吉林大学离散数学课后习题答案
第一章集合论基础
§1.1 基本要求
1. 掌握集合、子集、超集、空集、幂集、集合族的概念。懂得两个集合间相等和包含关系
的定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。熟悉常用的集合表示方法。
2. 掌握集合的基本运算：并、交、余、差、直乘积、对称差的定义以及集合运算满足的基
本算律，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。
3. 掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系的概念以及关系的性质：
自反性、对称性、反对称性、传递性。会做关系的乘积。了解关系的闭包运算：自反闭包、对称闭包、传递闭包。
4. 掌握等价关系、等价类、商集的概念，了解等价关系和划分的内在联系。
5. 掌握部分序关系、部分序集、全序关系、全序集的概念以及部分序集中的特殊元素：最
大元、最小元、极大元、极小元、上确界、小确界的定义。能画出有限部分序集的Hasse 图，并根据图讨论部分序集的某些性质。
6. 掌握映射、映像、1-1映射等概念，会做映射的乘积。了解可数集合的概念，掌握可数
集合的判定方法。
7. 了解关系在数据库中的应用（数据的增、删、改）以及划分在计算机中的应用。
§1.2 主要解题方法
1.2.1 证明集合的包含关系
方法一.用定义来证明集合的包含关系是最常用也是最基本的一种方法。要证明A?B，首先任取x∈A，再演绎地证出x∈B成立。由于我们选择的元素x是属于A的任何一个，而非特指的一个，故知给出的演绎证明对A中含有的每一个元素都成立。当A是无限集时，因为我们不能对x∈A，逐一地证明x∈B成立，所以证明时的假设“x是任取的”就特别重要。
例1.2.1 设A，B，C，D是任意四个非空集合，若A?C，B?D，则A×B?C×D。
证明：任取(x，y) ∈A×B，往证(x，y) ∈C×D。
由(x，y) ∈A×B知，x∈A，且y∈B。又由A?C，B?D知，x∈C，且y∈D，因此，(x，y) ∈C×D。故，A×B?C×D。
方法二.还有一种证明集合包含关系的方法，基于集合的交和并运算的两个基本性质
A?B?A?B=A?A?B=B
以及一些已经证出的集合等式。现在我们就用此方法将上例再证一次。
由下面例1.2.2证明的结论有（A×B）?（C×D）=（A?C）×（B?D），若A?C，B?D，则A?C=A，B?D=B，因此，（A×B）?（C×D）=A×B。因此，A×B?C×D。
1.2.2 证明集合的相等
方法一.若A，B 是有限集，要证明集合A=B当然可以通过逐一比较两集合所有元素均一一对应相等即可，但当A，B 是无限集时，一般通过证明集合包含关系的方法证得A?B，B?A即可。
例1.2.2 设A，B，C，D是任意四个集合，求证（A×B）?（C×D）=（A?C）×（B?D）。
证明：首先证明（A×B）?（C×D）?（A?C）×（B?D）。任取（x,y）∈（A×B）?（C×D），则（x,y）∈（A×B），且（x,y）∈（C×D），故x∈A，y∈B，x∈C，y∈D，即x∈A?C，y∈B?D，因此，（x,y）∈（A?C）×（B?D）。
由于以上证明的每一步都是等价的，所以上述论证反方向进行也是成立的。故可证得（A?C）×（B?D）?（A×B）?（C×D）。
因此，（A×B）?（C×D）=（A?C）×（B?D）。
方法二. 还有一种证明集合相等的方法，可以通过已证出的集合等式，通过相等变换将待证明的等式左（右）边的集合化到右（左）边的集合，或者两边同时相等变换到同一集合。
例1.2.2 设A，B，C是三个集合，已知A?B=A?C，A?B=A?C，求证B=C。
证法1：使用反证法。假设B≠C，则必存在x，满足x∈B，且x?C，或者x?B，且x∈C。不妨设x∈B，且x?C，
①若x∈A，则x∈A?B，但x?A?C，与A?B=A?C矛盾。
②若x?A，则x∈A?B，但x?A?C，与A?B=A?C矛盾。
所以原假设不对，B=C。
证法2：利用已知以及集合运算的交换律、分配律与吸收律，有
B = B?(A?B)
= B?(A?C)
= (B?A)?(B?C)
= (C?A) ?(B?C)
= C?(A?B)
= C?(A?C)
= C
1.2.3 判断给定关系的性质
给出一个关系，我们可以判断它是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性等性质，这既可以从以集合形式给出的关系来判断，也可以从关系的关系图或关系矩阵出发来进行判断。R的集合表达式、关系图、关系矩阵三者均可以相互唯一确定，比较关系的这三种表示方法容易看出：关系的集合表达式便于书写，关系矩阵便于存储，而关系图直观、清晰。
方法一.从关系的集合表达式判断关系的性质
设R为集合A 上的关系，
（1）若I A?R，则R具有自反性；
（2）若I A?R=φ，则R具有反自反性；
（3）若R-1=R，则R具有对称性；
（4）若R?R-1?I A，则R具有反对称性；
（5）若R2?R，则R具有传递性。
方法二.从关系图判断关系的性质
定义1.2.1 设A={x1，x2，…，x n}，R是A上的二元关系。以A中的元素为顶点，在图中用“。”表示顶点。若x i Rx j，则从顶点x i向x j引有向弧，称所画出的图为R的关系图，记作G(R)。
（1）若R的关系图中每点都有反身弧，则R具有自反性；
（2）若R的关系图中任意一点都没有反身弧，则R具有反自反性；
（3）在R的关系图中，如果两不同点之间有有向弧的话，那么就一定成对出现，则R 具有对称性；
（4）在R的关系图中，若任意两个不同点之间的有向弧都不成对出现，则R具有反对称性。
（5）对于R的关系图中的任意三点a,b,c，不存在这样的情形：有a到b的有向弧，b 到c的有向弧，但无a到c的有向弧，则R具有传递性。
方法三.从关系矩阵判断关系的性质
定义1.2.2 设A={x 1，x 2，…，x n }，R 是A 上的二元关系。称矩阵M(R)=（r ij ）n×n 为R 的关系矩阵，其中
r ij=??
