绝对值函数的使用abs()

含绝对值函数的最值问题

专题三: 含绝对值函数的最值问题 1. 已知函数2()2||f x x x a =-- (0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围、不等式()()12f x f x -≥化为()2 212124x x a x x a ----≥-- 即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论: ①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥?∈对恒成立 ②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥?∈+对恒成立由①知102 a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥-或 11626222 a -<∴-≤≤Q 2、已知函数f (x )＝|x －a |,g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )＋g (x )的最值. 【解析】(1)由题意f (0)＝g (0),∴|a |＝1、又∵a >0,∴a ＝1、 (2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1、当x ≥1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1,＋∞)上单调递增, 当x <1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在????? ???－121上单调递增,在(－∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )＋g (x )在(－∞,12-]上单调递减,在????? ???－12＋∞上单调递增. 2min ()4120[0,]()(0)120 1 02 g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤Q 在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需

高中数学含绝对值的函数图象的画法及其应用素材

含绝对值的函数图象的画法及其应用一、三点作图法三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。例1. 作出下列各函数的图象。（1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0），（1，0）。其图象如图1所示。图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0），（0，0）。其图象如图2所示。图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。二、翻转作图法翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。例2. 作出下列各函数的图象。（1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。图3 图4

含绝对值函数的综合问题一

含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值 1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值 “(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x = （2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k -为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值： “()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k =- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值： “()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =- 0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值： “()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =- 2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的 “平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2 m n x +=。（2）函数()||||f x x m x n =---：当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在 (,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2 m n +；当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像；在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为( ,0)2 m n +；（3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。当0a b +>时，两端向上无限延伸，故最小值，最小值为min{(),()}f m f n ；当0a b +<时，两端向下无限延伸，故最大值，最大值为{(),()}Max f m f n ；当0a b +=时，两端无限延伸且平行x 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 {(),()}Max f m f n ；最小值为min{(),()}f m f n 。 3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性函数1212()||||||(,,,)n i n f x x a x a x a a R i n N a a a *=-+-++-∈∈<<< 设（1）若21()n k k N *=-∈，则()f x 的图像是以(,())k k a f a 为顶点的“V ”字形图像（a ）当且仅当k x a =时，min 1211221[()]|()()|k k k k f x a a a a a a -++-=+++-+++ (b ) 函数()f x 在(,],[,)k k a a -∞↓+∞↑，若{}i a 为等差数列，则图像关于k x a =对称（2）若2()n k k N *=∈，则()f x 的图像是以点11(,()),(,())k k k k A a f a B a f a ++为折点的“平底形”图像（a ）当且仅当1[,]k k x a a +∈，min 12122[()]|()()|k k k k f x a a a a a a ++=+++-+++ (b ) 函数()f x 在1(,],[,)k k a a +-∞↓+∞↑，在1[,]k k x a a +∈无单调性。若{}i a 为等差数列，则图像关于1 2 k k a a x ++= 对称这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当1x a < 及 n x a >时，图像是分别向左、右两边向上无限伸展的两条射线，中间各段在区间1[,](1,2,1)i i a a i n +=- 上均为线段．它们首尾相连形成折线形，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值．证明：当21()n k k N * =-∈时，1221()||||||k f x x a x a x a -=-+-++- ， 1221k a a a -<<< 设由绝对值不等式性质得： 121121211|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当121[,]k x a a -∈时取“=” 222222222|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当222[,]k x a a -∈时取“=”

绝对值函数最值问题(含答案修改版)

绝对值函数最值问题一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的距离之和最小，问医院应该建在何处？先来证明一个引理：引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22 2 2 2 也即是，上式显然成立，故原命题得证。将上式的y y -换成可得 ||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤，当n 为奇数时 ()12 3||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12 n x a +=时有最小值，即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112) ||||n n n x a x a f a -+??+-+-≥ ?? ? 当n 为偶数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即1 22,n n x a a +?? ∈???? 时有最小值。此时 ()123 ||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (11) 22||||n n n n x a x a f a o r f a -+?? ??+-+-≥ ? ??? ?? 该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。二、求下列函数的最小值： 1、()|2||1|-+-=x x x f

高三数学复习绝对值函数及函数与方程

1 精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：刘剑授课类型 T (同步知识主题) C （专题方法主题） C （专题方法主题）授课日期时段教学内容绝对值类型（2）专题二：局部绝对值例1：若不等式a ＋21 x x ≥2log 2x 在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为．例2：关于x 的不等式x 2＋9＋|x 2－3x |≥kx 在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为________．例3：设实数1a ，使得不等式a a x x 23，对任意的实数2,1x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 .

