中考专题(探索性问题专题)
(探索性问题专题)
例3．（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA ＝7，AB ＝4，∠ COA ＝60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．
（1）求点B 的坐标； （2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么
位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝8
5
，求这时点P 坐标．
[解析]（1）；过C 作CD ⊥OA 于A ，BE
⊥OA 于E 则△OCD ≌△ABE ，四边形
CDEB 为矩形∴OD ＝AE ，CD ＝BE
∵OC ＝AB ＝4，∠COA ＝60°∴CD
＝
，OD ＝2∴CB ＝DE ＝3∴OE ＝OD
＋DE ＝5又∵BE ＝CD
＝∴B （5
，
）
（2）∵∠COA ＝60°，△OCP 为等腰三角形∴△OCP 是等边三角形∴OP ＝OC ＝4∴P （4，0）即P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形（3∵∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ＝60°∴∠OPC ＋∠DPA ＝120°又∵∠PDA ＋∠DPA ＝120°∴∠OPC ＝∠PDA ∵∠OCP ＝∠A ＝60° ∴△COP ∽△PAD
∴
OP OC AD AP =∵58BD AB =，AB ＝4 ∴BD ＝52
∴AD ＝32 即 4372OP OP =-∴
276OP OP -=得OP ＝1或6∴P 点坐标
为（1，0）或（6，0）
例6．（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2A B A C ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在
BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动． （1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰
三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．
（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．
（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．
解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分
别是：
①E 是BA 的中点，F 与A 重
合．②BE CF ==．③E 与A 重合，F 是AC 的中
点．
图1 C
图2
B
（2）在OEB △和FOC △中，
135EOB FOC ∠+∠=°135EOB OEB ∠+∠=°， FOC OEB ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，
OEB FOC ∴△∽△．
BE BO CO CF =∴． BE x
=∵，CF y =
，OB OC ===， 2(12)y x x
=∴≤≤． （3）EF 与O 相切． OEB FOC
∵△∽△， BE OE CO OF =∴． BE OE BO OF =∴．即BE BO OE OF
=． 又45B EOF ∠=∠=∵°， BEO OEF ∴△∽△． BEO OEF ∠=∠∴． ∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，
∴点O 到EF 的距离等于O 的半径．
EF ∴与O 相切．
（三）、存在探索型
例8．(2006武汉市)已知：二次函数y ＝x 2 -(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12 ＋x 22 ＝10．
⑴求此二次函数的解析式；
⑵是否存在过点D (0，-2
5)的直线与抛物线交于点M 、N ，
与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．
分析与解答 ⑴依题意，得x 1x 2＝m ，x 12 ＋x 22 ＝10， ∵x 1 ＋x 2 ＝ m ＋1，∴(x 1 ＋x 2)2 -2x 1x 2 ＝10，
∴(m ＋1)2 -2m ＝10，m ＝3或m ＝ -3，
又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴m ＝3．
∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2 -4x ＋3．
⑵假设存在过点D (0，-2
5)的直线与抛物线交于M (x M ，y M )、N (x N ，y N )两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．
∵M 、N 两点关于点E 对称，∴y M ＋y N ＝0. 设直线MN 的解析式为：y ＝kx -2
5． 由??
???=+-=.25-kx y 3x 4x y 2，得x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0，∴x M ＋x N ＝4＋k ，∴y M ＋y N ＝k (x M ＋x N )-5＝0．
∴k (k ＋4)-5＝0，∴k ＝1或k ＝ -5．
当k ＝-5时，方程x 2 -(k ＋4)x ＋2
11＝0的判别式⊿＜0，∴k ＝1，
∴直线MN 的解析式为y ＝x -25
．
∴存在过点D (0，-25)的直线与抛物线交于M 、N 两点，
与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．
例9．（2007乐山）如图（13），在矩形ABCD 中，4AB =，
10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立．
（1）当30CPD =∠时，求AE 的长；
（2）是否存在这样的点P ，使D P C △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由． 解（1）在Rt PCD △中，由tan CD CPD PD =∠
得44tan tan 30
CD PD CPD ===∠ 10AP AD PD ∴=-=-
由AEP DPC △∽△知
AE AP PD CD =，12AP PD AE CD
∴==-． （2）假设存在满足条件的点P ，设DP x =，则10AP x =-
由AEP DPC △∽△知2CD
AP =，
4210x
∴=-，解得8x =， 图（13）
此时2AP =，4AE =符合题意．
例12．（2007资阳）设a 1＝32－12，a 2＝52－32，…，a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2 (n 为大于0的自然数)．
（1） 探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2） 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a 1，a 2，…，a n ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，a n 为完全平方数(不必说明理由) ．
解：（1） ∵ a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2＝224414418n n n n n ++-+-=，
又 n 为非零的自然数，∴ a n 是8的倍数．
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数 ．
说明：第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分．
（2） 这一列数中从小到大排列
的前4个完全平方数为16，64，144，
256．
n 为一个完全平方数的2倍时，
a n 为完全平方数 ．
知识巩固训练（题组训练）
4．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 是⊙O 的切线，切点是C ．点
D 是EF 上一个动点，连接AD ．试探索点D 运动到什么位置时，AC 是∠BAD 的平分线，请说明理由．
6．（20XX 年常德市）如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，
连结PA 、PB 、PC ，以BP ?为边作∠PBQ ＝60°，且BQ
＝BP，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的
大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连
结PQ，试判断△PQC的形状，并说明
理由．
6．（1）证明△BPA≌△BQC，AP＝CQ
（2）△PQC是直角三角形，
∵PA：PB：PC＝3：4：5，
设PA＝3k，PB＝4k，PC＝5k，
∵∠PBQ＝60°，BP＝BQ，∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4k，在△PQC中，
∵PQ2＋QC2＝（4k）2＋（3k）2＝25k2，PC2＝（5k）2＝25k2，
∴PQ2＋QC2＝PC2，∴△PQC是Rt△．
7．如图，AB是⊙O的直径，AD、
BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E
分别是切点．
（1）判定△COD的形状，并说
明理由．
（2）设AD＝a，BC＝b，⊙O
的半径为r，试探究r与a，b之间
满足的关系式，并说明理由．
7．（1）△COD是直角三角形，连
OE，
由圆的切线的性质可证得：?△OAD≌△OED，△OEC ≌△OBC，
∴∠AOD＝∠EOD，∠EOC＝∠BOC，可证得∠DOC ＝90°，?
