《高等数学》辅导材

《高等数学》辅导材料

第一章、 函数与极限

1、函数的定义、函数的二要素——表达式和定义域，两个函数相等的条件；

2、函数的分类:分段函数、反函数、复合函数—他们的特点和要点；

3、函数的极限的定义、性质和要点，特别是0x x →时的情况；

4、 无穷小量和无穷大量的定义、无穷小量的性质、他们之间的关系、无穷小量的比较p23 (10)；

5、函数极限的运算；

6、极限存在定理；

7、两个重要极限；结构和使用方法p23

8、函数的连续性 定义、函数连续的三要素、间断（两类） 9、初等函数的连续性——5个性质

连续函数的四则运算还是连续函数、连续函数的复合函数还是连续函数、最值定理、介值定理、根存在定理；

—————————————————————————————————— 第二章、 导数与微分

1、 导数的定义0lim

x y dy

x dx

?→?=?、导数的意义、

2、 函数的连续性与可导性的关系

3、

函数的求导法则

导数的四则运算法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程函数求导法则、高阶导数 4、 微分的定义、几何意义 5、 微分的求法、微分形式不变性 6、

近似计算

'()(0)(0)f x f f x =-和'000()()()()f x f x f x x x =--

___________________________________________________________________________________________

第三章、 导数的应用

1、

中值定理—罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理；

注重他们的使用条件和特点 2、罗比达法则

两个无穷小量之比的极限、两个无穷大量之比的极限、 未定型的极限 00010∞∞∞-∞∞ 3、函数性态的研究

2个定义、5个定理、三条渐近线

极值的定义、拐点的定义、1单调性定理、2极值的判断定理、3两个极值的判定定理、凹凸性的判定定理。水平渐近线、垂直渐近线、一般渐近线 4 、函数的最大值和最小值的计算

___________________________________________________________________________________________

第四章、 不定积分

1、不定积分的定义—原函数族 ()()f x dx F x c =+?

2、不定积分的意义—几何意义

3、不定积分的性质（5个）

4、不定积分的基本公式 16个

5、积分法 ①、直接积分法；

②、换元积分法；凑微分法和换元法 ③、分部积分法；降幂法和循环法

___________________________________________________________________________________________

5、定积分及其应用

1、定积分的概念 定义：0

lim ()()b

i i a f a x f x dx λ→?=∑?、几何意义-曲边梯形面积

2、定积分的补充点；定积分只是一个纯数、与积分变量无关、

()0a

a

f x dx =?

、

()()b

a

a

b

f x dx f x dx =-?

?

3、定积分的性质 7个

4、变动上线函数 ()()x

a Q x f t dt =? 且有()()Q x f x '=

5、牛顿-莱布尼兹公式 ()()()b

a

f x dx F b F a =-?

要注意它的适应条件—只能在[],a b 这样的

闭区间中使用。 7、 定积分的计算 实际上就是利用不定积分后带上下线，方法与不定积分行同。 8、 广义积分和无界函数积分 9、 定积分的应用（5个）

A 、

平面图形的面积；直角坐标系下平面图形面积的计算— 4种情况；极坐标系下平面图形面积的计算 212

1()2

s r d θθθθ=?

B 、 旋转体的体积 22()()b

d x y a

c

V y x dx V x y dy ππ==??

C 、 函数的平均值 ()b

a

y f x dx =? 就是积分中值定理

D 、 变力所做的功 ()b

a

W f x ds =?

E 、

液体的静压力 b

a

F pds =?

__________________________________________________________ 6、 空间解读几何

1、

空间直角坐标系 8个卦限 注意每一个卦限的坐标的表示 3个坐标平面 注意以坐标平面对称的点表示。

2、 两点之间的距离 222212121()()()AB x x y y z z =-+-+-

3、 向量及坐标表示 AB xi yj zk =++、 单位向量 0a a a

= 4、

向量的数量积 cos(,)a b a b a b =

数量积是一个实数、两个非零向量相互垂直的充分条件是0a b =

10i i j j k k i j j k k i ?=?=?=?=?=?=

两个向量的夹角余弦 1212122222221

1

1

222

cos(,)a b a b a b

x y z

x y z

==

++++

5、

向量的向量积

大小 sin(,)c a b a b =?实质上是所构成的平行四边形的面积、 方向 c a b =? 右手法则、两个非零向量平行的充分条件是0a b ?=、或表示为

（两个非零向量平行的充

分条件是它们的对应坐标成比例）； 向量积的坐标表达式：

111121212121212222

()()()i j k

a b x y z y z z y i z x x z j x y y x k x y z ?==-+-+-

6、

空间平面方程

一般方程 0000()()()0Ax By Cz D A x x B y y C z z +++=-+-+-=A B C 、、是空间平面的方向

向量； 截距式方程

1x y z a b c ++= 其中 D D

D

a b c A B

C

---===

分别是在x 、y 、z 轴上的截距； 两个平面垂直的充分必要条件是 121212120n n A A B B C C ?=++= 两个平面平行（或重合）的充分必要条件是 1111122222

()A B C D D A B C D D ==≠=或 参阅平122—123例题

————————————————————————————— 7、 多元函数的微分学

1、多元函数的定义；

2、二元函数的极限，注意只有在所有路径的极限都存在时的极限才存在；

3、二元函数的连续性，间断点—点状间断点和现状间断点；

4、多元函数的偏导数

5、偏导性与连续性的关系---两者没有关系。注意：混合偏导的次序问题；

6、多元函数的全增量和全微分的概念

7、多元复合函数的连锁法则、全微分形式不变性 8、隐函数的微分法 多元隐函数的微分法； 9、多元函数的极值；

___________________________________________________________________________________________

8、 多元函数的积分

1、二重积分的定义、性质（5个）

2、如何将二重积分化为二次积分

3、直角坐标系下二重积分的计算方法、如何确定二重积分的积分区间和积分次序以及上下线

的确定；

4、极坐标系下二重积分的计算方法、如何确定二重积分的积分区间和积分次序以及上下线的确定；

5、如何更换二重积分的积分次序；

—————————————————————————————————————————————

9、 微分方程

1、 基本概念—微分方程的定义、微分方程的阶、微分方程的解

2、 可分离变量的微分方程的解法

3、 一阶线性微分方程的解的结构—一阶线性微分方程的解题公式

4、 可降阶的二阶微分方程的解法

5、

二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三种类型 A 、0?>1212r x r x y c e c e =+ B 、0?=12()rx y c c x e =+

C 、0?<12(cos sin )x y e c x c x αββ=+

—————————————————————————————

第十章 无穷级数

1、常数项级数的概念与基本性质

（1）级数收敛的必要条件：（2）级数乘K 不改变级数的敛散性

（3）收敛级数的和仍收敛；(4) 级数前面增加或减少有限项与原级数有相同的敛散性；（5）收敛级数加括号后仍收敛于S 。 2、常数项级数的敛散法

(1)正项级数----比较、比较的极限形式、比值 （2）交错------莱布尼兹定理 （3）任意项-------定理5 若

1

n

n u

∞

=∑收敛，则

1

n

n u

∞

=∑收敛，且为绝对收敛。

若

1

n

n u

∞

=∑发散，而

1

n

n u

∞

=∑收敛，且为条件收敛。

a) 幂级数

（1） 函数项级数和幂级数的概念 （2） 幂级数及其收敛性----- 收敛半径 --------（Abel 定理） 收敛域的计算