全等三角形的判定及应用

深圳市育才二中雷树养(2005.8)

一.全等三角形的判定方法：

1.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写为”SAS”)

2.有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写为”ASA”)

3.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写为”AAS”)

4.三边对应相等的两个三角形全等(简写为”SSS”)

特别地:斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为”HL”)

二.判定两个三角形全等的基本思路:

1.有两边对应相等时,找夹角或第三边对应相等.

2.有一边和一角对应相等时,找另一角相等或夹等角的另一边相等.

3.有两个角相等时,找一对对应边相等.

三.判定两个三角形全等的注意事项:

熟练判定方法,要善于寻找图形中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件，如果不能直接找到条件，就要考虑加辅助线，构造全等三角形。

四.三角形全等的主要应用于:

1.证明两线段相等;

2.证明两角相等

五.典型例题：

例1.如图,已知AC=DB,要使得⊿ABC ≌⊿DCB,只需要增加一个条件是＿＿＿＿＿＿＿．

(2001年安徽省中考题)

分析：因为BC 是公共边,又已知AC=BD,要使⊿ABC ≌⊿DCB,可利用SSS 或SAS 来说明.

解:AB=DC 或∠ACB=∠DBC

例2.如图,已知AC 、BD 交于点O,AC=BD. 求证:OA=OD

分析:要证明两线相等,可通过证明两三角形全等或证明等腰三角形来解决.本题直接

证明,条件不足.所以考虑作助线.

证明:连结AD,在⊿ABD 和⊿DCA 中,

∵AB=DC,BD=CA,AD=DA

∴⊿ABD ≌⊿DCA(SSS)

∴∠B=∠C

在⊿AOB 和⊿DOC 中,

∵∠AOB=∠DOC,∠B=∠C,AB=DC

∴⊿AOB ≌⊿DOC(AAS)

A B C

D O

∴OA=OD

或在证明了⊿ABD≌⊿DCA后,得∠ADB=∠DAC,∴OA=OD(等角对等边)

例3.如图:AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD

求证:AD=BC

分析:本题证明两线段相等,仍考虑证明两个三角形全等.但题目中的含AD、BC的两个三角形没有全等的条件.连结CD,会出现一组对应相等的条件,从而使问题得到解决.

证明:连结CD,在⊿ADC和⊿BCD中,由已知两个三角形是直角三角形,

又∵AC=BD,DC=CD ∴⊿ADC≌⊿BCD(HL) ∴AD=BC

A B

C D