所以△COD是直角三角形．
（2）r与a、b之间满足的关系是r2＝ab．证明△OAD∽△CBO，
得OA AD
BC OB
=，OA·OB＝AD·BC即r2＝ab．
（注意“特殊的直角梯形”）
8．（20XX年绵阳市）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC?的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD?的延
长线上呢
（如图
③）？请
分别直接
写出结
论；
（2）请
在（1）中的
三个结论中选择一个加以证明．
8．解：（1）①BE＝DF＋EF，②BE＝DF－EF，③EF＝BE ＋DF．
9．（2007云南省）已知：如图，抛物
线
2
y ax bx c
=++经过(1,0)
A、(5,0)
B、(0,5)
C三点．
（1）求抛物线的函数关系式；（2
若过点C的直线y kx b
=+与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；
（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写
出0P 点的坐标；
（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在
其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．
9．解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、
(5,0)B ， ∴
(1)(5)y a x x =--．
又∵抛物线经过点(0,5)C ∴
55a =，1a =．∴抛物线的解析式：
2(1)(5)65y x x x x =--=-+．
（2）∵E 点在抛物线上，∴m ＝
42–4×6＋5 ＝ －3．
∵直线y ＝ kx ＋b 过点C （0， 5）、E （4， –3），
∴5,
4 3.b k b =??+=-?
解得k ＝ -2，b ＝ 5． 设直线y ＝-2x ＋5与x 轴的交点为D ，
当y ＝0时，-2x ＋5＝0，解得x ＝52．
∴D 点的坐标为（52
，0）．∴S ＝S △BDC ＋ S △BDE
＝1515(5)5+(5)32222
?-??-?＝10． （3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．
（4）除0
P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．
理由如下：∵004AP BP ===>，∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，
分别与抛物线交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、4P 、5P 、6P ，除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点．
13（07日照）如图，直线EF 将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E 、F 分别与BC 交于点E ，与AD 交于点F （E ，F 不与顶点重合），设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ．
(Ⅰ)求证：AF ＝EC ；
(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF 剪开后，再将纸片ABEF 沿AB 对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边DC 的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C ．
（1）求出直线EE ′分别经过原矩
形的顶点A 和顶点D 时，所对应的 x
︰b 的值；
（2）在直线EE ′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接B E′，直线BE ′与EF 是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a 与b 满足什么关系时，它们垂直？
13．解：(Ⅰ)证明：∵AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ，S 梯形ABEF ＝ S 梯形CDFE ． ∴2
1a (x ＋AF )＝21a (EC ＋b －AF )， ∴2AF ＝EC ＋(b －x )．
又∵EC ＝b －x ，
∴2AF ＝2EC ，即AF ＝EC ；
(Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D
时，如图（一），
∵EC ∥E ′B ′， ∴B E EC
''＝B D DC '．
由EC ＝b －x ，E ′B ′＝EB ＝x ， DB ′＝DC ＋CB ′＝2a ， 得a a x x b 2=-，
∴x ︰b ＝32
；
当直线E′E 经过原矩形的顶点A 时，如图（二）， 在梯形AE ′B ′D 中，
∵EC ∥E ′B ′，点C 是DB ′的中点，
∴CE ＝2
1(AD ＋ E ′B ′)， 即b －x ＝21
（b ＋x ），
∴x ︰b ＝31
．
（2） 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D 时，BE ′∥EF ．
证明：连接BF ．
∵FD ∥BE ， FD ＝BE ，∴四边形FBED 是平行四边形， ∴FB ∥DE ， FB ＝DE ，
又∵EC ∥E ′B ′， 点C 是DB ′的中点，∴DE ＝EE ′，
∴FB ∥EE ′， FB ＝ EE ′，∴四边形BE ′EF 是平行四边形∴BE ′∥EF ．
如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A 时，显然BE ′与EF 不平行，设直线EF 与BE′交于点G .过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ， 则E ′M ＝a .．
∵x ︰b ＝31，∴EM ＝31BC ＝3
1b ． 若BE′与EF 垂直，则有∠GBE ＋
∠BEG ＝90°，
又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠MEE ′，
∠MEE ′＋∠ME ′E ＝90°，
∴∠GBE ＝∠ME ′E ．
在Rt △BME ′中，tan ∠E ′BM ＝ tan ∠GBE ＝BM M E '＝b a 3
2． 在Rt △EME ′中，tan ∠ME ′E ＝M E EM '＝a b 31，∴b a 3
2＝a b 31． 又∵a ＞0，b ＞0，
=b a 32，∴当=b a 32时，BE′与EF 垂直．
17．(2006江苏泰州市)如图2
－2－5，每个正方形点阵均被
一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律_
2)1n (n -＋2)1n (n +＝n 2或1＋2＋…＋(n -1)＋1＋2＋…
＋n ＝n 2
______．
19．（2007内江）如图（11），某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置A 出发沿街道行进到达位置B ，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，图
