2018届高三文科数学 选修4-4,4-5测试卷

选修4-4，4-5测试卷

解答题

1．【2018河北衡水联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ： ,{

x y sin αα

==（α为参数），以原

点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l cos 14πρθ?

?+=- ??

?． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）过点()1,0M -，且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 于A ， B 两点，求点M 到A ， B 两点的距离之积．

2．在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()22

2:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=

∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ?的面积．

【解析】（1）因为1cos ,sin ,x y C ρθρθ==∴的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为

22cos 4sin 40ρρθρθ--+= ．

（2）将4

π

θ=

代入2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得2

40ρ-+=，解得

1212MN ρρρρ===-=因为2C 的半径为1，则2C MN ?的面积

11

1sin 4522

?=．

3．【2018华大新高考联盟】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,{

2x cos y sin αα

==（α为参数）

，以O 为极点, x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ-=.

（1）若1m =，求直线l 交曲线C 所得的弦长； （2）若C 上的点到l 的距离的最小值为1，求m .

4．已知曲线C

的参数方程为31x y αα

?=??=??（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为

极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （Ⅱ）若直线的极坐标方程为1

sin cos θθρ

-=

，求直线被曲线C 截得的弦长．

【解析】（I ）曲线C

的参数方程为31x y α

α

?=??=??（α为参数），∴曲线C 的普通方程为

()()321210x y -+-=，曲线C 表示以()3,1

cos sin x y ρθ

ρθ=??=?

代入并化简

得：6cos 2sin ρθθ=+，即曲线c 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+．

（II ）

直线的直角坐标方程为1y x -=，∴圆心C

到直线的距离为2

d =

∴

弦长为=．

5．在平面直角坐标系中，曲线133cos :2sin x C y αα=+??=?（α为参数）经过伸缩变换3

2

x x y y ?'=????'=??，后的曲线为2C ，

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求2C 的极坐标方程；

（Ⅱ）设曲线3C 的极坐标方程为sin 16πρθ??

-= ???

，且曲线3C 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，求PQ 的值．

6．【2018东北名校联考】 已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . （1）若曲线21:{

(2x t C t y t

=+=+为参数）与曲线1C 相交于两点,A B ，求AB ；

（2）若M 是曲线1C 上的动点，且点M 的直角坐标为(),x y ，求()()11x y ++的最大值.

【解析】（1）1:1C ρ=化为直角坐标方程为22

1:1C x y +=，21:{

(2x t

C t y t

=+=+

为参数）可化为

21:{(22

x C t y t

==+为参数），代入22

1:1C x y +=

，得的2212122t t ????+++= ? ? ? ?????

，化简得240t ++=，设,A B 对应的参数为12,t t

，则12124t t t t +=-=，所以

12AB t t =-=

=

（2）(),M x y 在曲线1C 上，设{

(x cos y sin θ

θθ

==为参数）

，则()()()()11cos 1sin 1sin cos sin cos 1x y θθθθθθ++=++=+++

，令

(sin cos 4πθθθ?

?+=+∈ ??

?，则21sin cos 2t θθ-=

，那么()()()222111*********t x y t t t t -++=++=++=+， 所以()(

))

2

max 11112

x y ++=.

7．建立极坐标系，直线l 的参数方程为0cos sin x t y y t α

α=??=+?

（t 为参数，α为l 的倾斜角），曲线E 的极坐标

方程为4sin ρθ=，射线=θβ,6

π

θβ=+,6

π

θβ=-

与曲线E 分别交于不同于极点的三点A ，B ，

C ． （1

）求证：|||||OB OC OA +=；

（2）当3

π

β=

时，直线l 过B ，C 两点，求0y 与α的值．

8．已知函数()|1|||f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；

（2）如果x R ?∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．

9．【2018四川德阳三校联考】（1）函数()3f x x =-，若存在实数x ，使得()()241f x m f x +≤+-成立，求实数m 的取值范围；

（2）设,,x y z R ∈，若224x y z +-=，求2

2

2

4x y z ++的最小值． 【解析】（1）令()()()241g x f x f x =+--，则()214g x x x =+--，即

()()

()

6

1{32

(14) 64x x g x x x x x --≤-=--<<+≥，作出的图像，如图所示，易知其最小值为-5 ，所以()min 5m g x ≥=-，

实数的取值范围是[

)5,-+∞

（2）由柯西不等式： ()][

()()22222

22112222x y z x y z ??++-?++≥+-??

，即

()

()2222642216x y z x y z ++≥+-=，故222843x y z ++≥，当且仅当2112

x y z

==

-时，即214,,333x y z ===-时等号成立，所以2224x y z ++的最小值为83

.

10．已知函数()13,1f x x x x =++-≥-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；

（2）若()f x 的最小值为n ，正数,a b 满足22nab a b =+，求2a b +的最小值.

11．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()4f x >的解集；

（2）若不等式()2

274f x m m >-+对于x R ?∈恒成立，求实数m 的取值范围.

12．设函数()222f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()2f x >的解集； （Ⅱ）若x R ?∈，()27

2

f x t t ≥-

恒成立，求实数t 的取值范围． 【解析】（I ）()4,13,124,2x x f x x x x x --<-??

=-≤

，当1x <-，42x -->，6x <-，6x <-∴，当12x -≤<，32x >，

23x >

，2

23

x <<∴ 当2x ≥，42x +>，2x >-，2x ≥∴，综上所述2|63x x x ?

?>

<-???

?

或． （II ）易得()()min 13f x f =-=-，若x R ?∈，()211

2

f x t t ≥-

恒成立，则只需()22min

7332760222f x t t t t t =-≥-?-+≤?≤≤，综上所述3

22

t ≤≤．

13．【2018河南漯河中学三模】若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a . （1）求a ；

（2）若正实数,m n 满足45m n a +=，求14

233y m n m n

=

+

++的最小值.

14．【2017届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】已知函数()2123f x x x =++-． （1）若0x R ?∈，使得不等式()0f x m ≤成立，求实数m 的最小值M ； （2）在（1）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：

31

3b a

+≥． 【解析】（1）由题意，不等式2123x x m ++-≤有解，又因为()212321234x x x x ++-≥+--=， 由题意只需()

min

2123

4m x x ≥++-=，所以实数m 的最小值4M =；

（2）由（1）得34a b +=，所以

()3113119133363444a

b a b b a b a b a a ??????+=?+?+=?+++≥+= ? ? ? ???????

，当且仅当9a b b a =即32a b ==时等号成立．