?否则
,
0,1j i Rx x
（1）若R 的关系矩阵的主对角线元素都为1，则R 具有自反性； （2）若R 的关系矩阵的主对角线元素都为0，则R 具有反自反性； （3）若R 的关系矩阵为对称矩阵，则R 具有对称性；
（4）在R 的关系矩阵中，若以主对角线为对称的元素都不同时为1，则R 具有反对称性。
在关系矩阵中，若对{0,1}中的元素的加法使用逻辑加法（0+1=0，0+1=1+0=1+1=1），则对于任意的R ，S ?A×A ，均有 M(R ?S)=M(R)?M(S).
由此可见，可以使用矩阵的乘法（加法使用逻辑加法）来做关系的乘积，从而确定其集合表达式。故可以通过计算M(R 2)来判断R 是否具有传递性。
（5）如果M(R)2中某元素s ij =1，那么M(R)相应位置元素r ij 也一定为1，则R 具有传递性。
例1.2.3 设A={1，2，3，4}，R 是A 上的二元关系，R={（1，1），（3，1），（1，3），（3，3），（3，2），（4，3），（4，1），（4，2），（1，2）}
（1）画出R 的关系图； （2）写出R 的关系矩阵；
（3）说明R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性。 解：（1）R 的关系图如图1.1所示。
图1.1
（2）R 的关系矩阵M(R)是?????
????
???01
11
01110000
0111
（3）方法一：从集合形式给出的关系看，由于（2，2）?R ，故R 不具有自反性；由于（1，1）∈R ，故R 不具有反自反性；由于（3，2）∈R ，但（2，3）?R ，故R 不具有对称性；由于（3，1）∈R ，（1，3）∈R ，故R 不具有反对称性；经计算得
R 2={（1，1），（3，1），（1，3），（3，3），（3，2），（4，3），（4，1），（4，2），（1，2）} =R ，
故R 具有传递性。
方法二：从关系图上看，由于结点2处无反身弧，故R 不具有反自反性；由于（1，1）∈R ，故R 不具有反自反性；由于结点2与4之间的有向弧不是成对出现的，故R 不具有对称性；由于结点1和3之间的有向弧是成对出现的，所以R 不具有反对称性；由于不存在这样的情形：有a 到b 的有向弧，b 到c 的有向弧，但无a 到c 的有向弧，可见R 具有传递性。
方法三：从关系矩阵来看，由于关系矩阵主对角线元素不全是1，故R 不具有自反性；由于关系矩阵主对角线元素存在非零元素，故R 不具有反自反性；由于该矩阵不是对称矩阵，故R 不具有对称性；由于以主对角线为对称的元素有同时为1的，所以R 不具有反对称性；经计算可得
M(R 2
)= ?????
????
???01
11
011100000111= M(R)， 故可知，R 具有传递性。
1.2.4 求非空集合上的所有等价关系
非空集合A 上的一个等价关系R ，决定了A 上的一个划分，这个划分就是商集A/R ，由A/R 又确定了A 上的一个等价关系，这个等价关系实际上就是R 。同样，非空集合A 上的一个划分π确定了A 上的一个等价关系R ，由R 又决定了A 上的一个划分，即商集A/R ，这个商集A/R 实际上就是π。因此，在A 上的等价关系和A 上的划分之间建立了一个一一对应，A 上等价关系的数目和A 上的划分的数目是一样的。所以，要想求出非空集合A 上的所有等价关系，只需先求出A 上的所有划分，再找出由它们确定的等价关系即可。
例1.2.4 设A={a,b,c}，求出A 上的所有等价关系。 解：由第二类Stirling 数易知，A 上共有5个划分： п1={{a ，b ，c}}， п2={{a}，{b ，c}}， п3={{b}，{a ，c}}， п4={{c}，{a ，b}}， п5={{a}，{b}，{c}}。
因此，A 上的等价关系共有5个：
由п1确定的等价关系是A 上的全域关系E A ， 由п2确定的等价关系是I A ?{(b ，c)，(c ，b)}， 由п3确定的等价关系是I A ?{(a ，c)，(c ，a)}， 由п4确定的等价关系是 I A ?{(a ，b)，(b ，a)}， 由п5确定的等价关系是A 上的相等关系I A 。
1.2.5 判断可数集
要判断一个集合A 是否为可数集，大致有如下方法：
方法一. 按照可数集的定义， 若A 为有限集，则A 一定是可数集，否则若A 可与自然数集之间存在一个1-1映射，则A 为可数集。
方法二. 若A 中所有元素可某种规律排列出来，则A 是可数集。 方法三. 若A 是两个不相交的可数集的并集，则A 是可数集。 方法四. 若A 是某个已知是可数集的集合的子集，则A 是可数集。 方法五. 若A 是可数无穷多个可数集合的并集，则A 是可数集合。 方法六. 若A 是两个可数无穷集合的笛卡儿乘积，则A 是可数集合。 例1.2.5 证明全体整数做成的集合是可数集。 证法一：建立自然数集到整数集的映射σ如下：
??
