计算机仿真中相似性原理的应用

本科毕业论文（设计、创作）

题目：计算机仿真中相似性原理的应用

学生姓名：盛锋学号： 1002028 所在系院：信息与通信技术系专业：电子信息工程

入学时间： 2010 年 9 月导师姓名：傅有亮//朱亮职称/学位：副教授/硕士//讲师/硕士导师所在单位：

完成时间： 2014 年 5 月安徽三联学院教务制

计算机仿真中相似性原理的应用

摘要:计算机仿真技术的有关内容，所针对的系统主要是工程中的；仿真就是用模型（物理模型或数学模型）代替实际系；遵循的基本原则是相似原理，即几何相似、环境相似性。本课程用到的计算机系统仿真中相似性原理的应用技术，仿真是指通过系统模型的试验去研究一个已经存在的、或者是正在研究设计中的系统计算机仿真技术，是一门利用计算机软件模拟实际环境；它是以数学理论为基础，以计算机和各种物理为设施；用仿真理论来研究系统。本课程主要通过对建模方法与原理、仿真算法的学习通过构建程序得出数据表格进行分析；得出来实际生活中和物理现象中完全不同的系统却能演变出相同的规律，体现了仿真中相似性原理。

关键词：仿真；相似性；系统；建模

The computer simulation of similarity theory in the

application

Abstract:The contents of the computer simulation technology, the system is mainly aimed at engineering; The simulation is to use model (physical model and mathematical model) instead of the actual system; Is similar to follow the basic principles of principle of geometric similarity, similarity of environment. Similarity principle using computer simulation in the course of application technology, the simulation is to point to by system model test to research an already existing, or is working on the computer simulation technology in the design of system, is a use of computer software to simulate the actual environment; It is based on the mathematical theory, with computer and various physical facilities; To study the system in the simulation theory. This course mainly through the modeling method and the principle, simulation algorithm of learning through a builder data table is analyzed; Come out in the real life and physical phenomena completely different system can evolve the same rule, reflects the similarity principle in the simulation.

Keywords: simulation; similarity; system; modeling

目录

第一章计算机仿真 (1)

第1节引言 (1)

第2节计算机仿真技术的应用与影响 (1)

第2章计算机仿真的方法 (2)

第1节龙格库塔法 (2)

第2节欧拉法 (3)

第3节计算机仿真方法的比较与选择 (6)

第3章龙格库塔法相似性仿真中的运用 (7)

第1节建模：一阶零状态响应方程 (7)

第2节基于龙格库塔法的程序设计 (8)

第3节VC++6.0程序运行 (10)

第4节实际销售产品中相似性仿真原理的应用 (17)

总结及心得体会 (19)

致谢 (19)

参考文献 (20)

第一章计算机仿真

第1节引言

仿真技术涉及的发展和计算机技术的发展。在一般情况下，之前的物理模型实验的外观基于计算机的称为“模拟” ，我是连接到一般等相关领域。在未来，计算机，因为在特定的数字计算机，和计算机模拟，使巨大的存储容量和计算能力在一个较高的速度来计算的复杂计算机仿真技术的值是一个重要的问题这样一来，开发得到了蓬勃发展。随着仿真应用的扩展，电脑模拟外延也扩大。的物理模拟，声景观，操作，即，从核子的各个组成部分的角度，系统，飞机，船舶和航海模拟器培训，监控系统，并也有许多仍然使用：现代化的人喜欢实时计算机数学模拟的训练模拟器。广泛。这些模拟都包括在计算机模拟的范围之内。早在明朝的朱棣在南京做了皇帝以后派亲信大臣到北京盖角楼，大臣领了皇帝的谕旨后，很发愁，不知如何盖这九梁十八柱、七十二条脊的角楼?并说：“如果盖不成，皇帝自然要杀我的头，可是在没杀我的头之前，我就先把你们的头砍了。”工头们对这样的工程都没把握。一天，一位木匠，上大街去乘凉，走看走看，听见老远传来一片蝈蝈的叫声和哟喝：买蝈蝈,眼前一亮于是就买一个了。

这个木匠提着蝈蝈笼子回到工地。大伙儿一看就吵嚷起来了，大家心里都很烦，你怎幺还买一笼子蝈蝈来？他把蝈蝈笼子的梁、柱、脊细细地数了一遍又一遍后，蹦起来一拍大腿说：“这不正是九梁十八柱、七十二条脊幺？大伙一听都高兴了。

受这个笼子的启发，建成了现在这个角楼。通过以上的例子可以看出我国古代早就应用了相似性原理仿真在生活实际中有广泛的应用。

第2节计算机仿真技术的应用与影响

计算机仿真的方法的产生是和计算机技术的发展与计算机应用紧密相联的。自从世界上第一台计算机的诞生，到四十时代末期第一台模拟式计算机就被用于三自由度飞机系统的仿真。五十年代末期到六十年代。因为航天科技发展的迫切需要，USA科研人员又发明了混合计算机系统，这使得人们能对较繁杂系统的功能进行仿真研究。七十年代以来，随着数字电子计算机运算速度的很大提高和对应的仿真软件的不断完善，数字电子计算机仿真得到很快发展，其应用范围也由各种工程领域扩展到非工程领域应用范围得到了广泛的提高。