2-2-5
…… ……
211= 2363+= 26104+= 2132+=
那么“11221”与“11212”就表示两
种符合要求的不同走法，请你思考后
回答：符合要求的不同走法共有
____10____种．
20．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，
发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a =________，n a =________；
（2）如果欲求2320
13333+
++++的值，可令232013333S =+++++ 将①式两边同乘以3，得_______________________由②减去①式，得S =____________________．
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列123n a a a a ，，，，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则n a =________（用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++=________（用含1a q n ，，的代数式表示）．
20．解：（1）2； 218； 2n ；
（2）3S ＝3＋32＋33＋34＋…＋321
； S ＝)13(2121-； （3）a 1q n －1； 1)
1(1--q q a n ．
B 图（11） A
28．（07山东东营）根据以下10个乘积，回答问题：
11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
28．⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；
14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202
－42；
17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202
－12；
20×20＝202－02．
例如，11×29；假设11×29＝□2－○2，
因为□2－○2＝（□＋○）（□－○）；
所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29．
解得，□＝20，○＝9．故229202911-=?．
（或11×29＝（20－9）（20＋9）＝202－92 ．
⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
1129122813271426?
152516241723?
182219212020?
⑶ ① 若40=+b a ，a ，b 是自然数，则ab ≤202＝400．
②若a＋b＝40，则ab≤202＝400．
③若a＋b＝m，a，b是自然数，则ab≤
2
2
m
??
?
??
．
④若a＋b＝m，则ab≤
2
2
m
??
?
??．
⑤若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝a n＋b n＝40．且
| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| a n－b n|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．
⑥若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝a n＋b n＝m．且
| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| a n－b n|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．
中考数学探索性问题的解法.doc
L_J 中考数学探索性问题的解法 随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运血生的新题型, 这?类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。 一、结论探索型问题 此类题型一般是在给定题设条件下探求结论，它要求学生在对题设条件或图形认真分析的基础上，进行归纳，大胆猜想，然后通过推理、计算获得结论。 例1、长方形的周长为24cm,面积为64cm2,则这样的长方体（） （A）有一个（B）有二个（C）有无数个（D）不存在 a + b = 12 解：设长方体的长为d,宽为b,贝U、址' = 64 a> b可视为X2—12x+64=0的两个根 ?/ △二（一12） 2-4 X 64 = 144-256V0 ?.?该方程无实根 即a、b不存在，因此选（D） a 例2、在宽为a的纸带中剪出直径为a的圆5个，直径为5的圆10个，排列方法如图1, 计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列 方法节省原材料？ ff ll 图 2
买?恩?收瓦潟暴 圈3 分析： 通过图1观察易发现图中虚线部分具有典型性，为计算方便，取具有典型的部分（图2）进行分析，计算出结果。 易知，在等腰三角形ABC中，BC边上的高为AD, ..a V2 a 今27+ 2 龙 4 = 4a + — + — a 十一+ 2a = - a ..?原排列方法使用纸带长为 2 2 4 4 通过计算启发我们，如果把小圆分别插到大圆中，采用如下的排列方法，（如图3）这时纸带长为 ,a , 72 ° a ,3 ,9」、 3+18>/2 3 2 2 4 4 24 4- A = （6-4很）a a 0.344a 可见改进后的排列方法比较合理 例3、如图6、有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的 顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速 度向点B、C、D、A移动。 （1）证明四边形PQEF是正方形； （2）PE是否总过某一定点，并说明理由； （3）四辿形PQEF的顶点位于何处时其面积有最大值、最小值，各是多少？ 解：（1）证明由己知易得△ AFP A BPQ A CQE A DEF, .\FP=PQ=QE=EF；又由ZBPQ=ZAFP,得匕BPQ+NAPF=NAFP+NAPF=90° , AZFPQ=90° ??四边形PQEF 是正方形。 （2）连结AC交PE于0, VAP=EC, AAPCE是平行四边形，0是AC的中点，即PR总过AC的中点0。 （3）由（2）知正方形ABCD与PQEF的对角线交点重合,因此,要使PQEF的面积最小，只需0P最小即可，所以由点。向ABCD的各边作垂线，其垂足就是各边的
9.1规律探索型问题专题复习教案
