基本初等函数性质及应用
题型一 求函数值 【题型要点解析】
已知函数的解析式,求函数值,常用代入法,代入时,一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系,有时要借助函数性质与运算性质进行转化.
例1.若函数f (x )=a |2x -
4|(a >0,且a ≠1),满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( )
A .(-∞,2]
B .[2,+∞)
C .[-2,+∞)
D .(-∞,-2]
【解析】 由f (1)=19,得a 2=19,解得a =13或a =-13(舍去),即f (x )=4
23
1-??
?
??x 由于y
=|2x -4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f (x )在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
【答案】 B
例2.已知函数f (x )=???
3x 2+ln 1+x 2+x ,x ≥0,3x 2+ln 1+x 2-x ,x <0,
若f (x -1) 围为________. 【解析】 若x >0,则-x <0,f (-x )=3(-x )2+ln (1+(-x )2+x )=3x 2+ln (1+x 2+x )=f (x ),同理可得,x <0时,f (-x )=f (x ),且x =0时,f (0)=f (0),所以f (x )是偶函数.因为当x >0时,函数f (x )单调递增,所以不等式f (x -1) 【答案】 (-∞,-2)∪(0,+∞) 例3.已知a >b >1,若log a b +log b a =5 2,a b =b a ,则a =________,b =________. 【解析】 ∵log a b +log b a =log a b + 1log a b =52,∴log a b =2或1 2 .∵a >b >1,∴log a b 2 ,∴a =b 2.∵a b =b a ,∴(b 2)b =bb 2,即b 2b =bb 2.∴2b =b 2,∴b =2,a =4. 【答案】 4;2 题组训练一 求函数值 1.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数a 满足f (log 2 a )+f (log 1 2 a )≤2f (1),则a 的最小值是( ) A.3 2 B .1 C.1 2 D .2 【解析】 log 12a =-log 2a ,f (log 2 a )+f (log 1 2 a )≤2f (1),所以2f (log 2 a )≤2f (1),所以|log 2 a |≤1,解得12≤a ≤2,所以a 的最小值是1 2 ,故选C. 【答案】 C 2.若函数f (x )=a x - 2-2a (a >0,a ≠1)的图象恒过定点?? ? ? ? 31,0x ,则函数f (x )在[0,3]上的最 小值等于________. 【解析】令x -2=0得x =2,且f (2)=1-2a ,所以函数f (x )的图象恒过定点(2,1-2a ),因此x 0=2,a =1 3,于是f (x )=????13x -2-23,f (x )在R 上单调递减,故函数f (x )在[0,3]上的最小值为f (3)=-13 . 【答案】 -1 3 题型二 比较函数值大小 【题型要点解析】 三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题 (1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较; (2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较; (3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小. 例1.已知a =3 421-? ?? ??,b =5 241-??? ??,c =3 1251-?? ? ??,则( ) A .a D .b 【解析】 因为a =3 4 21-??? ??=243,b =5 241-??? ??=245,c =3 1251-?? ? ??=523,显然有b 3 =c ,故b 例2.已知a =π3,b =3π,c =e π,则a 、b 、c 的大小关系为( ) A .a >b >c B .a >c >b C .b >c >a D .b >a >c 【解析】 ∵a =π3,b =3π,c =e π,∴函数y =x π是R 上的增函数,且3>e>1,∴3π>e π,即b >c >1;设f (x )=x 3-3x ,则f (3)=0,∴x =3是f (x )的零点,∵f ′(x )=3x 2-3x ·ln 3,∴f ′(3)=27-27ln 3<0,f ′(4)=48-81ln 3<0,∴函数f (x )在(3,4)上是单调减函数,∴f (π) 【答案】 D 题组训练二 比较函数值大小 1.若a >b >1,0 D .log a c 【解析】 对A :由于0 -1 在(1,+∞)上单调递减,又∴a >b >1,∴a c - 1 -1 ?ba c ln c b ln b 和 ln c a ln a ,只需b ln b 和a ln a ;构造函数f (x )=x ln x (x >1),则f ′(x )=ln x +1>1>0,f (x )在(1,+∞)上单调递增,因此f (a )>f (b )>0?a ln a >b ln b >0?1a ln a <1 b ln b ,又由0< c <1得ln c <0,∴ ln c a ln a >ln c b ln b ?b log a c >a log b c ,C 正确;对D :要比较log a c 和log b c ,只需比较ln c ln a 和ln c ln b ,而函数y =ln x 在(1,+∞)上单调递增,故a >b >1?ln a >ln b >0?1ln a <1ln b ,又由0 ∴ ln c ln a >ln c ln b ?log a c >log b c ,D 错误.