数字信号处理技术

数字信号处理总结

一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析

1、离散时间信号

1）离散时间信号：时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。 2）数字信号：时间和幅值都离散化的信号。 3）离散时间信号可用序列来描述 4）序列的卷积和（线性卷积）

∑∞

-∞

==-=

m n h n x m n h m x n y )

(*)()()()(

5）几种常用序列

a)单位抽（采、取）样序列（也称单位冲激序列），

?≠==0

,00

,1)(n n n δ

b)单位阶跃序列,

?<≥=0,00,1)(n n n u

c)矩形序列，

?=-≤≤=其它n N n n R N ,

0,1)( d)实指数序列,

)()(n u a n x n =

6）序列的周期性

所有n 存在一个最小的正整数N ,满足：)()(N n x n x +=,则称序列)(n x 是周期序列，周期为N 。正弦序列)

sin()(0?ω+=n A n x 的周期性取决于

ω，()n x 是

周期序列。

7）时域抽样定理：

一个限带模拟信号

()

a x t ，若其频谱的最高频率为

F ，对它进行等间隔抽样

而得()x n ，抽样周期为T ，或抽样频率为

1/s F T

=；

只有在抽样频率

2s F F ≥时，才可由()x n 准确恢复

()

a x t 。

2、离散时间信号的频域表示（时域离散信号的傅里叶变换；序列的傅立叶变换）

∑∞

-∞

=-=

=n n

j j e

)n (x )e

(X )j (X ωω

ω，((2))()X j X j ωπω+=

ωπ

d e j X n x n j ?-

)(21

)(

3、离散时间信号的复频域分析（时域离散信号的Z 变换，序列的Z 变换）

∑∞

-∞

=-=

=n n

n x n x z X )()]([)(Z ；

1）Z 变换与傅立叶变换的关系，

ωj e z z X j X ==)()(

2）Z 变换的收敛域

收敛区域要依据序列的性质而定。

同时，只有Z 变换的收敛区域确定之后，才能由Z 变换唯一地确定序列。

一般来来说，序列的Z 变换的收敛域在Z 平面上的一环状区域：+

3）有限长序列：??

?<<=其它02

1N n N n x n x )()(，

右序列：

1()()0x n N n x n ≤<∞

?=?

?其它，∞≤≤||Rx-z 左序列：2

()()0x n n N x n -∞<≤?=?

?其它，

（|z|0时：0<|Z|< Rx+；N2≤0时：0≤|Z|< Rx+）双边序列：(),x n n -∞<<∞，

总结：因果序列的收敛域包括无穷大点。

常用序列的Z 变换：

[()]1,||0

[()],||111

[()],||||11

[(1)],||||1n n Z n z Z u n z z

Z a u n z a az

Z b u n z b bz δ---=≥=>-=>---=<-

Z 变换之逆变换

11()()2n c

x n X z z dz

π-=

，C ：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线

1）留数定理：

1()[()C ]

n x n X z z -=∑在内极点留数之和，

即1()Re [(),],()(),n k k k x n s F z z F z X z z z -==∑其中为极点。

对于单极点zi ：

()11Re [()][()]i i

n n z z i z z s X z z z z X z z --===-

2）留数辅助定理（C 内有高阶极点时）：

1()[()C ]

n x n X z z -=-∑在外极点留数之和

适用条件：F(z)在C 外M 个极点zm ，且分母多项式z 的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上！！ 3）利用部分分式展开：

1()1k

k A X z a z -=-∑

，然后利用定义及常用序列的Z

变换求解。

4、离散时间系统： [()]()T x n y n =

系统函数：

()()()Y j H j X j ωωω=

，()

()()Y z H z X z =

冲激响应：()[()]h n T n δ=

5、线性系统：满足叠加原理的系统。[()()][()][()]T ax n by n aT x n bT y n +=+

6、移不变系统：若[()]()T x n Y n =，则[()]()T x n k Y n k -=-

7、线性移不变系统

设系统的输入序列为x(n)，它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即:

()()()

m x n x m n m δ+∞

=-∞

-∑

那么，系统对应的输出为：

()()()()[]m y n T x n T x m n m δ+∞=-∞??

==-??

??∑ 如果该系统是一线性移不变系统，根据其线性则有：

()()()()()m m y n T x m n m x m T n m δδ+∞+∞

=-∞

-=-????????

∑∑

又根据移不变性和h(n)定义，则有：

冲激响应：()[()]h n m T n m δ-=- 所以此时系统输出为：

()()*()y n x n h n =，()()()Y j X j H j ωωω=，()()()Y z X z H z =

8、系统的频率特性可由其零点及极点确定

∏∏∏∏∑∑=-=-=-=-=-=---=--==

1k N

1i M i

k 1k

1i 1

k k

0i i

z )z

z (z )z z (A

)

z z

1()z

z 1(A

z a

b )z (X

（式中，zk 是极点，zi 是零点；在极点处，序列x(n)的Z 变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）

9、稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，

即：若|()|x n <∞，则|()|y n <∞

线性移不变系统是稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞

=-∞

<∞

∑

或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1 10、

因果系统：

n 时刻的输出

0()

y n 只由

n 时刻之前的输入

(),x n n n ≤决定。

线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =< 或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx

11、稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统——P62

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：

|()|n h n ∞

=-∞<∞

∑，

()0,0h n n =< 或：H(z)的极点在单位园内，且H(z)的收敛域满足：||,1

x x z R R --><

12、差分方程

线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足

松弛条件）

()()

i n x b k n y a M

i i

N k k

-=-∑∑==0

13、差分方程的解法 1）直接法：递推法 2）经典法

3）由Z 变换求解

二、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换

1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS ）

)]

([)(n x DFS k X p p =21

()N j

kn N

p n x n e

π--==∑1

()N kn

p N n x n W -==∑

()[()]p p x n IDFS X k =()21

1N j kn N P K O

X k e

π??- ???

∑

()1

1N kn

P N K O

X k W N

--==∑

其中：

N W =N

j e /2π-

2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)

)]([)(n x DFT k X ={[()]}()

N N DFS x n R k =<>1

()N kn

N n x n W -==∑，0≤k ≤1-N

()[()]

x n IDFT X k ={[()]}()N N IDFS X k R n =<>10

1()N kn N

k X k W

--==

∑，0≤n ≤1-N

应当注意，虽然)n (x 和()X k 都是长度为N 的有限长序列，但他们分别是由周期序列

)

(n x p 和

)

(k X p 截取其主周期（主值区间）得到的，本质上是做DFS 或IDFS ，

所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。

3、离散傅立叶变换与Z 变换的关系

22()()|

()|

k N

k z e

X k X j X z ππωω=

===

4、频域抽样定理

对有限长序列x(n)的Z 变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N ，或抽样间隔为2/N π，当N ≥M 时，才可由X(k)不失真恢复()X j ω。

内插公式：

101()()1N

N k k N z X k X z N W z ----=-=

-∑

5、周期卷积、循环卷积周期（线性）卷积：

3120

()()()

N p p p m x n x m x n m -==-∑

循环卷积：

31()()

x n x n =2()x n 13120()()()()()N p N p p N m x n R n x m x n m R n -=??

==-????∑

6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积

对周期要求：121N N N ≥+-（N1、N2分别为两个序列的长度）

7、时域抽取基2 FFT 算法（DIT-FFT ）

1）数据要求：2M

N =

0/21

/21

2(21)

0/21/211

()()()()(2)(21)()()N kn

N N N

n n n N N kr k r N

r r N N kr k kr N N

N r r X k x n W x n W x n W x r W

x r W

-===--+==--====

+∑∑

∑

∑∑∑∑偶数

奇数

1、N=8，FFT 运算流图

2、DIT ―FFT 的运算规律

序列长N=2M 点的FFT ，有M 级蝶形，每级有N/2个蝶形运算。

每个蝶形都要乘以旋转因子WpN ，p 称为旋转因子的指数。

22M L

L L M P J J J N N N W W W W --??===，

12,0,1,2,

,21M L

L P J J --=?=-

第L 级共有B=2L-1个不同的旋转因子；同一蝶形运算两输入数据的距离B=2L-1。

同一级中，每个蝶形的两个输入数据只对本蝶形有用，每个蝶形的输入、输出数据节点在同一条水平线上。经过M 级运算后，原来存放输入序列数据的N 个存储单元中可依次存放X(k)的N 个值。

原位计算：利用同一存储单元存储蝶形计算的输入输出数据。

3）DIT-FFT 计算效率（复数运算）：

乘法运算次数：21

log ()2N N ，加法计算次数： 2log ()N N

（对比DFT 运算：乘法运算次数：2

N ，加法计算次数：(1)N N -）（复数运算）

8、利用DFT 对模拟信号进行谱分析

首先必须对信号进行采样，使之变成离散信号，然后，就可按照前面的方法，用 FFT 来对连续信号进行频谱分析。按采样定理，采样频率应大于2倍信号的最高频率，为了满足采样定理，一般在采样之前要设置一个抗混迭低通滤波器。由此可得到用FFT 对模拟信号进行频谱分析的方框图如下

截断的信号时间长度为Tp=NT ，F 表示对模拟信号频谱的采样间隔，所以称之为频率分辨率

p F F F NF T NT N

===即：，

信号分析过程中为了避免混叠，要求

，

s 2f F >

为提高频率分辨率可以增加采样点数N ，或者增加对信号的观察时间Tp

——例3.4.2及习题18

注意：：用 FFT 进行频谱存在的问题 1）频谱泄漏，2）为栅栏效应。各种形式的傅里叶变换：

非周期实连续时间信号的傅里叶变换：频谱是一个非周期的连续函数；周期性连续时间信号的傅里叶变换：频谱是非周期性的离散频率函数；非周期离散信号的傅里叶变换：频率函数是周期的连续函数；离散周期序列的傅里叶变换：具有既是周期又是离散的频谱。

三、数字滤波器的设计

（一）FIR 滤波器的设计

ωωπ

d e )e (H 21

)n (h n j j d d ?-

1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的；阶数较高。

2、实现线性相位的条件（1）h(n)为实数

（2） A 类线性相位：h(n)=h(N-1-n)