9.1规律探索型问题专题复习教案 教学目标： 1．知识技能：了解规律探究题的基本题型，掌握规律探究题的基本解题思路，提高学生分析问题，综合运用所学知识解决实际问题的能力，特别是归纳概括的能力。 2.过程与方法：经历规律探索的过程，培养学生的观察思考，归纳概括的能力。 3.情感态度与价值观：通过学生的探究过程，获得成功的体验，增强学习的信心，培养科学探究精神。 教学重点：掌握规律探究题的基本解题思路，提高学生分析问题解决实际问题的能力 教学难点：要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论． 教学流程： 一、回顾旧知 1. (安徽中考)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x ，y ，z 表示这列 数中的连续三个数，猜想x ，y ，z 满足的关系式是________． 2.（2013?淮安）观察一列单项式：1x ，3x 2，5x 2，7x ，9x 2，11x 2，…，则第2013个单项式是 ． 3．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n 个图形中小正方形的个数是( ) A ．(2n ＋1)个 B ．(n 2－1)个 C ．(n 2＋2n)个 D ．(5n －2)个 4.(内江中考)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1， E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……，则正方形A 2 016B 2 016C 2 016D 2 016的边长是( D ) A .? ?? ??122 015 B .? ?? ??122 016 C .? ????33 2 016 D .? ?? ??33 2 015 学生课前独立完成，课上交流展示 二、例题学习 类型1 数字规律 例1 2017·淮安 将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
中考探索性问题
探索性问题 一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探索型，(2)结论探索型，(3)存在性探索型等. 条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。 探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。 探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。 解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。解题时应注意知识的综合运用。 二、理解掌握 例一、已知：（如图）要使ΔABC ∽ΔAPB ，需要添加的条件是_____（只填一个）.(答案： ∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB 2=AP ·AC) 说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。 例二、如图， ☉O 与☉O1外切于点T ，AB 为其外公切线，PT 为内公切线，AB 与PT 相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分) A B C P
探索性问题的常见类型及其求解策略
探索性问题的常见类型及其求解策略 在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。 探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明： 一、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。 例1．（2002年上海10）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是 。 分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即。由此可得 )(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(4 1 2Z k k t ∈+= π 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力． 二、结论探索型 这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。 例2． （2020年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设
难点专题：数列中的4类探索性问题
难点专题：破解数列中的4类探索性问题1．条件探索性问题 此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意． [例1] 已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和S n满足S n＋2＋S n＝2S n＋1＋1(n∈N*)；数列{b n}中，b1＝a1，b n＋1＝4b n＋6(n∈N*)． (1)求数列{a n}，{b n}的通项公式； (2)设c n＝b n＋2＋(－1)n－1λ·n a2(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c n＋1>c n成立．
此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论． [例2] 已知各项均为正数的数列{a n}满足：a2n＋1＝2a2n＋a n a n＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设数列{b n}满足：b n＝ na n 2n＋12n ，是否存在正整数m，n(1 2019版中考数学专题复习专题八综合应用（30）探索性问题教 案 教学目标 知识 技能 1.通过观察、类比、操作、猜想、探究等活动，了解探索性数学问题中的 常见四大类型,并体会解题策略. 2.能够根据相应的解题策略解决探索性问题. 3.使学生会关注探索性数学问题，提高学生的解题能力. 过程 方法 在探索性数学问题中，体会解题策略，渗透数学思想. 情感 态度 在通过对探索性数学问题的学习，使学生获取新知，并激发学生的学习兴 趣，鼓励其敢于探索创新. 教学 重点 条件探索型、结论探索型、规律探索型的问题. 教学 难点 对各探索型问题策略的理解. 二、【教学流程】 教学环节教学问题设计师生活动 二次 备课 知识回顾【回顾练习】 引入——探索性问题 1.请写出一个比5小的整数_____． 2. 观察下面的一列单项式：x，2 2x -，3 4x， 4 8x -，…根据你发现的规律，第7个单项式 为；第n个单项式为 3. 观察算式： 22 4135 -=?； 22 5237 -=?； 22 6339 -=? 给出问题 的条件,让解 题者根据条件 探索相应的结 论，并且符合 条件的结论往 往呈现多样 性． 根据条 件，结 合已学 知识、 数学思 想方 法，通 过分析 归纳逐 步得出 结论， 或通过 观察、 22 74311 -=?； ………… 则第n（n是正整数）个等式为________. 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D． 由以上两个条件可得________．(写出一个结论) 实验、猜想、论证的方法求解. 综合运【自主探究】 例1抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示， 根据这个函数图象，你能得到关于该函数的那些性 质和结论？ 