高一物理竞赛讲义第3讲.教师版

第3讲运动的关联

温馨寄语

前面我们讨论了物理量以及物理量之间的关系，尤其是变化率变化量的关系。我们还学习了非常牛的几个方法：相对运动法，微元法，图像法。

然而，物理抽象思想除了物理量之外，还有一大块就是模型，而各种模型都有自己的一些特点，根据这些特点，决定了这些模型的运动学性质。探究这些性质就成了我们今天的主要任务。

知识点睛

一、分速度和合速度

首先速度作为矢量是可以合成和分解的。但是同样的作为矢量，速度的合成和分解，和力这个矢量有一点不同。这个不同在于，两个作用在同一个物体上的力，可以直接合成。但是同一个物体，已经知道在两个方向上的速度，最后的总速度，并不一定是这两个速度的矢量和。

（CPhO选讲）例如：

（这里面速度是通过两个速度各自从矢量末端做垂线相交得到的）

第二个原则就是：合速度=真实的这个物体的运动速度矢量。

这里力和速度的区别是：我们看到的多个力，不见得是“合力”在各个方向上的投影；但是我们看到的多个速度，就是“合速度”在各个方向上的分速度。所以，当且仅当两个分速度相互垂直的时候，合速度等于两个分速度的矢量和。

这个东西大家可以这样想。遛狗的时候，每个狗的力是作用在一起的，所以遛狗越多，需要的力越大。但是每个狗都有个速度，最后遛狗人的速度和狗的速度大小还是差不多的，不会因为遛狗个数越多就速度越快……

二、体现关联关系的模型

1．绳（杆）两端运动的关联：实际运动时合运动，由伸缩运动与旋转运动合成。

实际运动=旋转运动+伸缩运动

【例】吊苹果逗小孩儿有两种逗法，一种是伸缩，一种是摆动。

不难总结：

一段不可伸长的细绳伸缩运动速度相等——沿绳（杆）速度相等，转速无论多大不可改变绳子长度。

2．叠加运动的关联

先举个例子：如图的定滑轮，两边重物都在竖直运动，并且滑轮也在竖直运动，设两边重物位移分别沃为x 1x 2，轮中心的位移为x 。

不难由绳子长度不变得位移关系：

12

2x x x += 对应的必然有速度关系： 12

2v v v += 加速度关系：

12

2

a a a += 我们用运动关联的目的是为了使未知量变少。

物理学中非常重要的思想就是把现实中的物体抽象成为理想的模型，然后用物理原理以及模型对应的牵连关系来解决问题．常见的模型有杆，绳，斜面，等等． 3.轻杆

杆两端，沿着杆方向的速度相同\ 4.轻绳

绳子的两端也是沿着绳子的方向速度相同\．绳子中的力是可以突变的，突变的条件是剪断或者是突然绷紧等等． 5.斜面

斜面模型的一个关键点是当物体沿着斜面下滑的时候，它垂直于斜面方向上的速度和斜面相同．也就是两者之间只有沿着斜面的相对运动． 6.滚动

两个物体之间相对滚动，这意味着除了接触点的法向速度等于物体上这一点的法向速度以外，还有一个条件是接触点在两个物体上走过的距离相等，这也等价于两个物体在接触点的切向速度相等。 7.弹簧模型：

弹性绳子，和弹簧都是一样的，就是没有质量，长度可以在弹性围伸展．另外弹簧的形变是不能瞬间突变的．也就是弹簧中的力是不能突变的．

这些模型之所以具有这些性质，主要原因是轻绳，轻杆，等长度不能改变．弹性的绳子和弹簧，长度可以改变．

【例1】 一个绳子紧紧贴着天棚，有个动滑轮，绳子绕过之后挂一个小木块，请求出当动滑轮以速度

0v 匀速直线运动的时候，木块的速度是多少？

V 0

例题精讲

实验和理论物理学家

物理学的每个发展阶段都是由一两个开拓者,发现一些奇怪的现象,之后很多的实验物理学家通过实验积累起对于这些现象的简单解释,最后再出现一个特别厉害的理论物理学家总结了前人的结果用简单漂亮的公式或者定律演绎出气势恢弘的物理大厦.

以力学为例,哥白尼通过观察,发现地心说貌似存在问题,后来科学家们前仆后继,开普勒给出行星运行三定律,伽利略充分研究加速运动,后来牛顿用<<原理>>构建了经典力学.