故选C. 【答案】 C 2.设函数f (x )=e x +2x -4,g (x )=ln x +2x 2-5,若实数a ,b 分别是f (x ),g (x )的零点,则( ) A .g (a )<0 B .f (b )<0 C .0 D .f (b ) 【解析】 依题意,f (0)=-3<0,f (1)=e -2>0,且函数f (x )是增函数,因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内,即00,函数g (x )的零点在区间(1,2)内,即1f (1)>0.又函数g (x )在(0,1)内是增函数,因此有g (a ) 【答案】 A 题型三 求参数的取值范围 【题型要点解析】 利用指、对数函数的图象与性质可以求解的两类热点问题及其注意点 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时、常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. (3)注意点:利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式问题时切记图象的范围、形状一定要准确,否则数形结合时将误解.对于含参数的指数、指数问题,在应用单调性时,要注意对底数进行讨论.解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次再利用性质求解. 例1.已知f (x )=? ???? (1-2a )x +3a ,x <1,ln x ,x ≥1的值域为R ,那么a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1] B.?? ? ? ? -21,1 C.?? ??? ?-21,1 D.?? ? ? ?21,0 【解析】 要使函数f (x )的值域为R ,需使????? 1-2a >0, ln 1≤1-2a +3a ,∴?? ??? a <1 2,a ≥-1, ∴-1≤a <1 2 .故选C. 【答案】 C 例2.设函数f (x )=????? x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ?? ? ? ? - 21x >1的x 的取值范围是________. 【解析】 由题意,当x >12时,f (x )+f ??? ?? -21x =2x +2x -12>1恒成立,即x >12满足题意; 当0 ? -21x =2x +x -12+1>1恒成立,即0 f (x )+f ??? ? ?- 21x =x +1+x -12+1>1,解得x >-14,即-14 ??+∞,41 【答案】?? ? ??+∞,41 题组训练三 求参数的取值范围 例1.若函数f (x )=? ???? -x +6,x ≤2, 3+log a x ,x >2 (a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是________. 【解析】 当x ≤2时,f (x )=-x +6,f (x )在(-∞,2]上为减函数,∴f (x )∈[4+∞).当x >2时,若a ∈(0,1),则f (x )=3+log a x 在(2,+∞)上为减函数,f (x )∈(-∞,3+log a 2),显示不满足题意,∴a >1,此时f (x )在(2,+∞)上为增函数,f (x )∈(3+log a 2,+∞),由题意可知(3+log a 2,+∞)?[4,+∞),则3+log a 2≥4,即log a 2≥1,∴1 【答案】 (1,2] 例2.设函数 f (x )=??? x 2-2x +a ,x <1 2,4x -3,x ≥1 2 的最小值为-1,则实数a 的取值范围是 ________. 【解析】 当x ≥12时,4x -3为增函数,最小值为f ??? ??21=-1,故当x <12时,x 2-2x + a ≥-1.分离参数得a ≥-x 2+2x -1=-(x -1)2,函数y =-(x -1)2开口向下,且对称轴为x =1,故在??? ??∞-21,上单调递增,所以函数在x =12处有最大值,最大值为-2 21?? ? ??-=-14, 即a ≥-1 4 . 【答案】?? ? ???+∞- ,41 【专题训练】 一、选择题 1.定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x ),f (x -2)=f (x +2),且x ∈(-1,0)时,f (x )=2x +1 5 ,则f (log 220)等于( ) A .1 B.4 5 C .-1 D .-45 【解析】 由f (x -2)=f (x +2),得f (x )=f (x +4),因为4 5 )=-1. 【答案】C 2.定义在R 上的偶函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0)(x 1≠x 2),都有 f (x 1)-f (x 2) x 1-x 2 <0,则下列结论正确的是( ) A .f (0.32) B .f (log 25) C .f (log 25) D .f (0.32) 【解析】 ∵对任意的x 1,x 2∈(-∞,0), 且x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2) x 1-x 2<0, ∴f (x )在(-∞,0)上是减函数. 又∵f (x )是R 上的偶函数, ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数. ∵0<0.32<20.3 ∴f (0.32) 3.已知f (x )是奇函数,且f (2-x )=f (x ),当x ∈[2,3]时,f (x )=log 2(x -1),则f ?? ? ??31等于( ) A .2-log 23 B .log 23-log 27 C .log 27-log 23 D .log 23-2 【解析】 因为f (x )是奇函数,且f (2-x )=f (x ),所以f (x -2)=-f (x ),所以f (x -4)=f (x ), 所以f ?? ? ??31=f ??? ? ?