?
??<+→>→=→0
1||20201x x x x x
x x x 若若若 显然，σ是自然数集到整数集的1-1映射。因此，整数集是可数集。
证法二：因整数集可排成如下次序： {0，1，-1，2，-2，3，-3，……}， 所以，整数集是可数集。
证法三：因自然数集{1，2，3，……}是可数集，所以将该集合中每个元素加负号得到的集合{-1，-2，-3，……}亦是可数集，{0}是有限集，当然可数，因此，这三个互不相交的可数集合的并集，即整数集，仍是可数集。
证法四：若已知有理数集合是可数集，则由于整数集是有理数集合的子集，因此，整数集是可数集。
由此例和方法五还知，Z ×Z 也是可数集。
1.2.6 部分序关系
求部分序集的极大元、极小元、最大元、最小元、上确界、下确界、Hasse 图的画法等，难度不大，只要基本概念清楚就能解答。
例1.2.6 设*，⊕是集合A 上的二元运算，对任意a,b,c ∈ A ，满足： （1）(a *b) *c=a *(b *c), (a ⊕b) ⊕c=a ⊕ (b ⊕c); （2）a *b=b *a, a ⊕b=b ⊕a;
（3）a *（b ⊕a ）= a, a ⊕（b *a ）= a 。 现在定义A 上的关系“≤”如下：
a≤b ? a *b=a,
试证明：
① ≤是A 上的部分序关系；
② 对任意a,b ∈A ，{a,b}均有一个上确界和下确界。
证明：①只需证明≤具有自反性、反对称性和传递性。
由题设“≤”关系的定义知，a≤b ?a*b=a,故a≤a ?a*a=a，因此要证明≤具有自反性，只需证明a*a=a。
而a*a = a*（a⊕（b*a））由（3）的第2式
= a*（（b*a）⊕a）由（2）的第2式
= a 由（3）的第1式
因此，a≤a，≤具有自反性。
对任意a,b∈A，如果a≤b且b≤a，由“≤”关系的定义知，a*b=a，且b*a=b，再由（2）的第1式知，a*b=b*a,，故a=b。因此，≤具有反对称性。
对任意a,b,c∈A，如果a≤b且b≤c，由“≤”关系的定义知，a*b=a，且b*c=b，故a*c=( a*b) * c
= a*(b*c) 由（1）的第1式
= a*b
=a，
因此，a≤c，≤具有传递性。
综上，≤是A上的部分序关系。
②对任意a，b∈A，
a*（a⊕b）= a*（b⊕a）由（2）的第2式
= a，由（3）的第1式
即，a≤a⊕b。
b*（a⊕b）=b，由（3）的第1式
即，b≤a⊕b。
故a⊕b是{a,b}的上界。
若c是{a,b}的上界，即a≤c，b≤c，则有a*c=a，且b*c=b，所以，
a⊕c=(a*c) ⊕c
=c⊕(a*c) 由（2）的第2式
=c，由（3）的第2式
同理，b⊕c=c，故
（a⊕b）⊕c= a⊕（b⊕c）= a⊕c=c，所以，
a⊕b）*c=（a⊕b）*（（a⊕b）⊕c）
=（a⊕b）*（c ⊕（a⊕b））由（2）的第2式
= a⊕b 由（3）的第1式
因此，a⊕b≤c。综上，a⊕b是{a,b}的上确界。
对任意a，b∈A，
（a*b）* a = a*（b*a）由（1）的第1式
= a*（a*b）由（2）的第1式
=（a*a）*b，由（1）的第1式
= a*b 由≤的自反性
所以，a*b≤a。
（a*b）* b = a*（b*b）由（1）的第1式
= a*b，由≤的自反性
故，a*b是{a,b}的下界。
若c是{a,b}的下界，即c≤a，c≤b，则有c*a=c，且c*b=c，所以，
c*( a*b)=( a*b) * c 由（2）的第1式
=a*(b*c) 由（1）的第1式
= a*(c*b) 由（2）的第1式
= a*c
= c*a 由（1）的第1式
= c
故，c≤a*b。
综上，a*b是{a,b}的下确界。
不难发现，例1.2.6中的两个运算*和⊕是对偶的，*是求下确界的运算，⊕是求上确界的运算，所以，A上的部分序关系又可以定义为：a≤b ?a⊕b=a。
§1.3第一章习题解答
1.3.1习题1.1解答
1设S = {2，a，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法哪些是对的，哪些是错的？
{a}∈S,{a}∈R,{a,4,{3}}?S,{{a},1,3,4}?R,R=S,{a}?S,{a}?R,φ?R,φ?{{a}}?R?E,{φ}?S,φ∈R,φ?{{3},4}。
解：{a}∈S ，{a}∈R ，{a，4，{3}} ? S ，{{a}，1，3，4 } ? R ，R = S ，{a}?S ，{a}? R ，φ? R ，φ? {{a}} ? R ? E ，{φ} ? S ，φ∈R ，φ? {{3}，4 } 2写出下面集合的幂集合
{a，{b}}，{1，φ}，{X，Y，Z}
解：设A={a，{b}}，则ρ(A)={ φ，{a}，{{b}}，{a，{b}}}；
设B={1，φ}，则ρ(B)= { φ，{1}，{φ}，{1，φ}}；
设C={X，Y，Z}，则ρ(C)= { φ，{X}，{Y}，{Z}，{X，Y }，{X，Z }，{ Y，Z }，{X，Y，Z}}；
3对任意集合A，B，证明：
(1)A?B当且仅当ρ(A)?ρ(B)；
(2)ρ(A)?ρ(B)?ρ(A?B)；
(3)ρ(A)?ρ(B)=ρ(A?B)；
(4)ρ(A-B) ?(ρ(A)-ρ(B)) ?{φ}。
举例说明：ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)