例2（1）探究新知：如图①，已知△ABC与△ABD 的面积相等，试探究AB与CD的位置关系，并说明 理由． （2）结论应用：①如图②，点M，N在反比例函 此类图象信息 开放题，只有 认真观察图象 上所给的各个 数据及位置特 征，灵活运用 函数性质，才 能找出所有的 关系与结论， 数形结合是解 答此类问题的 重要数学思想 方法. 学生通 过探究 新知→ 应用新 知，培 养学生 的探究 应用能 力． 2 1 D C B A 探究问题解决策略 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 《探究问题解决策略,提高学生解决问题的能力》 结题报告 【课题研究的背景、意义】 近年来我国小学数学课程的发展趋势是：让学生学会自主学习，充分发挥每一个学生的主体作用，倡导每一位学生都能主动参与、乐于探究、勤于动手操作，都能在愉快的氛围中轻松地学习数学知识。 总结现在的小学数学中关于“问题解决”策略的研究：对显性的、单一的问题大部分学生都能容易地找到解决的方法，但是在解决问题的过程中，学生们往往只注重找到问题的答案，很少有学生去尝试分析，特别是后进生，有些连题目都读不懂，更别说分析了，至于解决问题的策略的多样性，就更无从谈起了。每次练习，碰到解决问题往往要扣很多分数，慢慢地对学习数学就失去了信心，成绩也越来越差。 在上述背景之下，我们提出了“探究问题解决策略,提高学生解决问题的能力”课题，让学生能面对实际情景自己学会阅读、学会收集数学信息、学会用数学的眼光看生活中的数学问题、学会用数学的语言和思考方法来解释一些复杂的数学情景，最终学会自己寻找合适的解决问题的有效策略，以此来提高学生解决问题的能力、学习兴趣和信心，让他们乐于学习。 【课题的界定】 一、“数学问题”：是指对后进生来说，没有现成的方法可以解决，需要经过思考和探索，在综合运用已有的数学信息的基础上才能找到解决方法的一种情景状态。 二、“问题解决”：在老师的适当指导下，学生在面对数学问题时，能把已有的知识、经验、技能，经过自己的思考、加工、综合运用，达到未知目标的过程，以及在这 备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第三篇 立体几何 专题04 立体几何的探索性问题 【典例1】【2020届江苏巅峰冲刺卷】 如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点． （1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值； （2）点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为4 5 ，求λ的值． 【典例2】【2020届江西省赣州市高三上学期期末考试】 如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,60AB AD BAD ?==∠=，平面EBD ⊥平面ABD ，且 ,EB CB ED CD ==. （1）在线段EA 上是否存在一点F ，使//EC 平面FBD ，证明你的结论； （2）求二面角A EC D --的余弦值. 【典例3】【北京市昌平区2020届高三期末】 如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，1 2 BC CD AD == . （Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅰ）求证：BD ⊥平面P AB ； （Ⅰ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由. 【典例4】【2019届陕西省西安中学高三下学期第十二次重点考试】 在三棱锥P—ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PB =2，BC E 、G 分别为PC 、P A 的中点. （1）求证：平面BCG ⊥平面P AC ； （2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN ⊥BE ，求 AN NC 的值； （3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值 【典例5】【浙江省丽水市2020届模拟】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=?，1AB BC ==，2PA AD ==． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）在棱PC 上是否存在点H ，使得AH ⊥平面PCD ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． 【典例6】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】 直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=?， E 、 F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证： （1）//EF 平面11AAC C ； （2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【典例7】【山东省临沂市2019年普通高考模拟】 如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ⊥DE ，AF ＝DE ＝ 热点专题民族团结 1.为什么要维护各民族的团结？（维护各民族的团结的重要性） ①民族团结是国家统一、繁荣昌盛的前提和保证；②加强民族团结，维护祖国统一是中华民族的最高利益，也是各民族的共同愿望；③加强民族团结有利于国家的稳定和繁荣；④加强民族团结有利于各民族共同进步和发展；⑤加强民族团结也有利于巩固国防，保持边疆的稳定，维护国家统一和领土完整； ⑥有利于增强中华民族的凝聚力和战斗力，实现中华民族的伟大复兴；⑦有利于构建社会主义和谐社会； 2.60多年来，新疆、西藏经济发展、人民生活水平显著提高的原因是什么？（少数民族地区经济社会发展变化的原因是什么？） ①坚持了中国共产党的领导；②坚持了党的基本路线不动摇，坚持以经济建设为中心，坚持改革开放；③实行了符合我国国情和各民族人民利益的民族区域自治制度；④党和政府坚持民族平等、团结和各民族共同繁荣的基本原则； ⑤少数民族地区干部群众发扬团结奋斗、艰苦创业的精神；⑥全国人民的大力支持；⑦新疆各民族之间团结互助、共同发展等； 3.新疆、西藏等自治区取得的巨大变化说明了什么？ ①只有社会主义才能发展中国；②中国共产党是领导中国特色社会主义的核心力量，是我们事业取得胜利的重要保证；③民族区域自治制度是符合我国国情的一项基本政治制度；④党和政府坚持民族平等、团结和各民族共同繁荣的基本原则； 4.怎么评价新疆4-23暴力恐怖案件？ 新疆4-23暴力恐怖事件，是一起有预谋、有组织的、严重侵害了人民的生命财产安全、破坏国家统一、制造民族分裂的严重暴力犯罪事件。其目的就是要破坏新疆经济发展、民族团结、社会稳定、各族人民安居乐业的大好形势，破坏各族干部群众同呼吸、共命运、心连心的血肉情谊，破坏新疆政通人和的政治局面，最终是想把新疆从我们伟大祖国的怀抱中分裂出去，破坏中国的主权和领土完整、破坏民族团结； 5.新疆4-23暴力恐怖事件有什么危害？ 危害：①严重破环国家统一和民族团结；②破坏社会稳定，边界安全和国家的长治久安；③引发民族矛盾、暴力冲突、给国家人民生命财产安全造成严重危害；④使国家敌对势力与民族分裂势力相勾结，对国家安全构成危害； 6.