-312=f ?? ? ??35 =-f ??? ? ?-354=-f ?? ? ??37. 又当x ∈[2,3]时,f (x )=log 2(x -1), 所以f ??? ??37=log 2?? ? ??-137=log 243=2-log 23, 所以f ?? ? ??31=log 23-2,故选D. 【答案】 D 4.已知函数y =f (x )是R 上的偶函数,设a =ln 1 π,b =(ln π)2,c =ln π,当对任意的 x 1,x 2∈(0,+∞)时,都有(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0,则( ) A .f (a )>f (b )>f (c ) B .f (b )>f (a )>f (c ) C .f (c )>f (b )>f (a ) D .f (c )>f (a )>f (b ) 【解析】 由(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0可知, f (x 1)-f (x 2) (x 1-x 2) <0,所以y =f (x )在(0,+∞)上单调递减.又因为函数y =f (x )是R 上的偶函 数,所以y =f (x )在(-∞,0)上单调递增,由于a =ln 1 π =-ln π<-1,b =(ln π)2,c =ln π =1 2 ln π,所以|b |>|a |>|c |,因此f (c )>f (a )>f (b ),故选D. 【答案】 D 5.已知函数y =f (x )的图象关于y 轴对称,且当x ∈(-∞,0)时,f (x )+xf ′(x )<0成立,a =(20.2)·f (20.2),b =(log π3)·f (log π3),c =(log 39)·f (log 39),则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .b >a >c B .c >a >b C .c >b >a D .a >c >b 【解析】 因为函数y =f (x )关于y 轴对称,所以函数y =xf (x )为奇函数.因为[xf (x )]′=f (x )+xf ′(x ),且当x ∈(-∞,0)时,[xf (x )]′=f (x )+xf ′(x )<0,则函数y =xf (x )在(-∞,0)上单调递减;因为y =xf (x )为奇函数,所以当x ∈(0,+∞)时,函数y =xf (x )单调递减.因为1<20.2<2,0 【答案】 A 6.设a =0.23,b =log 0.30.2,c =log 30.2,则a ,b ,c 大小关系正确的是( ) A .a >b >c B .b >a >c C .b >c >a D .c >b >a 【解析】 根据指数函数和对数函数的增减性知,因为0log 0.30.3=1,c =log 30.2 【答案】B 7.对任意实数a ,b 定义运算“Δ”:aΔb =? ???? a ,a - b ≤2,b ,a -b >2,设f (x )=3x + 1Δ(1-x ),若函 数f (x )与函数g (x )=x 2-6x 在区间(m ,m +1)上均为减函数,则实数m 的取值范围是( ) A .[-1,2] B .(0,3] C .[0,2] D .[1,3] 【解析】 由题意得f (x )=???? ? -x +1,x >0,3x +1,x ≤0, ∴函数f (x )在(0,+∞)上单调递减,函数g (x )=(x -3)2-9在(-∞,3]上单调递减,若 函数f (x )与g (x )在区间(m ,m +1)上均为减函数,则? ???? m ≥0, m +1≤3,得0≤m ≤2,故选C. 【答案】 C 8.已知函数f (x )=a |log 2 x |+1(a ≠0),定义函数F (x )=? ??? ? f (x ),x >0,f (-x ),x <0,给出下列命题: ①F (x )=|f (x )|;②函数F (x )是偶函数;③当a <0时,若0 A .0 B .1 C .2 D .3 【解析】 ①∵函数f (x )=a |log 2x |+1(a ≠0),定义函数F (x )=????? f (x ),x >0 f (-x ),x <0 ,∴|f (x )|= |a |log 2x |+1|,∴F (x )≠|f (x )|,①不对; ②∵F (-x )=? ??? ? f (-x ),x <0f (x ),x >0=F (x ),∴函数F (x )是偶函数,故②正确; ③∵当a <0时,若0 ④∵f (x )=a |log 2x |+1(a ≠0),定义函数F (x )=? ???? f (x ),x >0, f (-x ),x <0, ∴x >0时,(0,1)单调递减,(1,+∞)单调递增, ∴x >0时,F (x )的最小值为F (1)=1, 故x >0时,F (x )与y =-2有2个交点, ∵函数F (x )是偶函数,∴x <0时,F (x )与y =-2有2个交点,故当a >0时,函数y =F (x )-2有4个零点,所以④正确. 【答案】D 二、填空题 1.已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a =g (-log 25.1),b =g (20.8),c =g (3),则a ,b ,c 的大小关系为____________. 【解析】 依题意a =g (-log 25.1) =(-log 25.1)·f (-log 25.1) =log 25.1f (log 25.1)=g (log 25.1). 因为f (x )在R 上是增函数,可设0<x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2). 从而x 1f (x 2)<x 2f (x 2),即g (x 1)<g (x 2). 所以g (x )在(0,+∞)上亦为增函数. 又log 25.1>0,20.8>0,3>0,且log 25.1<log 28=3,20.8<21<3,而20.8<21=log 24<log 25.1,所以3>log 25.1>20.8>0,所以c >a >b . 