证明：(1)证明：必要性，任取x∈ρ(A)，则x?A。由于A?B，故x?B，从而x∈ρ(B)，于是ρ(A)?ρ(B)。
充分性，任取x∈A，知{x}?A，于是有{x}∈ρ(A)。由于ρ(A)?ρ(B)，故{x}∈ρ(B)，由此知x∈B，也就是A?B。
（2）证明：
任取X∈ρ(A)∪ρ(B)，则X∈ρ(A)或X∈ρ(B)
∴X?A或X?B
∴X?(A∪B)
∴X∈ρ(A∪B)
所以ρ(A)∪ρ(B) ?ρ( A∪B)
（3）证明：
先证ρ(A)∩ρ(B) ?ρ( A∩B)
任取X∈ρ(A)∩ρ(B)，则X∈ρ(A)且X∈ρ(B)
∴X?A且X?B
∴X? A∩B
∴X∈ρ( A∩B)
所以ρ(A)∩ρ(B) ?ρ( A∩B)
再证ρ( A∩B) ?ρ(A)∩ρ(B)
任取Y∈ρ(A∩B)，则Y? A∩B
∴Y?A且Y?B
∴Y∈ρ(A)且Y∈ρ(B)
∴Y∈ρ(A)∩ρ(B)
所以ρ( A∩B) ?ρ(A)∩ρ(B)
故ρ(A)∩ρ(B) = ρ( A∩B)得证。
举例：A={1}，B={a}
则ρ(A)={ φ，{1}}，ρ(B)={ φ，{a}}
ρ(A)∪ρ(B) = { φ，{1}，{a}}
A∪B={1，a}
ρ( A∪B)={ φ，{1}，{a}，{1，a}}
可见{1，a}∈ρ( A∪B)，{1，a}?ρ(A)∪ρ(B)
所以ρ(A)∪ρ(B)≠ρ( A∪B)
(4)对任意的集合x，若x=φ，则x∈ρ( A-B) 且x∈(ρ( A) -ρ( B))∪{φ}。若x≠φ，则x∈ρ( A-B)当且仅当x?( A-B)当且仅当x?A∧x?B当且仅当x∈ρ( A)∧x?ρ( B) 当且仅当x∈(ρ(A)-ρ(B))。综上所述，可知ρ(A-B) ?(ρ(A)-ρ(B)) ?{φ}。
4.设A,B,C为任意三个集合，下列各式对否？并证明你的结论。
（1）若A∈B且B?C，则A∈C；
（2）若A∈B且B?C，则A?C；
（3）若A?B且B∈C，则A∈C；
（4）若A?B且B∈C，则A?C。
解：（1）正确；（2）不正确，举一个反例即可；（3）不正确，举一个反例即可；（4）不正确，举一个反例即可。
5.对24名科技人员进行掌握外语情况的调查，其统计资料如下：会英、日、德、法语的人数分别是13，5，10和9。其中同时会英语、日语的人数为2。同时会说英语、德语或同时会说英语、法语，或同时会说德语、法语两种语言的人数均为4。会说日语的人既不会说法语也不会说德语。试求只会说一种语言的人数各为多少？同时会说英、德、法语的人数为多少？
解：设A，B，C，D分别代表会说英、日、德、法语人的集合。由已知条件知：
|A|=13，|B|=5，|C|=10，|D|=9，|A?B|=2，而|A?C|=|A?D|=|C?D|=4，|B?C|=|B?D|=|A?B?C|=|A?B?D|=|B?C?D|=|A?B?C?D|=0，
|A?B?C?D|=24。
对集合A，B，C，D应用容斥原理，并代如入已知条件得方程
24=37-14+|A?C?D|
于是|A?C?D|=1，这说明同时会说英、德、法语的人只有1人。
设只会说英、日、德、法语的人数分别是x1，x2，x3，x4，则
x1=|A|-|（B?C?D）?A|
=|A|-|（B?A ）?(C?A )?( A ?D)|
对B?A，C?A，A ?D应用容斥原理，得
x1=4。
同理可求出：x2=3，x3=3，x4=2。
1.3.2习题1.2解答
1.设A，B是两个集合，问在什么条件下有A?B?A成立？等号能成立吗？
解：当A或B为空集时能够成立；当A为空集时等号能够成立。
2.设A是m元集合，B是n元集合。问A到B共有多少个不同的二元关系？设A={a，b}，B={1，2}，试写出A到B上的全部二元关系。
解：A到B上共有2mn个二元关系。本题中A?B的全部子集φ，{(a,1)}，{(a,2)}，{(b,1)}，{(b,2)}，{(a,1),(a,2)}，{(a,1),(b,1)}，{(a,1),(b,2)}，{(a,1),(b,2)}，{(a,2),(b,1)}，{(a,2),(b,2)}，{(a,1),(a,2),(b,1)}，{(a,1),(a,2),(b,2)}，{(a,1),(b,1),(b,2)}，{(a,2),(b,1),(b,2)}，{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}为A到B的全部二元关系。
3.R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：
（1）(R?S)-1= S-1?R-1
（2）(R-1)-1= R
（3）(R∪S)-1= R-1∪S-1
（4）(R∩S)-1= R-1∩S-1
证明：
（1）先证(R?S)-1? S-1?R-1，对任意(x，y) ∈(R?S)-1，则(y，x) ∈(R?S)，则存在a∈A，满足(y，a) ∈R且(a，x) ∈S，那么(x，a) ∈S-1且(a，y) ∈R-1，所以(x，y) ∈ S-1?R-1，因此(R?S)-1?S-1?R-1；再证S-1?R-1?(R?S)-1，对任意(x，y) ∈ S-1?R-1，则存在a∈A，满足(x，a) ∈S-1且(a，y) ∈R-1，所以(y，a) ∈R且(a，x) ∈S，所以(y，x) ∈(R?S)，所以(x，y) ∈(R?S)-1，因此S-1?R-1?(R?S)-1。
