导数各类题型方法总结(绝对经典)
导数各类题型方法总结(绝对经典)
导数的概念
1、、已知的值是（）
A、
B、2
C、
D、－2变式1：（）
A、－１Ｂ、－2
C、－3
D、1变式2：（）
A、
B、
C、
D、导数各种题型方法总结请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法
5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；（请同学们参看xx省统测2）例1：设函数在区间D 上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值、解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：∵ 当时, 恒成立, 当时, 恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）-22 例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值
范围、（二次函数区间最值的例子）解：（Ⅰ）3aaa3a令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b、（Ⅱ）由
||≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数、（9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t 的取值范围。解：（Ⅰ）∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又∴的值域是（Ⅲ）令思路1：要使恒成立，只需，即分离变量思路2：二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知，函数、（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围、解：、（Ⅰ）∵ 是偶函
数，∴ 、此时，，令，解得：、列表如下：(－∞,－2)－
2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为，的极小值为、（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，∴，在给定区间R上恒成立判别式法则解得：、综上，的取值范围是、例
5、已知函数（I）求的单调区间；（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想（I）
1、当且仅当时取“=”号，单调递增。
2、 a-1-1单调增区间：
单调增区间：（II）当则是上述增区间的子集：
1、时，单调递增符合题意
2、，综上，a的取值范围是[0，1]。
三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例
6、已知函数，，且在区间上为增函数、（1）求实数的取值范围；（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围、解：（1）由题意∵在区间上为增函数，∴在区间上恒成立（分离变量法）即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为（2）
设，令得或由（1）知，①当时，，在R上递增，显然不合题意…②当时，，随的变化情况如下表：
,∴当即时,有一个交点；当即时，有两个交点；当时，，有一个交点、………………………13分综上可知，当或时，有一个交点；当时，有两个交点、…………………………………14分
5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数、（Ⅰ）若函数在处有极值，求的解析式；（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围、函数中任意性和存在性问题探究高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究
一、相关结论：结论1：；
【如图一】
结论2：；
【如图二】
结论3：；
【如图三】
结论4：；
【如图四】
结论5：的值域和的值域交集不为空；
【如图五】
【例题1】
XXXXX：已知两个函数;(1)
若对,都有成立，求实数的取值范围；(2)
若,使得成立，求实数的取值范围；(3)
若对,都有成立，求实数的取值范围；解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即。；当变化时，的变化情况列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+0－0+h(x)k-45增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为,所以，由上表可知，故k-
45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞)、小结：①对于闭区间I，不等式f(x)
≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0、由（1）可知
[h(x)]max= k+7，因此k+7≥0，即k∈[7,+∞)、(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3]、由二次函数的图像和性质可得, x∈[-3,3]时,
[f(x)]max=120－k、仿照（1），利用导数的方法可求得
x∈[-3,3]时,
[g(x)]min=－
21、由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞)、说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量、从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜、、
二、相关类型题：〈一〉、型；
形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则在x∈D上恒成立，则”、许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型、
例1 ：已知二次函数，若时，恒有，求实数a的取值范围、解：，∴；即；
当时，不等式显然成立，
∴a∈R、
当时，由得：，而
、∴、
又∵，∴，综上得a的范围是。
〈二〉、型
例2 已知函数，若对，都有成立，则的最小值为____、
解∵对任意x∈R，不等式恒成立，
∴分别是的最小值和最大值、
对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期、
又函数的周期为4，∴的最小值为
2、
〈三〉、、型
例3：
(xx湖北)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是( )
A、0
B、1
C、2
D、3
解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，
应是凸函数的性质，画草图即知符合题意；
〈四〉、、型
例4 已知函数定义域为，，若，时，都有，若对所有，恒成立，求实数取值范围、
解：任取，则，由已知，又，∴f，即在上为增函数、
∵，∴，恒有；
∴要使对所有，恒成立，即要恒成立，
故恒成立，令，只须且，
解得或或。
评注：
形如不等式或恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息、〈五〉、、型：
例5：
已知，，若当时，)恒成立，求实数t的取值范围、
解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零、
令，，∵
∴，即在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值、
∴，即。
〈六〉、型
例6：已知函数，若对任意，都有，求的范围、
解：因为对任意的，都有成立，
∴，∵，令得x＞3或x＜-1；得；∴在为增函数，在为减函数、
∵，∴、∴，∴。
〈七〉、（为常数）型；例7 ：已知函数，则对任意（）都有恒成立，当且仅当=____，=____时取等号、
解：因为恒成立，
由，易求得，，∴。
例8 ：已知函数满足：(1)定义域为；(2)方程至少有两个实根和；(3)过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于
1、
(1)证明|；
(2)证明：对任意，都有、
证明 (1)略；
(2)由条件(2)知，
不妨设，由(3)知，又∵；∴〈八〉、型
例9：
已知函数，对于时总有成立，求实数的范围、
解由，得，
当时，，∵，∴，
∴
评注由导数的几何意义知道，函数图像上任意两点连线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如|或(m＞0)型的不等式恒成立问题、考前寄语：①先易后难,先熟后生；②一慢一快：审题要慢,做题要快；③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；
④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略、