【答案】 b 2.已知函数f (x )=? ???? 2x ,x ≤1ln (x -1),1 范围是________. 【解析】 设g (x )=5-mx ,则函 数g (x )的图象是过点(0,5)的直线.在同一坐标系内画出函数y =f (x )和g (x )=5-mx 的图象,如图所示.∵不等式f (x )≤5-mx 恒成立,∴函数y =f (x )图象不在函数g (x )=5-mx 的图象的上方.结合图象可得,①当m <0时不成立;②当m =0时成立;③当m >0时,需满足当x =2时,g (2)=5-2m ≥0,解得0 2.∴实数m 的取值范围 是??? ?0,5 2. 3.已知函数f (x )=? ???? x ln (1+x )+x 2,x ≥0-x ln (1-x )+x 2,x <0,若f (-a )+f (a )≤2f (1),则实数a 的取值范 围是( ) A .(-∞,-1]∪[1,+∞) B .[-1,0] C .[0,1] D .[-1,1] 【解析】 函数f (x )=? ??? ? x ln (1+x )+x 2,x ≥0-x ln (1-x )+x 2,x <0, 将x 换为-x ,函数值不变,即有f (x )图象关于y 轴对称,即f (x )为偶函数,有f (-x )=f (x ),当x ≥0时,f (x )=x ln(1+x )+x 2的导数为f ′(x )=ln (1+x )+ x 1+x +2x ≥0,则f (x )在[0,+∞)递增,f (-a )+f (a )≤2f (1),即为2f (a )≤2f (1),可得f (|a |))≤f (1),可得|a |≤1,解得-1≤a ≤1. 【答案】 D 4.已知函数f (x )=? ???? (3a -1)x -4a ,(x <1), log a x , (x ≥1)在R 上不是单调函数,则实数a 的取值范 围是________. 【解析】 当函数f (x )在R 上为减函数时,有3a -1<0且0 3,当函数f (x )在R 上为增函数时,有3a -1>0且a >1且(3a -1)·1+4a ≤log a 1,a 无解. ∴当函数f (x )在R 上为单调函数时,有17≤a <1 3,∴当函数f (x )在R 上不是单调函数时, 有a >0且a ≠1且a <17或a ≥13即0 3 ≤a <1或a >1. 5.定义函数y =f (x ),x ∈I ,若存在常数M ,对于任意x 1∈I ,存在唯一的x 2∈I ,使得f (x 1)+f (x 2) 2=M ,则称函数f (x )在I 上的“均值”为M ,已知f (x )=log 2x ,x ∈[1,22 016],则函数f (x )=log 2x 在[1,22 016]上的“均值”为 ________. 【解析】 根据定义,函数y =f (x ),x ∈I ,若存在常数M ,对于任意x 1∈I ,存在唯一的x 2∈I ,使得f (x 1)+f (x 2) 2=M ,则称函数f (x )在I 上的“均值”为M ,令x 1x 2=1·22 016=22 016, 当 x 1∈[1,22 016]时,选定 x 2=22 016x 1∈[1,22 016],可得M =12 log 2(x 1x 2)=1 008. 【答案】 1 008 基本初等函数及图形 (1) 常值函数(也称常数函数) y =c (其中c 为常数) (2) 幂函数 μ x y =,μ是常数; (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠,),),(+∞-∞∈x ; (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠,),(0,)x ∈+∞; 1. 当u 为正整数时,函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时,图形关于原点对称;u 为偶数时图形关于Y 轴对称; 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞+∞)。函数的图形均经过原点和(1 ,1). 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 正弦函数 x y sin =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 余弦函数 x y cos =,),(+∞-∞∈x ,]1,1[-∈y , 正切函数 x y tan =, 2π π+ ≠k x ,k Z ∈,),(+∞-∞∈y , 余切函数 x y cot =,πk x ≠,k Z ∈,),(+∞-∞∈y ; 专题一 函数图象与性质的综合应用 (时间:45分钟 满分:100分) 一、选择题(每小题7分,共35分) 1.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 ( ) A .y =x 3+x B .y =-log 2x C .y =3x D .y =-1 x 2.设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数,若f (1)<1,f (2)=2a -1 a +1 ,则 ( ) A .a <1 2且a ≠-1 B .-10 D .-10f (x +1)+1,x ≤0,则f ????43+f ???? -43的值为________. 7.已知函数f (x )=? ??? ? x 2+x (x ≥0),-x 2-x (x <0), 则不等式f (x )+2>0的解集是________. 8.设a >0,a ≠1,函数f (x )=log a (x 2-2x +3)有最小值,则不等式log a (x -1)>0的解集为 ___________. 高中数学必修1函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。 