高数 第七章 无穷级数 知识点知识讲解

高数第七章无穷级

数知识点

第七章 无穷级数

一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：

1、形如∑∞

=-11n n aq 的几何级数（等比级数）：当1

≥q 时发散。

2、形如∑∞

=1

1

n p

n

的P 级数：当1>p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、?

≠∞

→0lim n n U 级数发散； 级数收敛

lim =?∞

→n n U

4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数

∑∞

=1

n n

U

，满

足条件

l

U U n

n n =+∞→1

lim

：

①当1

②当1>l 时，级数发散（或+∞=l ）； ③当1=l 时，无法判断。

5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞

=1n n

U

，满

足条件λ

=∞

→n n n U lim ：

①当1<λ时，级数收敛；

②当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）； ③当1=λ时，无法判断。 注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞

=1

n n

U

与

∑∞

=1

n n

V

均为正项级数，且

l

V U n

n

n =∞→lim

（n V 是已知敛散

性的级数)

①若+∞<

=1n n

U

与

∑∞

=1

n n

V

有相同的敛散性；

②若0=l 且级数∑∞

=1

n n

V

收敛，则级数

∑∞

=1

n n

U

收敛；

③若+∞=l 且级数∑∞

=1n n

V

发散，则级数

∑∞

=1

n n

U

发散。

7、定义判断：若

?

=∞

→C S n n lim 收敛，若n

n S ∞→lim 无极限?发散。

8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：

满足1+≥n n U U ，?=∞→0lim n n U 收敛，其和1u S ≤。

9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。 条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。

二、无穷级数的基本性质：

1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。

2、收敛的无穷级数

∑∞

=1

n n

U

，其和为S ，则∑∞

=1

n n

aU

，其和为aS （0≠a ）

（级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变） 3、①级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。

（逆否命题：加括号后发散，则原级数发散） ②加括号后级数收敛，原级数未必收敛。