第2章计算机仿真的方法

计算机的仿真方法有很多种，大体可分为单步法和多步法。单步的方法主要是在用递推公式求解时，递推公式是按照步进式的，当我们知道前1时刻的数值Yn时就能计算出后一时刻的数值Yn+1, 这种方法被我们称为单步法,单步法是一种能够自动启动的算法，欧拉法就是其中单步法的一种。反之，当在求Yn+1时要用到 Yn, Yn-1, Yn-2 ,…等许多个值时, 这种方法被我们称为为多步法,多步法不可以自启的，由于在使用多步法时必须要先用其他的方法计算出该时刻前面的值。本章中我们将介绍欧拉法和龙格库塔法这两种常用的计算机的仿真方法。

第1节龙格库塔法

所以对于一阶精度的拉格朗日中值定理有：

y(i+1)=y(i)+h*K1

K1=f(xi,yi)

在用点Xi处的斜率近似值的K1与右边端点Xi+1处的斜率K2的的和除于2作为平均斜率K*的近似值，这么我们就会得到二阶精度的改进拉格朗日中值定理：y(i+1)=y(i)+[h*( K1+ K2)/2]

K1=f(xi,yi)

K2=f(x(i)+h),y(i)+h*K1)

按次类推，如果我们在区间[Xi,Xi+1]内选择多个预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，和用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然我们能构造出具有很高精度的高阶的计算公式。经过数学的推导和求解，就可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法：

y(i+1)=y(i)+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6

K1=f(x(i),y(i))

K2=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K1/2)

K3=f(x(i)+h/2,y(i)+h*K2/2)

K4=f(x(i)+h,y(i)+h*K3)

通常以上说的龙格-库塔法是对四阶龙格库塔法而说的，我们可以按照二阶、三阶的情形的出我们常用的标准四阶龙格-库塔法公式。

第2节欧拉法

图1是用欧拉法对两种化学元素反应的模拟的例子。

程序输入K1，K2，a(0),b(0),c(0)

图1 化学反应例子模拟程序框图

模拟程序使用C语言编写，程序中的初值如下：

K1=0.008/g.min K2＝0.002/min, a(0)=100g, b(0)=50g C(0)=0, T=5mins, ⊿t=0.1min,

N=50

其程序清单如下：

#include

#include

float k1,k2;

static float A[53],B[53],C[53],delta,t;

void strut(int);

main()

{

int i;

A[1]=100.0; B[1]=50.0; C[1]=0.0; t=0; delta=0.1; k1=0.008; k2=0.002;

for(i=1;i<53;i++) {

printf("%2d",i);

printf("%10.2f,%10.2f,%10.2f,%10.2f\n",t,A[i],B[i],C[i]); strut(i); } return; }

void strut(int i) {

A[i+1]=A[i]+(k2*C[i]-k1*A[i]*B[i])*delta; B[i+1]=B[i]+(k2*C[i]-k1*A[i]*B[i])*delta; C[i+1]=C[i]+2.0*(k1*A[i]*B[i]-k2*C[i])*delta; t=t+delta; }

计算的精度很差, 现在几乎没有人在实际工作中使用，但它导出简单， 这能说明构造数值解法一般是计算公式的基本思想, 模拟的程序也很容易懂得，于是人们愿意用它做为构造数值解法的入门例子。其一般解法如下：

设给定微分方程

(2.1)

??

?==0

)0(),(y y y t f y

在区间(tn,tn+1)上求积分,得

y(tn+1)=y(tn)+∫f(t,y)dt (2.2)

如积分间隔足够小，使得tn 与tn+1之间的f (t,y)可近似的看成常数f (tn,yn), 就可以用矩形面积近似地代替在该区间上的曲线积分，于是在tn+1时的积分值为

1),()1( +=+ +n n n n n y h y t f y t y (2.3)

将上式写成以下差分方程形式:

1,2,3,n 1=?+=+n n n f h y y （2.4） 这就是欧拉公式。它是一个逐渐递推的差分方程，任意一个新的数值解yn+1都是根据前一个数值解以及它的求导f(tn,yn)值求得的。只要给定初始条件y0及步长h 就可根据f(t0,y0)算出y1的值，再以y1算出y2，如此逐步算出y3, y4,…，直到满足所需计算的范围才停止计算。欧拉法的基本思路是把连续的时间t 分割成等间隔的Δt, 在这些离散的时刻算得函数值，根据这些值在函数图上可得到一条折线，所以欧拉法又叫折线法，其特点是分析方法简单，计算量小，但计算精度低（后面将讨论欧拉法与其它方法的比较）。下图为欧拉折线法的几何意义。

如用梯形面积来代替一个小区间的曲线积分，就可以减少小矩形计算的缺点，提高精度，梯形法计算公式为

- )(2y )]