注意: ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○ 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○ 3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数; 若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称; ②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇?奇=偶,偶+偶=偶,偶?偶=偶,奇?偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如,, ,都是幂函数。没有统一的定义域,定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的,且都经过(1,1)点。当 时,函数在上是单调增加的,当时,函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数: 的图形,如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数,定义域 ,值域;当时函数为单调增加 的;当时为单调减少的,曲线过点。高等 数学中常用的指数函数是时,即。以与 为例绘出图形,如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数,其定义域 ,值域。当时单调增加,当 时单调减少,曲线过(1,0)点,都在右半平面 内。与互为反函数。当时的对数 函数称为自然对数,当时,称为常用对数。以为例绘出图形,如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ,它们都是周期函 数。对三角函数作简要的叙述: (1)正弦函数与余弦函数:与定义域都是,值域都是。它们都是有界函数,周期都是,为奇函数,为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 (2)正切函数,定义域,值 域为。周期,在其定义域内单调增加的奇函数,图形为图1-1-8 图1-1-8 (3)余切函数,定义域,值域为 ,周期。在定义域内是单调减少的奇函数,图形如图1-1-9。 图1-1-9 (4)正割函数,定义域,值域为,为无界函数,周期的偶函数,图形如图1-1-10。 图1-1-10 (5)余割函数,定义域,值域为 ,为无界函数,周期在定义域为奇函 数,图形如图1-1-11。 函数及其性质专题 A 组题 1. 已知函数()133x x f x ?? =- ??? ,则()f x ( ) A. 是奇函数,且在R 上是增函数 B. 是偶函数,且在R 上是增函数 C. 是奇函数,且在R 上是减函数 D. 是偶函数,且在R 上是减函数 【答案】A 【解析】()()113333x x x x f x f x --?? ??-=-=-=- ? ??? ??,所以该函数是奇函数,并且3x y =是增函数, 13x y ??= ??? 是减函数,根据增函数?减函数=增函数,可知该函数是增函数,故选A. 2.函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是( ) A .(,())a f a -- B .(,())a f a - C .(,())a f a - D .(,())a f a --- 【解析】可验证函数()f x 满足()()f x f x -=,()f x 是偶函数,故选B . 3.已知函数21,0 ()cos ,0x x f x x x ?+>=?? ≤,则下列结论正确的是( ) A .()f x 是偶函数 B .()f x 是增函数 C .()f x 是周期函数 D .()f x 的值域为[)1,-+∞ 【解析】当0x ≤时,()cos [1,1]f x x =∈-,当0x >时,),1(1)(2+∞∈+=x x f ,故选.D 4.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5,那么()f x 在区间[7,3]--上是( ) A .增函数且最小值是-5 B .增函数且最大值是-5 C .减函数且最大值是-5 D .减函数且最小值是-5 【解析】奇函数图像关于原点对称,故由题()f x 在[7,3]--上递增,故在[7,3]--上, m i n ()( 7)(7)5f x f f =-=-=-,故选.A 5.若函数()f x 是R 上周期为5的奇函数,且满足(1)1,(2)2f f ==,则(3)(4)f f -=( ) A.1- B.1 C. 2- D. 2 【解析】因为函数()f x 是R 上周期为5的奇函数,所以(3)(4)(2)(1)(1)f(2) 1.f f f f f -=---=-=-故选.A 6.函数f (x )=lg|sin x |是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为2π的奇函数 C .最小正周期为π的偶函数 D .最小正周期为2π的偶函数 【解析】当,x k k Z π≠∈时,()()f x f x -=且()lg |sin()|lg |sin |()f x x x f x ππ+=+==,故选.C 7. 已知函数f (x )恒满足()(2)f x f x =-,且当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a =f 1 ()2 - ,b =f (2),c =f (e),则a ,b ,c 的大小关系( ) 一 函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到 B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中, () 2 x k k Z π π≠+ ∈. ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. 