在电磁学方面,富兰克林大胆的做了很多后人无法尝试的疯狂的实验,发现了一些列奇怪的现象.物理学界最伟大的实验物理学家之一的法拉第,通过严谨的实验,隐约摸到了场的概念,麦克斯韦总结了4个方程,解决了电磁学的一切问题.

这种发现过程从一个侧面也反映了物理的思想和方法.都是从观察和发现开始,再提出大胆的假设,用严密的实验去探究,最后再利用数学工具解决问题并且指导和预测未来.

【例2】 一根绳紧贴与地面成θ的斜墙，一端固定一端绕过滑轮下吊一木块。滑轮沿0v 的速度匀速沿

墙运动，求被滑轮带动的木块的速度'v 。

【答案】2

)

90(200θ-Cos v

【例3】 如图所示,一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心,碗的表面及碗口是光滑

的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m 1和m 2的小球。m 2的速度为0v 时求m 1的速度'v 。 【答案】

2

cos

αv

【例4】 如图夹角为θ的斜面放在地面上只能在水平面运动，木棍被限制住只能在上下方向运动，斜面与木棍接触。若斜面向右的速度为0v ，求木棍的速度'v 。

【答案】θtan 0v

【例5】 如图所示装置，在绳的C 端以速率v 匀速收绳，从而拉动低处的物体M 水平前进，当绳BC

段与水平恰成α角时，求物体M 的速度？

【答案】 1cos v

α

+

【例6】 一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a 的匀速运动．在半圆柱体上搁置一根

竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（如图）．当半圆柱体的速度为v 时，杆与半圆柱体接触

点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求此时竖直杆运动的速度．

【解析】

解法一：（半圆柱做参考系）

取半圆柱体作为参照系．在此参照系中，P 点做圆周运动，即v 杆柱的方向沿着圆上

P 点的切线方向．根据题意，v 杆地的方向是竖直向上的．因为

tan tan v v v θθ=?=?杆地柱地． 解法二：（法线方向速度v 相同）

法线方向上速度分别为sin v θ，cos v θ杆

两个相同得到：sin cos v v θθ=杆

得到tan v v θ=杆

【例7】 图表示在一水平面上有A ，B ，C 三点，1AB =，CBA α∠=，今有甲质点由A 向B 以速度

1v 作匀速运动，同时，另一质点乙由B 向C 以速度2v 作匀速运动.试问运动过程中两质点间的最小距离为多少？

【解析】 提示：有两种解决办法，一个是直接求距离的表达式，一个是看相对运动状态．

运动的独立性

用伽利略相对性原理就可以解释抛体问题中运动的独立性。平抛问题中，水平方向的速度

是不变的。所以可以假定一个和被抛物体相同水平速度运动的参考系，根据伽利略相对性原理，在这个参考系中，物体做的“竖直抛体运动”，并且，这个运动和参考系所作的水平方向的匀速直线运动没有任何关系，也就是水平方向的运动和竖直方向是独立的。这就证明了平抛问题中运动的独立性。类似的同学们可以尝试证明其他运动情况中，水平和竖直方向的运动的独立性。

如图所示，质点1P 以1v 由A 向B 作匀速运动，同时点2P 以速度2v 从B 指向C 作匀速运动，AB l =，ABC α∠=且为锐角．试确定：在何时刻t ，1P 、2P 的间距d 最短？为多少？

以A 为参考系，B 沿图所示合速度方向运动，则 min

sin d l β=

而22

12122cos v v v v v α=++，

得22min 221212sin sin sin 2cos lv lv d l v v v v v αα

βα

===

++． 由cos l vt β=， 得()

1222

1212cos 2cos l v v t v v v v αα

+=++．

【答案】 2min 2

21

2

12sin 2cos lv r v v v v αα

=

++

【例8】 一只蜘蛛把一条长1m 的“超弹性”丝线的一端固定在一堵竖直的墙上，丝线上某处静止地

趴着一条小毛虫．饥饿的蜘蛛，静止不动地呆在丝线的另一端，开始以01cm/s v =的速度匀速拉动丝线．同时，小毛虫开始以1 mm/s 的速度相对于丝线向墙的方向逃跑．小毛虫能够逃到墙上吗？