2 例4：设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f(x)为偶函数，求实数 a 的值；(2)a=2时，讨论函数)(x f 的单调性； (3)设a>2，求函数f(x)的最小值．例习1：已知函数f(x)＝|x －m|和函数g(x)＝x|x －m|＋m 2 －7m. (1)若方程f(x)＝|m|在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；[来源学#科#网Z#X#X#K](2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f(x 1)>g(x 2)成立，求实数m 的取值范围．练习2：设 a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a . （1）若 (0)1f ，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值；（3）设函数 ()(),(,)h x f x x a ，求不等式()1h x 的解集.

3 专题三：整体绝对值 3 例1.已知函数f(x)＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f(a)＝f (b)，则ab ＋a ＋b 的取值范围是．例2.设函数d cx bx ax x f 23)(是奇函数，且当33x 时，)(x f 取得最小值932设函数)1,1()13()()(x x t x f x g ，求)(x g 的最大值)(t F 练习3：21 0x 时，21 |2|3x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为．练习4：设函数3221() 23(01,)3 f x x ax a x b a b R . （Ⅰ）求函数f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的 ],2,1[a a x 不等式f x a 成立，求a 的取值范围。

c语言中求绝对值的数学函数

1、在C语言中，求绝对值的数学函数是( A )。 A、fabs() B、exp() C、pow() D、sqrt() 2、C语言可以使用printf函数实现输出，该函数在头文件( A )中定义。 A、stdio.h B、lib.h C、math.h D、printf.h 3、以下关于变量定义错误的是(A )。 A、char for; B、float USS; C、double int_; D、int _int; 4、在C语言中，求平方根的数学函数是( B )。 A、exp() B、sqrt() C、pow() D、fabs() 5、在C语言中，用printf函数输出float型数据时，可以使用格式控制符( B )。 A、%d B、%f C、%c D、%lf 6、以下说法正确的是( B )。 A、do-while语句构成的循环必须用break语句才能退出 B、do-while语句构成的循环，当循环条件为假时结束循环 C、do-while语句构成的循环，当循环条件为真时结束循环 D、不能使用do-while语句构成的循环 7、执行语句for(i=1;i<=10;i++) continue;后，i值为( C )。 A、9 B、无穷 C、11 D、10 8、C语言程序的基本控制结构是( B )。 A、循环结构

B、顺序、分支、循环 C、分支结构 D、顺序结构 9、float x ; 该语句将变量x定义为（B ）类型。 A、双精度实型 B、单精度实型 C、字符型 D、整型 10、C 语言可以使用getchar()函数实现输入，该函数在系统头文件（ D ）中定义。 A、string.h B、用户自定义函数 C、math.h D、stdio.h 11、设x、y、z都是整型变量，x、y的初值都是5，执行z=(++x)+(y--)+1后，x、y、z三变量的值按顺序是( D )。 A、6，5，11 B、5，5，11 C、6，4，11 D、6，4，12 12、C语言中，三条边a、b、c能构成三角形的逻辑表达式是( D )。 A、a+b>c B、a>b>c C、a-bb D、a+b>c &&a+c>b &&b+c>a 13、下面有关for循环的正确描述是( D )。 A、for循环的循环体不能为空语句 B、for循环是先执行循环体语句，后判定表达式 C、在for循环中，不能用break语句跳出循环体 D、for循环体语句中，可以包含多条语句，但要用花括号括起来 14、使用系统提供的输出函数printf()时，实现换行功能的字符是（D ）。 A、'/n' B、'\b' C、'\r' D、'\n' 15、从键盘输入一个整数给变量get，下列正确的语句是（ B ）。 A、printf("%d",&get); B、scanf("%d",&get); C、scanf("%d",get) ; D、printf("%d",get); 16、变量a、b分别声明为int型和double型，a的初值为5，如果b获得a的一半值，可使用哪条语句（ C ）。 A、b=a/2; B、b=sqrt(a); C、b=a/2.0;

高考数学函数专题训练《含绝对值的函数》含答案解析

高考数学函数专题训练含绝对值的函数一、选择题 1.函数x x x x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为（） A ．{ }3,1 B.{}3,1- C.{}3,1-- D.{}3,1- 【答案】B 【解析】当sin 0,cos 0x x >>时3y =,sin 0,cos 0x x ><时1y =-,sin 0,cos 0x x <>时1y =-,sin 0,cos 0x x <<时3y =,∴值域为{}3,1- 2．函数()ln 1 1x f x x -=-的图象大致为 ( ) A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】由于()ln 3022f =>，排除C 选项，()ln 1220f =->，排除B 选项，11221 ln 20f ??=< ??? ，不选A,故选D. 3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,设)1()1()(-+-=x g x f x h ,则下列结论中正确的是( )