（2）先证(R-1)-1? R，对任意(x，y) ∈(R-1)-1，则(y，x) ∈ R-1，则(x，y) ∈ R，所以(R-1)-1?R；再证R ?(R-1)-1，对任意(x，y) ∈ R，则(y，x) ∈ R-1，则(x，y) ∈(R-1)-1，所以R ?(R-1)-1。故(R-1)-1= R得证。
（3）先证(R∪S)-1? R-1∪S-1，对任意(x，y) ∈(R∪S)-1，则(y，x) ∈ R∪S，则(y，x) ∈ R 或(y，x) ∈S，则(x，y) ∈R-1或者(x，y) ∈S-1，所以(x，y)? R-1∪S-1，所以(R∪S)-1? R-1∪S-1；再证R-1∪S-1?(R∪S)-1，对任意(x，y) ∈ R-1∪S-1，则(x，y) ∈R-1或者(x，y) ∈S-1，则(y，x) ∈R或(y，x) ∈S，所以(y，x) ∈ R∪S，所以(x，y) ∈(R∪S)-1，所以R-1∪S-1?(R∪S)-1。故(R ∪S)-1= R-1∪S-1得证。
（4）先证(R∩S)-1? R-1∩S-1，对任意(x，y) ∈(R∩S)-1，则(y，x) ∈ R∩S，则(y，x) ∈ R 且(y，x) ∈S，则(x，y) ∈R-1且(x，y) ∈S-1，所以(x，y)? R-1∩S-1，所以(R∩S)-1? R-1∩S-1；再证R-1∩S-1?(R∩S)-1，对任意(x，y) ∈ R-1∩S-1，则(x，y) ∈R-1且(x，y) ∈S-1，则(y，x) ∈ R 且(y，x) ∈S，所以(y，x) ∈ R∩S，所以(x，y) ∈(R∩S)-1，所以R-1∩S-1?(R∩S)-1。故(R∩S)-1= R-1∩S-1得证。
4.设R是集合A上的关系，存在自然数i，j(i 解：用定理1.2.3的（2）证明之。 若p≤j-1，结论显然成立。设p≥j，则p>i，于是存在自然数k，m，使得 p=i+k(j-i)+m (0≤m≤j-i-1) =i+kq+m (q=j-i)。 于是，R p=R i+kq+m=R i+m。（由定理1.2.3的（2）得） 而i+m≤i+j-i-1=j-1，所以R p∈S。 5.设R是集合A上的关系，令 R+={(x, y)|x∈A，y∈A，并且存在n>0，使得xR n y}， 则称R+是R的传递闭包，证明：R+是包含R的最小具有传递性的关系。 证明： （1）证明R ? R+，对任意(x，y)∈R，即x R y，即存在n=1，使得x R n y，所以(x，y)∈R+，所以R ? R+； （2）证明R+具有传递性： 方法一：（根据传递性的定义）对于任意x，y，z∈A，若xR+y，yR+z，则存在m，n(m>0，n>0)，使得xR m y，yR n z，因此有xR m?R n z，即xR m+n z，所以xR+z，故R+具有传递性。 方法二：（根据定理1.2.4）对于任意(x，y)∈R+?R+，则存在a∈A，满足(x，a)∈R+，(a，y)∈R+，故存在m，n(m>0，n>0)，使得x R m a，a R n y，因此有xR m?R n y，即x R m+n y，所以xR+y，所以R+?R+? R+，故R+具有传递性。 （3）证明R+的最小性： 方法一：设任意的集合P，P ? R且P具有传递性，往证R+?P。 对任意的(x，y)∈R+，则存在n(n>0)，使得x R n y，若n=1，则有x R y，即(x，y)∈R，所以(x，y)∈ P；若n>1，则存在a1,a2,……,a n-2,a n-1，满足x R a1，a1 R a2，a2 R a3，……，a n-2 R a n-1，a n-1 R y，因为P ? R，所以有x P a1，a1 P a2，a2 P a3，……，a n-2 P a n-1，a n-1 P y，又P具有传递性，所以有x P y，即(x，y)∈ P，因此R+?P。 方法二：（用数学归纳法）设集合T(n)＝R∪R2∪R3∪R4∪…∪Rｎ(n>0)，根据R+的定义，有R+＝T(∞)，设任意的集合P，P ? R且P具有传递性，往证T(∞)?P。 用数学归纳法： 当ｎ＝１时，显然T(1)＝R ?P成立； 假设当n=k时，结论成立，即有 T(k)＝R∪R2∪R3∪R4∪…∪Rｋ?P 那么当ｎ＝k+1时 T(k+1)＝R∪R2∪R3∪R4∪…∪Rｋ∪Rｋ＋１ ＝T(k)∪Rｋ＋１ 根据假设有T(k)?P，这里只需证明Rｋ＋１?P即可。 对任意的(x，y)∈ Rｋ＋１，则存在a∈A，满足(x，a)∈ Rｋ, (a，y)∈ R，根据假设，Rｋ?T(k)?P，且由已知R?P，所以(x，a)∈ P , (a，y)∈P，又P具有传递性，所以(x，y)∈ P，故Rｋ＋１?P，从而T(k+1)?P成立。 因此，T(∞)?P，故R＋?P成立得证。 6.若关系R是反自反的，是对称的，试证明R不是传递的。 证明：反证法：假设R是传递的，对于任意(a，b)∈R，因为R是对称的，所以(a，b)∈R，则有(a，a)∈ R，这与R是不反身的矛盾，故假设不成立，原结论成立。 7.集合A上的关系是对称的，反对称的，试指明关系R的结构。 解：R的结构是A 中元素只可能与自身有关系。 8.若集合A上的关系R具有传递性，则R+=R。 证明：R+是包含R的最小具有传递性的关系，则对任意包含R的且有传递性的关系都包含R+，又因为R?R ，且R具有传递性，所以R+?R，又R+?R，所以R+＝R 9.设R是集合A上的关系，如果 1）对任意a∈A，都有a R a ； 2）若aRb，aRc，则bRc ； 证明：R是等价关系。 