“疆独”分子分裂祖国的目的能得逞吗？请你简述理由。 不可能得逞。因为：①新疆是中国领土不可分割的一部分；中国的主权和领土完整不容分割；②维护祖国统一和民族团结是中华民族的最高权益，是各 民族的共同愿望；③通过打砸抢烧进行“疆独”活动，损害了人民的根本利益，不得人心。 7. 新疆4-23暴力恐怖事件遭到各族人民的强烈反对说明了什么？ ①我国是一个统一的多民族国家，56个民族都是兄弟姐妹，共同属于一个民族——中华民族；②中华民族是一个团结和谐的大家庭，各族人民自觉履行维护各民族团结的义务；③维护国家统一、民族团结，是我国各族人民义不容辞的责任，是海内外中华儿女的共同心愿，是中华民族的根本利益之所在； ④我国各民族团结坚如磐石，少数分裂分子的暴力行为不得人心，任何破坏民族团结的行为都是注定要彻底失败的； 8. 广大民众对新疆4-23暴力恐怖事件表现出极大的愤慨。你从中得到了什么启示？ ①维护国家的尊严是每个公民应尽的责任。当国家的尊严受到侵犯时，我们应挺身而出，坚决维护国家的荣誉和利益，表现出对祖国、对人民的高度责任感；②国家处于困难时刻，我们要主动为国分忧、勇担重任、与国家共度难关；③我们要维护祖国统一，加强民族团结，坚决同破坏民族团结、制造民族分裂的行为作斗争；④青少年应肩负起铸造民族辉煌的重任，刻苦学习科学文化知识，为实现中华民族的伟大复兴而兴奋。 9.新疆4-23暴力恐怖事件中犯罪分子受到法律的严惩说明了什么？ ①我国是一个社会主义法治国家，法律的尊严不容践踏；②国家的治理离不开法律，我国实施依法治国的基本方略，严惩破坏国家统一、民族团结的行为；③法律靠国家强制力保证实施；④任何企图通过制造事端分裂国家、破坏民族团结的行径，都将受到法律的追究；⑤我国法律通过制裁违法犯罪保护人民； 10.设立民族团结进步节、试用民族团结教育新教材有什么重要意义？（重要性） ①有利于树立起维护国家统一和民族团结的意识，自觉拥护党和国家的民族政策，维护民族 团结；②有利于加强民族团结，构建和谐社会；③有利于形成平等、团结、和谐互助的新型民族关系；④有利于边疆巩固、社会稳定； 11.中学生怎样做到自觉履行维护民族团结的义务？ ①自觉做到“三个尊重”：尊重各民族的宗教信仰；尊重各民族的风俗习惯；尊重各民族的语言文字；②树立起维护国家统一和民族团结的意识，自觉拥护党和国家的民族政策，大力宣传我国的民族政策；③不做有损民族团结的事，积极同破坏国家统一、民族团结的言行作斗争，以实际行动维护国家主权独立、 1 (探索性问题专题) 例3．（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA ＝7，AB ＝4，∠ COA ＝60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）求点B 的坐标； （2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么 位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝8 5 ，求这时点P 坐标． [解析]（1）；过C 作CD ⊥OA 于A ，BE ⊥OA 于E 则△OCD ≌△ABE ，四边形 CDEB 为矩形∴OD ＝AE ，CD ＝BE ∵OC ＝AB ＝4，∠COA ＝60°∴CD ＝ ，OD ＝2∴CB ＝DE ＝3∴OE ＝OD ＋DE ＝5又∵BE ＝CD ＝∴B （5 ， ） （2）∵∠COA ＝60°，△OCP 为等腰三角形∴△OCP 是等边三角形∴OP ＝OC ＝4∴P （4，0）即P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形（3∵∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ＝60°∴∠OPC ＋∠DPA ＝120°又∵∠PDA ＋∠DPA ＝120°∴∠OPC ＝∠PDA ∵∠OCP ＝∠A ＝60° ∴△COP ∽△PAD ∴ OP OC AD AP =∵58BD AB =，AB ＝4 ∴BD ＝52 ∴AD ＝32 即 4372OP OP =-∴ 276OP OP -=得OP ＝1或6∴P 点坐标 为（1，0）或（6，0） 例6．（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2A B A C ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在 BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动． （1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰 三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由． （2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围． （3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论． 解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分 别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重 合．②BE CF ==．③E 与A 重合，F 是AC 的中 点． 图1 C 图2 B 高三复习专题：探索性问题的常见类型及其求解策略在近儿年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、儿何, 成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合己有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。 探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略乂有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明： 一、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。 例1. (2002年上海10)设函数/?⑴= sin2x,若是偶函数，贝Ut的一个可能值是o 分析与解答：：/(x + r) = sin2(x + r) = sin(2x + 2r).X/(x + 偶函数 /. f(x + t) = f(-x + r)B|Jsin(2x + It) = sin(-2x + 2r)。由此可得 、2k +1 2x + 2r = -2x + 2/ + + t = TT-(-2X +2t) + 2ki(k E Z) /. t = --- 7r(k e Z) 4 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力. 二、结论探索型 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 探索性问题的常见类型及其求解策略 苍南灵溪二高 陈敏 在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。 