二 函数的表示法 函数的表示方法:表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 映射的概念 ①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →. ② 给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象. 三 单调性与最大(小)值 1函数的单调性 ①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈, 都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的 最大值,记作 max ()f x M =. (2) 一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈, 都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小 值,记作:()f x min = m 四 函数的奇偶性 ② 函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =. ③ 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相 一、一次函数与二次函数 (一)一次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:2 ()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式:2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①.二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2x a =- 顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a -- ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞- 上递减,在[,)2b a -+∞上递增,当2b x a =-时,2min 4()4ac b f x a -=;当0a <时,抛物线开口向下,函数在(,]2b a -∞-上递 增,在[,)2b a -+∞上递减,当2b x a =- 时,2max 4()4ac b f x a -=. 二、幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数y x α =叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2)幂函数的图象 过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). 三、指数函数 (1)根式的概念:如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数 指数幂等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. (3)运算性质 函数性质综合运用(讲义) ?课前预习 1.填空: ①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数,则方程组的解恰好对应 两个函数图象的__________________;方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________. 特别地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标.当?>0时,二次函数图象与x轴有_____个交点;当?=0时,与x轴有_____个交点;当?<0时,与x轴______交点. ②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________. 2.借助二次函数图象,数形结合回答下列问题: ①当a>0时,抛物线开口_____,图象以对称轴为界,当x_____时,y随x 的增大而增大;该二次函数有最____值,是_______; ②当a<0时,抛物线开口____,图象以对称轴为界,当x_____时,y随x的 增大而增大;该二次函数有最___值,是______. ③已知二次函数y=x2+2x-3.当-5<x<3时,y的取值范围为__________;当 1<x≤5时,y的取值范围为__________. 注:二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为 2 4 () 24 b a c b a a --,. ?知识点睛 a b c k ???? ?? ????? ?????? ???????①坐标代入表达式,得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断,,,等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围 ③图象平移:左加右减,上加下减 将方程、不等式转化为函数,函数与方程、不等式数形结合,借助图象分析 ?????????????????? ??????????????? ?? 第一步:设坐标 利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步:坐标相减竖直线段:纵坐标相减,上减下水平线段:横坐标相减,右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似,利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ? 精讲精练 1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示. y 轴的右侧;③抛物线一定经过点(3,0); ④在对称轴左侧,y 随x 增大而减小;⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2.