证明：根据已知，对任意a∈A，都有a R a，故R具有反身性； 对任意a、b∈A，若aRb，又有a R a，根据2），有bR a，故R具有对称性； 对任意a、b、c∈A，若a R b，b R c，又R具有对称性，则有bRa，bRc，根据2），有a R c，故R具有传递性 因此，R是等价关系。 10.有人说：“等价关系中的反身性可以不要，因为反身性可以从对称性和传递性推出：由对称性，从a ? b可得b ? a，再由传递性得a ?a”。你的意见呢？ 解：这种说法是错误的。对于任意a∈A，和一个A上的等价关系R，可能不存在a R b，也就推不出a R a了，而反身性则要求对于每一个a∈A，都有a R a。 11.若集合A上的关系R，S具有对称性，证明：R?S具有对称性的充要条件为R?S= S ?R。 证明： 充分性：若R?S= S?R，往证R?S具有对称性。 对于任意x，y∈A，若(x，y)∈ R?S，则存在a∈A，满足(x，a)∈R，(a，y)∈ S，又R，S具有对称性，所以有(y，a)∈ S，(a，x)∈ R，所以(y，x)∈ S?R，又S?R= R?S，故(y，x)∈ R?S，因此R?S具有对称性； 必要性：若R?S具有对称性，往证R?S= S?R。 先证R?S? S?R：对于任意(x，y)∈ R?S，因R?S具有对称性，则有(y，x)∈ R?S，则存在a∈A，满足(y，a)∈R，(a，x)∈ S，又R，S具有对称性，所以有(x，a)∈ S，(a，y)∈ R，所以(x，y)∈ S?R，故R?S? S?R； 再证S?R? R?S：对于任意(x，y)∈S?R，则存在a∈A，满足(x，a)∈ S，(a，y)∈ R，又R，S具有对称性，所以有(y，a)∈R，(a，x)∈ S，故(y，x)∈ R?S，因R?S具有对称性，所以(x，y)∈ R?S，故S?R? R?S； 因此，R?S= S?R得证。 12.若R是等价关系，试证明R-1也是等价关系。 证明：因为R是等价关系，所以R有对称性，所以有R= R-1，所以R-1也是等价关系。 13.对于实n阶方阵A，B，C，试证明下列关系是等价关系： 1）矩阵A，B等价，记以A?B，如果存在非奇异矩阵P，Q，使得B=P?A?Q； 2）矩阵A，B相似，记以A ~ B，如果存在非奇异矩阵P，使得B=P?A?P-1； 3）矩阵A，B合同，记以A ≡ B，如果存在非奇异矩阵P，使得B=P?A?P'，其中P'是P的转置矩阵。 1）证明：对于每一个实n阶方阵A，存在n阶单位矩阵I，满足A=I?A?I，故有A ? A，所以矩阵等价关系具有反身性； 对于任意的实n阶方阵A、B，若A ? B，则存在非奇异矩阵P、Q，满足B=P?A?Q，则A=P-1?B?Q-1，所以有B ? A，所以矩阵等价关系具有对称性； 对于任意的实n阶方阵A、B、C，若A ? B，B ?C，则存在非奇异矩阵P、Q、S 、T，满足B=P?A?Q，C=S?B?T，则C= (SP)?A?(QT)，所以有A ? C，所以矩阵等价关系具有传递性。 故矩阵的等价关系是等价关系。 2）证明：对于每一个实n阶方阵A，存在n阶单位矩阵I，满足A=I?A?I-1，故有A ~ A，所以矩阵相似关系具有反身性； 对于任意的实n阶方阵A、B，若A ~ B，则存在非奇异矩阵P，满足B=P?A?P-1，则A=P-1?B?P，即A=P-1?B?(P-1)-1，所以有B ~ A，所以矩阵相似关系具有对称性； 对于任意的实n阶方阵A、B、C，若A ~ B，B ~ C，则存在非奇异矩阵P、Q，满足B=P ?A?P-1，C= Q?B?Q-1，则C= (QP)?A?(P-1Q-1)，即C= (QP)?A?(PQ) -1，所以有A ~ C，所以矩阵相似关系具有传递性。 故矩阵的相似关系是等价关系。 3）证明：对于每一个实n阶方阵A，存在n阶单位矩阵I，满足A=I?A?I'，故有A ≡ A，所以矩阵合同关系具有反身性； 对于任意的实n阶方阵A、B，若A ≡ B，则存在非奇异矩阵P，满足B=P?A?P'，则A=P-1?B?(P') -1，即A=P-1?B?(P-1)'所以有B ≡ A，所以矩阵合同关系具有对称性； 对于任意的实n阶方阵A、B、C，若A ≡ B，B ≡ C，则存在非奇异矩阵P、Q，满足B=P ?A?P'，C= Q?B?Q'，则C= (QP)?A?(P'Q')，即C= (QP)?A?(PQ)'，所以有A ≡ C，所以矩阵合同关系具有传递性。 故矩阵的合同关系是等价关系。 14.试证明定理1.2.8。 证明：（1）由定理1.2.7和定义1.2.12知A/R为A的一个划分。 （2）由R c的定义知，对任意的x∈C有xR c x，即R c满足自反性。对任意的x∈C，y∈C 有xR c y且yR c x，即R c满足对称性。对任意的x∈C，y∈C，z∈C有xR c y，yR c z，并且xR c z 也成立，故R c满足传递性。综上R c是A上的等价关系。 15.设R是集合A上的关系，A'?A，定义A'上的关系R'如下： R'=R?( A'? A') 试确定下述断言的真假： （1）如果R传递，则R'传递。 （2）如果R为部分序关系，则R'也是部分序关系。 （3）如果（A,R）是全序集，则（A', R'）也是全序集。 (4) 如果（A,R）是良序集，则（A', R'）也是良序集。 解：（1）为真； （2）为真； （3）为真； （4）为真。 1.3.3习题1.3解答 1.证明：映射的乘法满足结合律，举例说明：映射的乘法不满足交换律。 证明：设ρ是集合A到集合B内的映射，σ是集合B到集合C内的映射，τ是集合C到集合D内的映射，对于任意a∈A，有 ( (τ?