

【详解】对矩阵

)

,,,,(321321αααβββM =A 作初等行变换，有

),,,,(321321αααβββM =A =?????

?????--11411111221a a a a a a a M M M →??

????

????----++--a a a a a a a 1)1(304000102201122

1M M M ， 当a=-2时，→A ?????

????

?-----330600030000211221M M M ,显然2α不能由321,,βββ线性表示，因此2-≠a ；当a=4时，

→A ??

????

????----39000003066041

1221M M M ，然32,αα均不能由321,,βββ线性表示，因此4≠a .

而当2-≠a 且4≠a 时，秩

3

),,(321=βββr ，此时向量组

321,,ααα可由向量组

321,,βββ线性表示.

又

??

???

?????--==a a a a a a a B 41111122111),,,,(321321M M M M βββααα ??

??

??????++--++----→2436020022011022111

2

a a a a a a a a a M M M ，

由题设向量组

321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，必有01=-a 或

022=--a a ，即a=1或2-=a .

综上所述，满足题设条件的a 只能是：a=1. 【评注】1)向量组

321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示，必有行列式：

],,[321=ααα，由此也可确定a.

2)向量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题. 23…….【分析】AB=O,相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩. 【详解】由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r

（1）若k 9≠,则r(B)=2,于是r(A)1≤,显然r(A)1≥,故r(A)=1.可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2,矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基

础解系，故Ax=0的通解为：2

121,,63321k k k k k x ???

?? ??+????? ??=为任意常数. (2)若k=9，则r(B)=1,从而.2)(1≤≤A r

1）若r(A)=2,则Ax=0的通解为：

1

1,321k k x ?

????

??=为任意常数.

2）若r(A)=1,则Ax=0的同解方程组为：

321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通

解为2

121,,1001k k a c k a b k x ????

??? ??-+??????? ??-=为任意常数.

【评注】AB=O 这类已知条件是反复出现的，应该明确其引申含义：1）B 的每一列均为Ax=0的解；2）.)()(n B r A r ≤+

本题涉及到对参数k 及矩阵A 的秩的讨论，这是考查综合思维能力的一种重要表现形

式，今后类似问题将会越来越多.