A ．)(x h 关于)0,1(对称 B ．)(x h 关于)0,1-(对称 C ．)(x h 关于1=x 对称 D ．)(x h 关于1-=x 对称【答案】C 【解析】因为函数()f x 是奇函数,所以()f x 是偶函数,即()f x 与()g x 均为偶函数,其图象均关于y 对称,所以(1)f x -与(1)g x -的图象都关于直线1x =对称,即()(1)(1)h x f x g x =-+-的图象关于直线1x =对称,故选C ． 4.已知()()2 11f x ax x a x =+--≤≤且1a ≤,则()f x 的最大值为( ) A ．54 B ．34 C ．3 D ．1 【答案】A 【解析】由题意得：()() 222111f x a x x a x x x x =-+≤-+≤-+ 11x -≤≤Q 2 2221511124x x x x x x x ??∴-+=-+=-++=--+ ??? ∴当12x =，即12x =±时，()2max 514 x x -+= 即：()54 f x ≤，即()f x 的最大值为54，故选A . 5．若函数()111101x x f x x x ?+-≠?=-??=? ，，，关于x 的方程2() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根，则（） A ．b ＜﹣2且c ＞0 B ．b ＞﹣2且c ＜0 C ．b ＝﹣2且c ＝0 D ．b ＞﹣2且c ＝0 【答案】C 【解析】令t ＝f （x ），则t 2+bt +c ＝0，设关于t 的方程有两根为t ＝t 1，t ＝t 2，关于x 的方程2() ()0f x b f x c ++=有3个不同的实数根等价于函数t ＝f （x ）的图象与直线t ＝t 1，t ＝t 2的交点个数为3个，作出()f x 的简图如下：

高考数学：求解含绝对值函数问题的基本策略

纵观近几年的高考试卷，有关含绝对值函数的问题呈现出综合性强、立意新颖、难度大等特点，正日益成为高考的热点. 利用绝对值函数的图象和性质在解有关含绝对值函数的客观题时，要运用好绝对值函数的图象和性质，根据题意，利用函数y=f（x）图象的翻折和平移得到y=f（x），y=f（x），y=f（x-m）等含绝对值函数的图象，然后利用图象求解. 对于常见的含绝对值的函数的图象和性质，要熟练掌握，才有利于提升解题速度.如：y=ax（a>0，a≠1），y=ax-1，y=logax，y=logax（a>0，a≠1），y=ax2+bx+c，y=，y=x+（a>0），y=ax-b，y=ax2+bx+c等. 例1 函数f（x）=2xlog0.5x-1的零点个数为 . （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解析：由f（x）=2xlog0.5x-1=0可得log0.5x=x，设h（x）=x，g（x）=log0.5x，在同一坐标系中分别画出函数g（x）和h（x）的图象（如图1所示），可以发现两个函数的图象有2个交点，即函数f（x）有2个零点.所以答案选B. 点评：解例1的关键是作出g（x）=log0.5x的图象，然后观察它与函数h（x）=x 的图象的交点个数，交点个数即为函数f（x）零点的个数. 例2 已知函数f（x）=x-4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）=x+b的图象为 . 解析：f（x）=x-4+=（x+1）+-5≥2-5=1，当且仅当x+1=时函数f（x）取到最小值1，即（x+1）2=9. 因为x∈（0，4），故x=2.由题意可知：a=2，b=1，故g（x）=x+1，其图象可由函数y=x的图象先进行翻折变换得到函数y=x的图象，然后再将所得图象向左平移1个单位后得到，所以答案为B.

含绝对值的函数问题

含绝对值的函数问题专练 1．画出函数y ＝ 31x －的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程 31x －＝k 无解？有一个解？有两个解？【答案】当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0x2，都有m[g(x1)－g(x2)]>x1f(x1)－x2f(x2)恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) 102 x y -+=；(2)答案见解析；(3) [)1,+∞. 4．已知函数()3f x mx =+， ()22g x x x m =++．（1）判断函数()()()F x f x g x =-是否有零点；（2）设函数()()()1G x f x g x =--，若()G x 在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）函数()()f x g x -有零点（2）0m ≤或2m ≥ 5．设a 为实数，函数f(x)＝x2＋|x －a|＋1，x ∈R. (1)讨论f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的最小值．【答案】（1）当0a =时， ()f x 偶函数，当0a ≠时， ()f x 为非奇非偶函数；（2）34 a -+. 6．已知函数2()1f x x =-，()|1|g x a x =-．（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；

高中数学常见题型解法归纳绝对值常考题型的解法

高中数学常见题型解法归纳绝对值常考题型的解法【知识要点】一、去绝对值常用的有两种方法. 方法一：公式法 0||000 x x x x x x ì>??==í?-||x a x a x a a x a ?<-

【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法. 【反馈检测1】已知函数2 ()|1|f x x =-. （Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+；（Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围. 【例2】已知函数()12f x x x =+-。（Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-??=+-=+-≤≤??->? 则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-?? -≤-?或10,316x x -≤≤??+≤-?或0,1 6.x x >??-≤-? 解得5x ≤-或7x ≥. 故该不等式的解集是{ 5x x ≤-，或}7x ≥. （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，