人教版八年级数学知识点

八年级（上）

全等三角形

全等三角形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合的两个图形叫做全等形（congruent figures）；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形（congruent triangles）；把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角；

全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；

三角形全等的判定

三边对应相等的两个三角形全等；

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形相等；

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

角的平分线的性质

角的平分线上的点得到角的两边的距离相等；

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；

轴对称

轴对称

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形（symmetric figure）；这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry）；

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，就做对称点（symmetric points）；

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（perpendicular bisector）；

轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；与一条直线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；

作轴对称图形

等腰三角形

等腰三角形的性质：1、等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；

等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）；

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半；

实数

平方根

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（arithmetic square root）；记√a，读“根号a”，a叫做被开方数（radicand）；0的算术平方

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次根（square root）；求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（extraction of square root）；

正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根；

立方根

一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根（cube root）；求一个数的立方根的运算，叫做开立方（extraction of cube root）；

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；

实数

无限不循环小数又叫做无理数（irrational number）；

有理数：有限小数或无限循环小数；

有理数和无理数统称实数（real number）；

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它相反数，0的绝对值是0；

一次函数

变量与函数

在一个变化的过程中，数值发生变化的量为变量（variable），数值始终不变的量为常量（constant）；

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量（independent variable），y是x的函数（function），如果当x=a是y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值；

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像（graph）；

描点法画函数图像的一般步骤：1、列表，2、描点，3、连接；

一次函数

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportional function）；其中k叫做比例系数；正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，图象经过第三、一象限，从在向右上升，当k<0时，图象经过第二、四象限，从左向右下降；

一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linear function）；当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减少；

用函数观点看方程（组）与不等式

由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值；

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求相应的自变量的取值范围；

一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值时何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标；

课题学习选择方案

整式的乘除与因式分解

整式的乘法

一般地，有am×an=am+n（m、n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；一般地，有（am）n=amn（m、n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘；

一般地，有（ab）n =anbn（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；

乘法公式

平方差公式（formula for the difference）：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；

完全平方公式（formula for the square of the sum）：即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；

添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；

整式的除法

一般地，有am/an=am-n（a≠0、m、n都是正整数，并且m>n），即同底数幂相除，底数不变，指数相减；规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1；

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加；

因式分解

把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解（factoring），也叫做把这个多项式分解因式；因式分解与整式乘法是相反方向的变形；

多项式中各项都有一个公共的因式，这个因式叫做这个多项式各项的公因式（common factor）；把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是这个多项式除以公因式的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法；

公式法平方差公式、完全平方式

X2+(p+q)x+pq=(x+p)+(x+q)

八年级（下）

分式

分式

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式（fraction）；其中A叫分子，B叫做分母，当B≠0时，A/B才有意义；

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；利用分式的基本性质，是分子分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把多个分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做通分（changing fraction to a common denominator）；

利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分（reduction of a fraction）；

分式的运算

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；

分式乘方要把分子、分母分别乘方；

加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减；

分式方程

分母中含未知数的方程叫做分式方程（fraction equation）；

解分式方程具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母；一般地，去分母所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式的解救是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解；

反比例函数

反比例函数

一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数（inverse proportional function）；其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数；

反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）；当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大；

实际问题与反比例函数

勾股定理

勾股定理

经过证明被确认正确的命题叫做定理（theorem）；

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，；在中国称为勾股定理，在西方称为毕达哥拉斯定理；

勾股定理的逆定理

题设、结论正好相反的两个命题称为互逆命题；如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做它的逆命题；

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，，那么这个三角形是直角三角形；（运用三角形全等证明）

如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理；

四边形

平行四边形

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）；

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分；

平行四边的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；

特殊的平行四边形

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（rectangle）；也就是长方形；矩形的性质：1、矩形的四个角都是直角，2、矩形的对角线相等；矩形的判定定理：1、对角线相等的平行四边形是矩形，2、有三个角是直角的四边形是矩形；

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（rhombus）；菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴；菱形的性质：1、菱形的四条边都相等，2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的判定定理：1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，2、四边都相等的四边形是菱形；

正方形（square）的四条边都相等，四个角都是直角，所有正方形既是矩形又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质；

梯形

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形（trapezium）；

两腰相等的梯形叫等腰梯形（isosceles trapezium）；等腰梯形是轴对称图形，上下底线的中点连线所在的直线是对称轴；等腰梯形的性质：1、等腰梯形同一底边上的两个角相等，2、等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形的判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；

课题学习重心

平衡点

线段的重心就是线段的中点；

平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；

三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；

数据的分析

数据的代表

加权平均数（weighted average）：若n个数x1，x2，…，xn的权分别为w1，w2，…，wn，则（x1 w1+ x2 w2+…+xn wn）/（w1+w2+…+wn）叫做这n个数的加权平均数

算数平均数；

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数（median）；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；

一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）；如果一组数据中有两个数据的频数一样，都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数；

数据的波动

一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差（range）；反映数据的波动范围；设有n个数，各数据与它们的平均数的差的平方的和来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差（

variance）；方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；

课题学习体质健康测试中的数据分析

收集数据——整理数据——描述数据——分析数据——撰写调查报告

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