σ)?ρ)(a)= (τ?σ)(ρ (a) ) = τ(σ (ρ (a) ) ) (τ?(σ?ρ))(a)= τ((σ?ρ) (a) ) = τ(σ (ρ (a) ) ) 可见( (τ?σ)?ρ)(a)= (τ?(σ?ρ))(a)，所以映射的乘法满足结合律。 举例：设映射σ：a→b b→c c→a 映射τ：a→ c b→b c→ a 则(τ?σ)(a)= τ(σ (a) )= τ(b)=b (σ?τ)(a)= σ (τ (a) )= σ (c)=a 可见(τ?σ)(a) ≠ (σ?τ)(a)，映射的乘法不满足交换律。 2.将集合M中元素映射到自身的变换称为同一变换，记为I。设σ，τ是集合M上的两个变换，如果σ?τ=τ?σ=I，则σ，τ是1–1变换，并且τ=σ-1。 证明：（1）先证σ、τ分别是单映射。 对任意x1，x2∈M，如果σ(x1)= σ(x2)，则有 x1=I(x1)= (τ?σ) (x1)= τ(σ(x1) )= τ(σ(x2) )= (τ?σ) (x2) =I(x2)= x2 所以σ是单映射。 同理可证τ是单映射。 （2）再证σ、τ分别是满射。 因为σ和τ都是M到M的单映射，所以有σ(M) ? M，τ (M) ? M，于是 M =I (M)= (σ?τ) (M)= σ (τ (M) ) ?σ(M)， 同理A=I (M)= (τ?σ) (M)= τ (σ (M) ) ?τ (M)， 所以σ(M) = M，τ (M)= M，即σ、τ是满射。 （3）往证τ=σ-1。 由σ是1–1映射，故存在σ-1，对任意x ∈M， σ-1(x)= I (σ-1(x))= (τ?σ) (σ-1(x))= τ(σ (σ-1(x))= τ(x) 故τ=σ-1。 3.设σ是集合M到集合N内的映射，证明对M的任意子集A，B，有σ( A∩B) ?σ (A)∩σ (B)，举例说明：σ( A∩B) = σ (A)∩σ (B)不成立。 证明：对任意y∈σ(A∩B) ?N，则存在y的原象x，使得σ(x)=y，因y∈σ( A∩B)，所以 x∈A∩B，即x∈A并且x∈B，所以有y∈σ(A)且y∈σ(B)，即y∈σ (A)∩σ (B)，故σ( A∩B) ?σ (A)∩σ (B)。 例：设M={1，2，3，4}，A={1，2，3}，B={2，3，4} σ：1→a 2→b 3→c 4→a 则σ( A∩B)= σ( {2，3})={b，c} σ (A)∩σ (B)= {a，b，c}∩{a，b，c}={a，b，c} 4.设σ是集合M到集合N内的映射，A是N的子集，M中所有在σ下映射到A中的元素集合称为A的逆象集，记为σ-1 (A)，若A，B是N的任意子集，求证：σ-1 ( A∩B) = σ-1 (A)∩σ-1 (B)。 证明：先证σ-1 ( A∩B) ?σ-1 (A)∩σ-1 (B)。 对任意x∈σ-1( A∩B)，则σ(x)∈A∩B，所以σ(x)∈A且σ(x)∈B，那么x∈σ-1(A)且x∈σ-1 (B)，即x∈σ-1 (A)∩σ-1 (B)，故σ-1 ( A∩B) ?σ-1 (A)∩σ-1 (B)。 再证σ-1 (A)∩σ-1 (B) ?σ-1 ( A∩B)。 对任意x∈σ-1 (A)∩σ-1 (B)，则x∈σ-1 (A)且x∈σ-1 (B)，所以σ(x) ∈ A且σ(x)∈ B，即σ(x) ∈ A∩B，所以x∈σ-1 (A∩B)，故σ-1 (A)∩σ-1 (B) ?σ-1 ( A∩B)。 因此，σ-1 ( A∩B) = σ-1 (A)∩σ-1 (B)。 5.证明：若A1，A2，…，A n是可数集合，则A1? A2?…?A n是可数集合。 证明：采用归纳法，当k=2时，由定理 1.3.5知A1? A2={(a1i, a2j)|a1i∈A1, a2j∈A2}是可数集合。 假设k=n-1时，A1? A2?…?A n-1={(a1i, a2j, …, a(n-1)k)|a1i∈A1, a2j∈A2,…, a(n-1)k∈A n-1}是可数集合。则当k=n时， A1? A2?…?A n={(a1i, a2j, …, a(n-1)k, a ns)|a1i∈A1, a2j∈A2,…, a(n-1)k∈A n-1,a ns∈A n}。此集合相当于把A1? A2?…?A n-1中每个元素的小括号内符号序列作为一个元素与A n中每一个元素构成的有序对为元素作成的集合。由假设知A1? A2?…?A n-1可数，A n也是可数集合，故由归纳假设知这两个集合的直乘积构成的集合A1? A2?…?A n可数。归纳法完成。 6.证明：任意含有不可数子集的集合必是不可数集。 证明：假设含有不可数子集A1的集合A可数，则由定理1.3.2知A1可数，矛盾，故假设不成立。 7.证明：任何不可数集合均含有一可数无穷子集。 证明：设A为任一不可数集合，显然A≠φ，可设a0∈A。考虑A1=A-{ a0}，A1仍不可数。又有a1∈A1。再考虑A2=A1-{ a1}，A2仍为不可数集合。同样有a2∈A2，…，如此类推。令B={a0, a1, a2,…}，显然B?A，且对任一自然数n总有a n∈B，故B为一可数无穷子集。 8.证明：直线上互不相交的开区间为元素作成的集合是可数集。 证明：设互不相交的开区间可分别表示为 (a1, b1)，(a2, b2)，…，(a n, b n)，… 于是，每个(a i, b i)中至少有一个有理数q i，从而上述所有开区间的集合与有理数集合的一个 子集存在1-1映射。