由表可知,正确的说法有______个. 2. 已知二次函数y =(x -h )2+1(h 为常数),在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况 下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为( ) A .5或1 B .-1或5 C .1或-3 D .1或3 3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(-1,0), 当a -b 为整数时,ab 的值为( ) A .34或1 B .14或1 C .34或12 D . 14或34 4. 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称 轴为直线x =2.给出下列结论:①4a +b =0;②9a +c >3b ;③8a +7b +2c >0;④ 函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】 函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】: 一.知识整理 1.基本思想 (1)函数主要研究两个变量的相互联系,故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题,大多可用函数的观点来解决。 (2)研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质(以图象说明性质)。 2.主要问题: (1)函数图象的基本作法:a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 (2)函数单调性的求法:a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 (3)函数最值(或范围)的求法:a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 (4)反函数求法:①解出x =φ(y),②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义:在某个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,y都有唯一确定的实数值与之对应,那么y就是x函数,记作y = f (x),x∈D,x叫做自变量,x的取值范围D叫做函数的定义域,和x 的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等:定义域相同,对应法则相同 函数图象:以自变量x的值为横坐标,与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集,即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域:自变量x的取值范围;亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域:因变量y的取值范围;亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性:如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a,都有f(-a)= f(a),则称函数 f(x)为偶函数; 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a,都有f(-a)=-f(a),则称函数f(x) 为奇函数; 奇偶函数的性质及其应 用 文件管理序列号:[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688] 奇偶函数的性质及其应用 一、知识点总结 奇偶函数的性质 1)若函数f(x)是定义在区间d的奇函数,则具备以下性质: a.定义域关于原点对称,即:若定义域为[a,b],则a+b=0; b.对于定义域内任意x都有f(-x)=-f(x); c.图像关于原点(0,0)对称; d.若0∈d则f(0)=0; e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。 2)若函数是定义在区间d的偶函数,则具备以下性质: a.定义域关于原点对称,即:若定义域为[a,b],则a+b=0; b.对于定义域内任意x都有f(-x)=f(x)=f(|x|); c.图像关于y轴对称; d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性 二、奇偶函数性质的应用 热点题型一:利用奇偶性求参数的值 例1 已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数,那么a+b的值为. 解:∵f(x)是定义在[a-1,2a]的偶函数,∴b=0 a-1+2a=0,解得b=0,a= 故a+b=. 点评:对于多项式型的函数f(x)=a1xn+a2xn-1+…+an,若f(x)为奇函数,则应只保留x的奇次项,若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0,又奇偶函数定义域关于原点对称,故a-1+2a=0. 例2 已知函数f(x)=是定义在r上的奇函数,求a的值. 解法一:∵f(x)是定义在r上的奇函数 ∴f(x)=0, 即:=0,∴a=1 解法二:∵f(x)是定义r在的奇函数 ∴f(-x)=-f(x) 即:=- 整理得(2a-2)(2x+1)=0 ∴2a-2=0 解之得a=1 点评:对于奇函数f(x),若0∈f(0)定义域,则此性质可大大减少运算量。故首选f(0)=0,若0埸定义域,再考虑f(-x)=-f(x),利用恒等式求解。 热点题型二:利用奇偶性求函数解析式 例3 已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x)求出函数的解析式。 