单指数模型课件讲课教案

现代投资组合理论与投资风险管理

——单指数模型

一、模型概述

单指数模型假设股票之间的相关移动是因为单一的共同影响或指数。随意观察股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。这说明证券收益之间可能相关的原因之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标也许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。 股票收益：

i i i m R a R β=+

i R 代表股票收益。

m R 代表市场指数的收益率——随机变量。

i a 代表股票i 的收益中独立于市场表现的部分——随机变

量。

i β度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。

i a 项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部

分：用i α表示i a 的期望值，i e 表示i a 中的随机变量，()0i E e =。

即：i i i a e α=+

一只股票的收益方程现在可以写为：

i i i m i R R e αβ=++

i e 和m R 都是随机变量，分别以ei σ和m σ表示它们的标准差。

单指数模型的基本方程：

i i i m i R R e αβ=++

其中()0i E e =，对所有股票1,,i N =L 二、模型的假设条件 1. 指数与特有收益不相关：

[()]0i m m E e R R -= 1,,i N =L

2. 证券仅通过对市场的共同反应相互关联：

()0i j E e e = 1,,1,,i N j N i j ==≠L L 及且

三、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算 在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。结果是： （1） 收益均值：i m i i R R αβ=+

（2） 证券收益的方差：2222i i m ei σβσσ=+

（3） 证券i 和j 收益之间的协方差：2

ij i j m ββσσ=

这样在单指数模型成立的情况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算。 任何组合的期望收益是：

1

1

1

N N N

p i i i i i i m i i i R X R X X R αβ=====+∑∑∑

另1

N i i i p X ββ==∑，1

N

p i i i X αα==∑，则：

p p m p R R αβ=+

我们知道一个股票组合的方差的公式是：

2221

11

N

N

N

p

i

i

i j ij i i j i j

X X X σσσ===≠=+∑∑∑

代入前面2i σ和ij σ的结果，我们得到：

2222222

1

11

1

N

N

N

N

p

i

i

m

i j i j m

i ei

i i j i i j

X X X X βσββσσσ====≠=++∑∑∑∑ 进一步还可简化为：

2222

11

1

222

1

22221

11()()N

N

N

p

i j i j m

i ei i j i N

m i ei

i N

p m i ei

i N N

i i j j i j X X X X X X X ββσσσσβσσσββ========+=+=+∑∑∑∑∑∑∑

四、 单因素模型的估计和应用 1、估计i α与i e

首先举例说明i α与i e 的值的得来。表1是投资者在过去5个月可能观察到的某只股票的股票收益及市场收益，暂且假定

1.5i β=，如何求i α与i e 的值。

表1 单指数模型收益分解

月 股票收益 市场收益 i R = i α + i m R β + i e

2、估计贝塔 （1）估计历史贝塔

一只股票的收益方程可以写为：

i i i m i R R e αβ=++

如果假设i α、i β和2

ei σ是固定的，不随时间而变化，那么同样

的方程在任何时点都成立。这样完全可以最小二乘法来估计

i β以及i α。

（2）度量贝塔向1回归的趋势——布卢姆技术

研究发现预测期的贝塔比根据历史数据得到的估计值更接近于1，下一步要修正历史贝塔，以体现出这一趋势。布卢姆通过直接度量向1进行的这种调整，并假设在一个时期进行的调整是对下一时期调整的良好估计来修正历史贝塔。

具体操作举例说明如下：计算出1948~1954年所有股票的贝塔，然后对同样的股票计算出1955~1961年的贝塔。再将后一期的贝塔对之前的贝塔进行回归，得到估计方程：

210.3430.677i i ββ=+

它度量了预测的贝塔比根据历史数据更接近于1的趋势。优点在于这一方程式降低了较高的贝塔值，而提高了较低的贝塔值。

（3）度量贝塔向1回归的趋势——瓦希切克技术

预测期的实际贝塔一般比根据历史数据得到的估计值更接近于平均贝塔。调整这一趋势的一种直接办法就是将每一个贝塔向平均贝塔调整。理想的情况是向平均值进行调整的量对所有的股票不是相等的，而是按照贝塔不确定性（抽样误差）的大小来调整。抽样误差越大，与平均值相差悬殊的可能性就越大，出于抽样误差所需的调整就越大。

1β表示历史时期所有样本股票的平均贝塔，将1β和证券

i 的历

史贝塔进行加权平均。 权重如下：

11

1

2

22i βββ

σσσ+，对1i β

1

1

1

2

22i i β

ββ

σσσ+，对1β