【解析】 在距离墙x m 处，丝线的速度显然比丝线端点的速度成正比地缩小，即0xv ．

如果这个值比小毛虫的速度快，那么毛虫逐渐远离墙面．小毛虫的处境将越来越无助，而永远也达不到墙面．反之，如果0v xv >毛虫，小毛虫的净速度将指向墙面，并且随着时间的增加而增加，毛虫当然可以到达墙面．临界的情况对应0/0.1m x v v ==毛虫．如果从这一点开始，则小毛虫相对静止于该处．

【例9】 合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3：2：1，如图所示，顶点A 3以水平速度v 运动，

如果构件的所有角均为直角时，顶点A 1、A 2、B 2的速度为多少？

【解析】

6

17,65,2v v v

【例10】 细杆长 ，两端分别约束在x 、y 轴上运动，

(1)如果A v 为已知，试求B 点的速度；

(2)求杆上与A 点相距aL ()01a <<的P 点的x 、y 向分速度

Px v 和Py v 对杆方位角θ的函数；

(3)试求P 点运动轨迹．

【解析】 ⑴ 两种解法：

解法一、沿着杆方向的速度相同

所以cos sin A B v v θθ=得到cos sin B A v v θ

θ

=；

解法二、B v 相对A v 做一个圆周运动，也就是说以A 为参照系则B 的运动垂直于AB ．

所以有tan A B v v θ=得到cos sin B A v v θ

θ

=

⑵ 解法有讲究：以A 端为参照， 则杆上各点只绕A 转动．但鉴于杆子的实际运动情形如右图，应有

cos A v v θ=牵，2cos sin A v v θ

θ

=转，可知B 端相对．．A 的．转动线速度为：sin sin A

a v v v θθ

+=

转． P 点的线速度必为

sin A

av v θ

=相 所以cos Px Ax v v v θ=+相，sin Py Ay v v v θ=-相

⑶提示：写成参数方程()sin 1cos x aL y a L θ

θ=???=-??

后消参数

θ．

【答案】 ⑴ cos sin B A v v θ

θ

=

⑵ ctg Px A v av θ=，()1Py A v a v =-

⑶ 22)(aL x + 2

22

)1(L a y - = 1 ，为椭圆的一部分；

二、竞赛提升

通过刚才这些容，大家已经体会到了一些速度矢量的分解的感觉。

从更物理的角度来讲，速度分解可以在图中画出三角关系来解决，也可以写出要投影的方向的单位矢量，然后与速度做点乘即可。前者书写简单，后者不易出错，请大家自己斟酌。

运动的分解通常用于写约束条件，也就是我们前面所说的“模型特点”。约束条件是指对运动加了限制，使得运动的自由度下降。

自由度是指用来描述物体运动的独立变量的个数。（互相之间没有直接关系，叫做独立变量） 例如：

描述一个质点在一维空间中的自由运动需要1个函数(取笛卡尔坐标就是()x t )

描述一个质点在二维空间中的自由运动需要2个函数(取笛卡尔坐标就是(),()x t y t ；取极坐标就是(),()r t t θ)

描述一个质点在三维空间中的自由运动需要3个函数(取笛卡尔坐标就是(),(),()x t y t z t ；取柱坐标就是(),(),()r t t z t θ，取球坐标就是(),(),()r t t t θ?)

描述一根杆在三维空间中的自由运动需要5个函数（描述杆的质心需要三个函数，描述杆的方向

知识点睛

还需要两个，取球坐标就是(),()t t θ?）

描述一根杆在二维空间中的自由运动需要 3 个函数（描述杆的质心需要两个函数，描述杆的方向还需要一个）

如果对于质点或者杆有限制，运动不再是自由的，这时称运动是受到约束的，运动的自由度通常会减小。

思考：以下体系的自由度，说明描述运动所需要的独立变量个数：

1 山上的一个行走的人（把人当质点看）

2 国旗杆上的国旗 （把国旗当作质点）

3 一端固定的刚性杆

4 放在碗里的一个小汤圆（把汤圆当作质点）

5 放在碗里的一根牙签（把牙签当作刚性杆）

6 放在碗里的，一端固定在碗底的牙签

7 表身固定的正常工作的手表

【例11】 一个大硬币半径是3r ，一个小硬币半径是r 。固定大硬币在纸面上，将小硬币贴在大硬币

外侧滚动一周，问小硬币自转了多少圈。固定小硬币滚动大硬币一周，大硬币自转了多少圈？

【解析】4圈，1.33圈。

【例12】 两只小环O 和'O 分别套在静止不动的竖直杆AB 和''A B 上.一根不可

伸长的绳子，一端系在'A 点上，绳子穿过环'O ，另一端系在环O 上，如图所示，若环'O 以恒定速度'v 沿杆向下运动，'AOO α∠=.求环O 的运动速度为多大？ 【解析】 解法1 由微元法求解