探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明： 一、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。 例1．（2002年上海10）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是 。 分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即。由此可得 )(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(4 12Z k k t ∈+=π 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这 专题12 探索性问题（第05期）-2016年中考 数学试题 一、选择题 1.（2016四川甘孜州第23题）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为． 【答案】（8，0）． 考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质． 2.（2016湖南株洲第8题）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（） A．1B．2C．3D．4 【答案】D． 考点：勾股定理． 3.（2016青海第20题）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为（ ） A ．（12 ）6 B ．（12 ）7 C ．（2）6 D ．（2 ） 7 【答案】A ． 【解析】 试题分析：如图所示． ∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴ S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2=1 2S1=2，S3=1 2 S2=1，S4=1 2 S3=1 2 ，…，由此可得 S n=（1 2）n﹣3．当n=9时，S9=（ 1 2 ）9﹣3=（ 1 2 ）6，故选A． 考点：勾股定理． 4.（2016内蒙古通辽第10题）如图，在矩形ABCD中，已知AB=8，BC=6，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转99次后顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（） A．288πB．294πC．300πD．396π 【答案】C． 考点：轨迹；矩形的性质；旋转的性质；规律型． 5.（2016辽宁营口第10题）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与平面直角坐标系的坐标原点O重合，AC，BC分别在坐标轴上，AC=BC=1，△ABC在x轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动，在滚动过程中，当点C第一次落在x轴正半轴上时，点A的对应点A1的横坐标是（） A．2B．3C．1+D．2+ 【答案】D． 2019版中考数学专题复习 专题八 综合应用（30）探索性 问题当堂达标题 一、选择题 1.长方形的周长为24cm ，面积为64cm 2，则这样的长方体（ ）. A ．有一个 B.有二个 C.有无数个 D.不存在 2.用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n 个图形中小正方形的个数是 （ ）. 第3个图形 第2个图形第1个图形 A . 2n +1 B . n 2-1 C . n 2+2n D . 5n -2 3.观察下列关于x 的单项式，探究其规律： x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第xx 个单项式是（ ）. A ． xx x xx B ． 4029x 2014 C ． 4029x xx D ． 4031x xx 4. 请你计算：（1﹣x ）（1+x ），（1﹣x ）（1+x +x 2），…，猜想（1﹣x ）（1+x +x 2+…+x n ）的结果是（ ）. A ．1﹣x n +1 B ．1+x n +1 C ．1﹣x n D ．1+x n 二、填空题 5. 观察：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256… 通过观察用你所发现的规律写出2xx 的未位数是 . 6. 请观察下列等式的规律：11×3＝12(1－13)，13×5＝12(13－15)，15×7＝12(15－1 7)， 17×9＝12(17－19)，…，则11×3＋13×5＋15×7＋…＋1 99×101＝________． 7. 在数学活动中，小明为了求 21+221+321 +421+…+n 21的值（结果用n 表示），设计如图1所示的几何图形. （1）请你利用这个几何图形求 21+221+32 1 +421+…+n 21的值为 . 立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．这类试题的一般设问方式是“是否存在?存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设． 8如图,在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由． (2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥ AF． (3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大 小为45。? 拓展提升 (1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型．一般来说，这种题型依据题目特点，充分利用条件不难求解． (2)对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在． 9如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条 侧棱的长都是底面边长的√2倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD． (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小． (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由． 如图所示，在正方体ABCD—A l B l C1D l中，M,N分别是 AB，BC中点． (1)求证：平面B 1MN⊥平面BB1D1D； (2)在棱DD1上是否存在点P，使BD1∥平面PMN，若 有，确定点P的位置；若没有，说明理由． 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中 BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，0为AD中点． (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求异面直线PB与CD所成角的大小： (3)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD3若存在，求出AQ：DQ的值；若不存在，请说明理由． 