,(),([2 1n

111++++++=++=n n n n n n n n f f h

y t f y t f h

y y (2.5) 上式为隐式公式，因为公式右端含有yn+1, 这是未知的待求量，故梯形法不能自行启动运算，而要依赖于其它算法的帮助，比如说用欧拉公式法求出初值，

算出)(1+n y y 的近似值F

n y 1+，然后将其带入微分方程，计算1+n f 的近似值

),(111P n n F n y t f f +++=，最后利用梯形公式反复带进去。如代一次后就认为求得了近

似解，于是得到改进的欧拉法，其公式为

预估 ),(1n n n P

n y t hf y y +=+ （2.6） 校正 []

),(),(2111P

n n P n n n C n y t f y t f h

y y +++++

= （2.7） 上式中第一个为预估公式，第二个为校正公式。通常这种方法称为预估矫正法。在校正公式中计算了两点的斜率，再求其平均值，故计算量比欧拉法要大些。

第3节 计算机仿真方法的比较与选择

（1）一般情况下截断误差阶次越高，则解就越精确，可见所以欧拉法精度最低。 （2）因为微分方程的数值解法基本思想是：通过某种离散化手续，将微分方程转化差分方程 （代数方程）来求解，而差分方程的求解还会有计算误差，而这类小扰动在传播过程中会不会恶性增长？这就是差分方程的稳定性地问题。因此，这个问题也是我们在选择积分法中必需考虑的问题。

综上所述，龙格库塔法相比于欧拉法更精确、稳定、便捷，所以更能得到我们的信睐。

第3章 龙格库塔法相似性仿真中的运用

第1节 建模

一阶零状态响应电路如图2所示，此电路方程如下：

图2. 一阶零状态响应电路图

R=100K,Us=20V,Uc=100μ，Uc(0)=0 Rc

dt dUc

+Uc=Us Uc Rc

Us Rc dt dUc 1

1-= c

1

1

.010

1

1]0[]

0[*]0[*]0[]0[R Rc P y P Us P G 时间常数为

===-=

第2节基于龙格库塔法的程序设计

龙格库塔法的系统程序框图如图3所示，

主函数

输入及运行输出

初始化

微分方程数值积分显示打印绘图

右函数

图3 龙格—库塔法程序简要框图

程序清单如下：

主程序：

/Adams法积分函数

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#include "iostream.h"

void adambm(float A[][50],float B[][6],float C[][50],float D[][6],float *X,

int nx,int nu,int nr,

float dt,float *Y,

float *U,float &time,

int &length)

{static float DX[50],WORK[4][50],XS[50];

int j;

if(length<1)

{diffun(A,B,C,D,nx,nu,nr,X,DX,Y,U);

length++;

for(j=0;j

WORK[length-1][j]=DX[j];

return;

}

if(length<4)

{ruk4(dt,A,B,C,D,nx,nu,nr,X,Y,time,U);

length++;

for(j=0;j

WORK[length-1][j]=DX[j];

return;

}

for(j=0;j

{XS[j]=X[j];

X[j]+=dt*(2.2916666*WORK[3][j]-2.4583333*WORK[2][j]+1.5416666*WOR K[1][j]-0.375*WORK[0][j]);

WORK[0][j]=WORK[1][j];

WORK[1][j]=WORK[2][j];

WORK[2][j]=WORK[3][j];

}

diffun(A,B,C,D,nx,nu,nr,X,DX,Y,U);

for(j=0;j

X[j]=XS[j]+dt*(0.375*DX[j]+0.7916666*WORK[2][j]-0.2083333*WORK[1] [j]+0.0416666*WORK[0][j]);

diffun(A,B,C,D,nx,nu,nr,X,DX,Y,U);

for(j=0;j

WORK[3][j]=DX[j];

time+=dt;void output(float *Y,int nr,float T)

{printf("%3.1f\t",T);

for(int i=0;i

{printf("%7.6f\t",Y[i]);}

printf("\Y");

第3节 VC++6.0程序运行

运行上节中的C语言程序，输入步长、打印步长、最大时间分别为0.01、1、50，方程数n、m、v、w都为1，P[0]为0.1，U[1]、U[2]都为1，得出y[0]、y[1]。于是整理出表1数据：

表1。仿真结果数据

图4是表1数据画出的图形。

图4. 由表1数据做出电路响应图形当P[0]=0.265时的仿真结果如表2所示。

表2。当P[0]=0.265时的仿真结果

图5是表2数据画出的图形。

图5. 由表2数据做出电路响应图形

当p[0]=0.43时结果如表3所示

表3。当p[0]=0.43时的仿真结果数据

图6是表3数据画出的图形。

图6. 由表3数据绘出的电路响应图当p[0]=0.595时的仿真结果如表4所示。

图7是表4数据画出的图形。

图7. 由表4数据绘出的电路响应图

可以看出通过对对电路的分析可在计算机上实现对电路的相似性仿真。