如右图所示，设由题图所示的状态再经历一段极短的时间t ?，环'O 下滑距离'v t ?而到达'C 点，环O 则对应地上升至C 点．由于时间极短，

1ω 2ω

位移很小，故可将这段时间环O 的位移速度也视为是匀速的，以v 表示之，则有OC v t =?和'''O C v t =?，由于绳不可伸长，故应有''''O C C C O O +=．

令'O O 与'C C 的交点为E ，在'O O 上分别取''ED EC =和ED EC =，则由上式有 '''''O C O O C C O O D D =-=-， 于是有''''O C O D OD =+

由于t ?很小，则''O C 很小，'O O 与'C C 的夹角很小，由此，两等腰ECD △和''EC D △的

底角均很接近于π

2

，故OCD 和O C D '''△均可近似视为直角三角形，则在此两直角三角形中，

有cos O D O C α''''=，cos OD OC α=．

综合前述的几式便有cos cos O C O C OC αα''''=+， 即cos cos v t v t v t αα''?=?+?．

故得此时环O 沿杆上升的速度大小为2

2sin 1cos 2cos cos a v v v ααα

-'=='． 解法2 由相对运动求解

以地面为参照物时，环O '以速度v '顺杆A B ''向下滑，环O 则在此刻以速度v 顺杆AB 向上滑，以环O '为参照物时，环O 相对于环O '的速度方向是向上的，以v 相表示这一相对速度，则其大小为v v v '=+相．

显然，cos v α相为O 向O '靠扰的速度分量，这一分量的作用是使OO '间的距离缩小，不难看出，它应等于绳相对于O '自O '中抽出的速度，这一速度的大小就是v '，故有cos v v α'==相，所以()cos v v v α''+=，2

2sin 1cos 2cos cos v v v α

ααα

-''=

=． 【答案】 1cos 'cos v v α

α

-=

科学圣地：关于CERN

LHC对撞机隶属于CERN。CERN是法文"欧洲核子研究委员会”的缩写The European Organization for Nuclear Research(French: Organisation Européenne pour la Recherche Nucléaire)，它坐落在日瓦西北部侏脉的脚底下，位于瑞士与法国交界的梅林（Meyrin）地区的边缘，由欧盟出资支持，是个老老实实供研究者思考和实验的工厂。德国记者格特勒曾描述那个地方的接待室，"那里也卖纪念品——难看的领带和T恤衫、纪念章、宣传画、阅读材料和明信片。"她说，那里有各种语言的免费彩色简介，然而，"要想读懂这些宣传品，必须要具备太多的知识。"那是在2001年。

直观表述那里的研究对象很难，他们所研究的东西要么太大，要么太小。比如：具有150亿年历史的宇宙，或是连研究人员都不晓得长什么样子的粒子，"我们只知道他们小于10-15米，这等于十亿分之一米的百万分之一"。研究的中心问题是：什么是物质？为何存在这样的物质？宇宙的秘密和我们这个世界的起源究竟是什么？这里关心的问题只有一个：寻找万有理论。

那里所有的工作，丝毫不考虑应用，却偶尔会有意外收获。为了让高能物理学家的研究工作能够联网，1989年CERN的英国软件工程师蒂姆·伯纳斯－发明了万维网（WWW）。

这些毫无应用价值的项目耗费了欧盟的纳税人许多钱，LHC计划就耗资60亿美元。几年前，曾在互联网中就反物质进行实况转播的CERN的科学家罗尔夫·兰度拉便说：我们CERN百分之百依赖社会扶植，欧洲的每一个公民，包括婴儿，每年都要为我们的项目付钱，因此，他们其实有权利弄明白，我们的钱花到哪里去了。

为了保证竞赛班学习的质量，请同学们花1分钟填写下面容：

学习效果反馈：

代课教师：

通过今天学习，你觉得：

1.本讲讲义容设置：

A．太难太多，吃不透

B．难度稍大，个别问题需要下去继续思考

C．稍易，较轻松

D．太容易，来点给力的

2.本节课老师讲解你明白了：

A .40%以下

B .40%到80%

C .80%以上但不全懂

D .自以为都懂了

3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）