立体几何中探索性问题的向量解法 高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势. 本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。 一、存在判断型 1、已知空间三点A（-2，0，2），B（-2，1，2），C（-3，0，3）. 2014年下半年时事热点汇总 7月份 1.国务院新闻办公室7月3日召开新闻发布会，中央档案馆副馆长李明华介绍了中央档案馆在互 联网上公布《日本战犯的侵华罪行自供》的有关情况，并就相关问题回答了记者的提问。 2.7月3日至4日，国家主席习近平对韩国进行国事访问。访问结束之际，外交部长王毅向随行 记者介绍了此访有关情况。王毅说，中韩两国地缘相近，人缘相亲，文缘相通。建交22年来，两国关系全面迅速发展，建立了战略合作伙伴关系。 3.7月4日，中国证监会就《关于改革完善并严格实施上市公司退市制度的若干意见（征求意见 稿）》（简称《意见》）向社会公开征求意见，这标志着新一轮退市制度改革正式启动。证监会新闻发言人介绍，这次改革的目标是实现上市公司退市的市场化、法治化和常态化。 4.7月7日，国际奥委会执委会投票决定，北京正式成为2022年第24届冬季奥林匹克运动会候 选城市，将与挪威的奥斯陆、哈萨克斯坦的阿拉木图一起角逐2022年冬奥会举办权。 5.今年7月7日是“七七事变”77周年纪念日。上午，党和国家领导人将到中国人民抗日战争纪 念馆，同首都各界代表一起，隆重纪念全民族抗战爆发77周年。 6.7月15日，金砖国家领导人第六次会晤在巴西福塔莱萨举行。中国国家主席习近平、巴西总统 罗塞夫、俄罗斯总统普京、印度总理莫迪、南非总统祖马出席。5国领导人围绕“实现包容性增长的可持续解决方案”主题，就当前世界经济形势、国际政治安全问题交换意见。 8月份 7.第二届夏季青年奥林匹克运动会8月16日晚在江苏省南京市隆开幕。国家主席习近平出席开幕 式并宣布运动会开幕。南京青奥会是继2008年北京奥运会后，在我国举办的又一项具有国际影响的奥林匹克盛事。 8.中共中央8月20日上午在人民大会堂举行座谈会，纪念邓小平同志诞辰110周年。中共中央总 书记、国家主席、中央军委主席习近平发表重要讲话，回顾了邓小平同志一生的丰功伟绩。9.8月24日，“和平使命—2014”上海合作组织成员国武装力量合反恐军事演习联合导演部总导 演、解放军副总参谋长王宁，在内蒙古朱日和训练基地宣布联演正式开始，并向各国战役指挥员下达战役训令。 10.8月25日提请十二届全国人大常委会十次会议审议的《关于设立烈士纪念日的决定(草案)》提 出，将9月30日确定为烈士纪念日。 11.对口支援西藏工作20周年电视电话会议8月25日在北京人民大会堂召开。中共中央政治局常 委、全国政协主席俞正声，中共中央政治局常委、国务院副总理张高丽出席会议。 12.亚太经合组织（APEC）第四届海洋部长会议8月28日在福建厦门开幕。会议通过了《厦门宣 言》。此次部长会议的主题为“构建亚太海洋合作新型伙伴关系”，重点讨论海洋生态环境保护和防灾减灾、海洋在粮食安全中和相关贸易中的作用、海洋科技创新、蓝色经济等四个议题。9月份 13.中共中央、国务院、中央军委9月3日下午在人民大会堂举行座谈会，纪念中国人民抗日战争 暨世界反法西斯战争胜利69周年。中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平发表重要讲话强调：历史无法重来，未来可以开创。 14.国家主席习近平9月4日在人民大会堂会见马来西亚最高元首哈利姆。习近平强调，中马两国 2014中考思想品德时政热点原创题集锦 一、感受改革，探究实践。（18分） 2013年11月9日-12日十八届三中全会在北京召开，通过了《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》。为了推动兴起学习宣传贯彻党的十八届三中全会精神的热潮，中央决定，由中宣部会同中央有关部门组成中央宣讲团，围绕全会提出的全面深化改革的新观点、新论断、新举措，围绕当前干部群众普遍关注的热点问题和存在的思想困惑，进行深入思考和研讨，认真准备宣讲稿，赴全国各地宣讲。如果宣讲团到我校进行政策宣讲，在互动提问环节要求同学们回答下列几个问题，希望同学们都能交出一份满意的答卷。 （1）党的十八届三中全会推出的十大改革新政涉及生育、养老、户籍、房地产税、土地、教育、医疗、环境价格等事关老百姓生活的方方面面，这说明 了什么？（6分） 答：说明了①中国共产党始终代表中国最广大人民的根本利益，全心全意为人民服务，立党为公、执政为民；②中国改革的实质是社会主义制度的自我完善和发展；③改革的根本目的是要在各方面形成与社会主义初级阶段基本国情相适应的比较成熟、比较定型的制度，使中国特色社会主义充满生机和活力； ④改革是动力、发展是目的、稳定是前提 （2）右图的两项改革新政主要是为了破解我国当前的哪一个突出问题？(1分)这显示了我国人口现状的哪一个特点？（1分） 答：养老难。 人口老龄化的速度在加快。 （3）左图的三项改革措施主要保障了公民的哪几项权利？（2分）符合构建和谐社会的哪一项特征？（2分） 自由迁徙权 财产所有权。 公平正义 （4）建立生态环境损害责任终身追究制体现了我国怎样的治国方略？（1 分）有什么积极意义?（3分） 依法治国。 ①有利于提高人民的环保意识，保护环境； ②有利于增强人们尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，建设 例谈中考数学中的探索性问题 本文通过对近年来中考数学试卷中的探索性问题的初探，阐述了探索性、开放性的试题是培养学生创新精神和实践能力豹重点，让学生通过分析，从中发现规律，归纳结论，对学生收集和处理信息能力、创造性思维能力要求都很高，突出了对学生探索、归纳、推理能力的考查。 培养创新精神和实践能力是当前推进素质教育的重点，探索性、开放性的试题是考查这种能力的一种题型，这类题目是开放型的，充满生机，涉及知识面宽，综合性强，要求学生有扎实的基础知识和熟练的基本技能。近年来，各省市中考数学命题都十分注重这类试题的设计，其数量和质量都逐年增加。现将这类试题略加分类和评析。 1探索算式规律问题 例1、(2009年长春市)用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为——(用含n的代数式表示)。 分析：这类题仅要求写出结果，并不要求写出推理过程。解这类题是以深刻地观察、分析、归结其图案变化规律为基础的。由已知的三个图案发现：正三角形的个数总是偶数个，而且逐渐多2个，于是得出第n个图案中正三角形的个数为2n+2． 例2：(2009年济南市)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)若规定以下三种变换： ①f(a，b)=(-a，b)，如f(1，3)=(-1，3) ②g(a，b)=(b，a)，如g(1，3)=(3，1) ③h(a，b)=(-a，-b)，如h(1，3)=(-1，-3) 按照以上变换有：f(g(2，-3))=f(-3，2)=(3，2) 那么f(h(5，-3))等于 A．(-5，-3)B．(5，3)C．(5，-3)D．(-5，3) 分析：这类题考查学生的观察、分析能力，不同的字母表示不同的坐标，学生必须严格按照字母的变化规律逐层分析，才能够得到正确答案。 f(h(5，-3))必须明确先变换h(5，-3)=(-5，3)2019版中考数学专题复习 专题八 综合应用(30)探索性问题教案
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