由于有理数集是可数集合，所以由直线上互不相交的开区间为元素作成的集合是可数集。 9.所有系数为整数的多项式集合是否为可数集合？为什么？ 答：所有系数为整数的多项式集合是可数集合。 证明：对于任意给定的非负整数n ，设所有n 次整系数多项式的集合记为A n ，我们证明A n 是可数集合。注意A n 与n 个整数集合的直乘积I ?…?I 存在1-1映射，故由习题5知，是可数集合。所以所有系数为整数的多项式集合可表示为 ∞ =0 i i A ，由定理1.3.4知这些多项 式构成的集合可数。 10.有理多项式的根称为代数数。证明所有有理系数多项式的集合是可数集合；其所有根的集合是可数集合。即所有代数数构成的集合是可数集合。 证明：仿上题证明可得所有有理系数多项式的集合是可数集合。设所有n 次有理系数多项式的集合记为A n ，则A n 是可数集合。令f(x)∈A n ，则f(x)根的个数≤n ，于是，所有n 次有理系数多项式根的集合B n 是可数集合。从而所有代数数构成的集合 ∞ =1 i i B 是可数集合。 11.非代数数的实数称为超越数，证明超越数集合是不可数集合。 证明：实数集合是由代数数和非代数数构成的，因为代数数构成的集合为可数集合，若超越数集合也是可数集合，则由定理1.3.4知由它们构成的实数集合是可数集合，这与实数是不可数集合矛盾，即假设不成立，从而超越数集合不可数。 12.自然数的所有序列作成的集合是否为可数集合？为什么？ 答：不是可数集合。 证明：设I 表示整数集合，则整数的所有序列作成的集合为I ?…?I ?…，且自然数的所有序列作成的集合与集合I ?…?I ?…等浓。所以我们只需证明I ?…?I ?…是不可数集合。设B={0，1，2，…，9}，则B ?…?B ?…是I ?…?I ?…的子集。采用类似定理1.3.6的证明方法，可证明B ?…?B ?…是不可数集合，因此自然数的所有序列作成的集合不是可数集合。 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作， 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ?，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) xG ?，在（a）(b)中均为真命题。 (x 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) F x∧ ?? x ? ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) F ?? x x→ (x ( H ) ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F y x G ? y ? ∧ x→ , ( )) ( H ) x ((y ( (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))),()(()((y x H x F x y G y →?∧?? 9.给定解释I 如下: (a) 个体域D 为实数集合R. (b) D 中特定元素=0. (c) 特定函数(x,y)=xy,x,y D ∈. (d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式 《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的） 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每 一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故 G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G 本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G= 数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r 国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021 离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{1,2}，{2,3}，{1,3}， A B {1,2,3}} ，A B= {< 1,1>，<1,2>，<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3， 2> } ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {< 2,2>，<2,3>，<>，<> } ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R－1＝ {< 6，3>，<8，4> } ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={ 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解：离散数学作业答案
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