可以设计一般意义下的FIR 滤波器；N 是偶数时，不能做高通滤波器。

或 B 类线性相位：h(n)=-h(N-1-n) 对称中心：m=(N-1)/2

适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。

3、主要设计方法

用窗函数法设计FIR 滤波器的步骤

（1）给定希望逼近的频率响应函数Hd(ejω)。

()(),()()()

N N n

n m H z h n z y n h m x n m ---====-∑∑，

FIR 滤波器的网络结构：

直接型：(n )

y (n )

z －1z －1z －1

h (0)

h (1)

h (2)

h (N －2)h (N －1)

级联型：将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个实系数的二阶形式；级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其

F f N c 2>

F T 1

p ≥

中每一个因式都用直接型实现。

设FIR 网络系统函数H(z)为：H(z) = 0.96 + 2.0z-1 + 2.8z-2 + 1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。

解：将H(z)因式分解得： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型结构和级联型结构分别如下图的b 图、a 图所示。

( a )( b ) a 图 b 图

（2）求单位脉冲响应hd(n)。

（3）由过渡带宽及阻带最小衰减的要求可选定窗形状，并估计窗口长度N ：

设待求滤波器的过渡带用Δω表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。因过渡带Δω近似与窗口长度成反比， N≈A/Δω，A 决定于窗口形式。

例如，矩形窗A=4π，海明窗A=8π等，A 参数选择参考表。按照过渡带及阻带衰减情况，选择窗函数形式。

原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。（4）最后，计算所设计的FIR 滤波器的单位脉冲响应h(n)： h(n)=hd(n)w(n) 0≤n≤N -1 （5）由h(n)求FIR 滤波器的系统函数H(z)

（二）IIR 滤波器的设计 1、特点

? 阶数少、运算次数及存储单元都较少 ? 适合应用于要求相位特性不严格的场合。

? 有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。 ? 是递归系统，存在稳定性问题。

2、间接设计方法——先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器。

脉冲（冲激）响应不变法——基于butterworth 模拟低通滤波器设计过程： (1) 将数字滤波器设计指标转换为相应的模拟滤波器指标。

；

p p rad /s, dB

ωΩα=

s s rad /s, dB

ωΩα=

(2) 设计相应的模拟滤波器，得到模拟系统函数Ha(s)。根据单调下降要求，选择巴特沃思滤波器。求出波纹幅度参数为

，，

根据通带衰减要求计算3 dB 截止频率Ωc

或根据阻带衰减要求计算3 dB 截止频率Ωc

(3) 查表求归一化Ga(p)。

a 1212101

()N N N N N G p p b p b p b p b ----=

+++

或

(4) 将p=s/Ωc 代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数

c a / c 11

()()k

k p s k

k k A B H s G p s p s s Ω

ΩΩ======--∑

∑

（5）将T 和sT

e z =代入，将模拟滤波器系统函数Ha(s)转换成数字滤波器系统

函数H(z)，即：

脉冲（冲激）响应不变法的特点： ? 有混叠失真

? 只适于限带滤波器

? 不适合高通或带阻数字滤波器的设计

双线性变换法——设计数字低通滤波器系统函数H(z)

这种方法的主要特点是先进行频率变换，求模拟滤波器的频率指标

p p s s 2

tan 22tan 2T T ωΩωΩ??= ?????=

???

按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器，然后用1

112--+-=z z T s

将

sp p

ΩλΩ=sp k =sp sp lg lg λk N =N

1.0p c

)

110

--Ω=ΩαN

211.0s c )

110(s

-Ω=Ωα4

123411()()()()()k k k A G p p p p p p p p p p p ===-----∑

模拟滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器系统函数H(z)。

特点：

(i) 稳定性不变（ii ）无混叠

（iii ）频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理

无限长脉冲响应滤波器的网络结构

1) 直接型：根据系统的差分方程：2

2112

2110z a z a 1z b z b b )z (H ------++=

x (n x (n ) 1)

)

H 1(z )

H 2(z )H 2(z )

H 1(z )

)

（ a ）

（ b ）

（ c ）

记忆方法：天女散花；反馈在前；分子在后。

2) 级联型

若将N 阶IIR 滤波器的系统函数H(z)的分子和分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘积的形式：

或表示为：

)()()()(21z H z H z H z H k =

其中，式中Hi(z)为一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用直接型网络结构；

多项式的系数是实数， Cr 和dr 是实数或者是共轭成对的复数。将共轭

∏∏=-=---=N

r r

z d

C A

z H 1

111

)

1()

1()(

成对的零点(极点)放在一起，形成一个二阶多项式，其系数仍为实数。再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起，形成一个二阶网络Hj(z)：

( a )

( b )

(a)直接型一阶网络结构； (b)直接型二阶网络结构

3) 并联型

如果将系统函数H(z)展成部分分式形式，就可以得到滤波器的并联型结构即： 12()()()()()

i k H z H z H z H z H z =++???++???+

Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，系数均为实数。将x(n)送入每个二阶(一阶)网络后，将所有输出相加得到输出y(n)。