解:当x0 ∵当x≥0时,f(x)=x(1+x) ∴f(-x)=-x(1-x) ∵f(x)是r上的奇函数 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数) y =C(其中C 为常数); α 1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称; 2)当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数 n m 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1); 4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 3.(选,补充)指数函数值的大小比较* N ∈a ; a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(, x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时,a 值越大,x a y = 的图像越靠近y 轴; b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 《函数图象与性质的综合应用》教学设计 一、内容及其解析 1.内容:函数图象与性质的综合应用。 2.解析: (1)函数图象是高考的必考内容,其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容。 (2)函数的性质是高考的必考内容,它是函数知识的核心部分.函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等,在历年的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位。 (3)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等),为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,因此常用函数的图象研究函数的性质。 二、目标及其解析 1.目标:(1)能根据要求作图、识图、用图,(2) 会用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题。 2.解析: (1)作图一般有两种方法:描点法、图象变换法.特别是图象变换法,有平移变换、伸缩变换和对称变换,要记住它们的变换规律;识图时,要留意它们的变化趋势,与坐标轴的交点及一些特殊点,特别是对称性、周期性等特点,应引起足够的重视;用图,主要是数形结合思想的应用。 (2)利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题,其实是考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题,特别是函数的最值问题,它是高考中的重要题型之一,所以要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧,灵活、准确地列出函数模型。 三、问题与例题 问题1:函数有哪些性质,用这些性质可以解决哪些数学问题? 题型一 函数求值 例1 已知f (x )=????? 2t x (x <2),log t (x 2-1) (x ≥2), 若f (2)=1,则f [f (5)]=________. 设计意图:求解分段函数的函数值应注意验证自变量的取值范围.易错点是忽视自变量取值范围的限制。 变式训练1 已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x +2)=-f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )=log 2(x +1),则f (2 009)+f (-2 010)的值为( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 题型二 函数与不等式 一、选择题 1.(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中,既是单调函数又是奇函数的是( ) A .y =log 3x B .y =3|x | C .y =x 12 D .y =x 3 2.(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=3x -1,则f ????20152等于( ) A.3+1 B.3-1 C .-3-1 D .-3+1 3.(2016·西安模拟)设f (x )是定义在实数集上的函数,且f (2-x )=f (x ),若当x ≥1时,f (x )=ln x ,则有( ) A .f ????13 C .{x |x <0或x >4} D .{x |0 基本初等函数 1?函数的五个要素:自变量,因变量,定义域,值域,对应法则 2.函数的四种特性:有界限,单调性,奇偶性,周期性复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。 3.每个函数的图像很重要 O.幕函数(a为实数) 定义域:随a的不同而不同,但无论a取什么值,x A a在「’内总有定义值域:随a的不同而不同有界性: 单调性:若a>0,函数在;…内单调增加;若a<0,函数在人-内单调减少。 奇偶性: - 「要知道这些函数那 些事奇函数,那些是偶函数 周期性:6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础)_完美版
专题一 函数图象与性质的综合应用
高中数学必修1函数的基本性质
五大基本初等函数性质及其图像
函数性质综合应用专题
高中函数的基本性质
基本初等函数图像及性质大全
函数性质综合运用(讲义)
高中数学-函数的基本性质小结
奇偶函数的性质及其应用
(完整word版)六大基本初等函数图像与性质
函数图象与性质的综合应用
函数的性质综合应用
高中数学-基本初等函数图像及性质小结