一元函数积分学的应用
一元函数积分学的应用
一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。
一元积分主要分为不定积分
?dx x f )(和定积分?
b
a
dx x f )(。化为函数
图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。
积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。
微元法建立积分表达式
在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。
而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q
在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx
x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值
??==b a
b
a
dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限）
在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(=
。
定积分在几何中的应用
在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论：
一、 平面图形的面积
求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形
在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲
y
O
线)0()(≥=x f y 与直线
)
(,b a b x a x <==及 x 轴所围曲边梯形面积为 A ,则
x x f A d )(d = x
x f A b
a d )(?=
右图所示图形面积为
x
x f x f A b
a
d )()(21?-=
2、极坐标情形
0)(,],[)(≥∈θ?βαθ?C 设求由曲线
)(θ?=r 及
βθαθ==,射线围成的曲边扇形的面积 .
)
1f y =y
)
(2x f y =a
o
x x
x d +b
x
在区间
],[βα上任取小区间
]d ,[θθθ+则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
[]θθ?d )(21
d 2=
A 所求曲边扇形的面积为
θθ?βαd )(2
12
?=
A
二、 平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线段的最大 边长
→0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,则称此极
限为曲线弧 AB 的弧长 ,即
0lim
→=λs ∑
=n
i 1
i
i M M 1-并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(b x a x f y ≤≤=
弧长元素(弧微分) :
22)(d )(d d y x s +=x y d 12'+=
因此所求弧长
x y s b
a
d 12
?
'+=x
x f b
a
d )(12?
'+=
(2) 曲线弧由参数方程给出:
)()()
(βαψ?≤≤??
?==t t y t x
弧长元素(弧微分) :
2
2
)(d )(d d y x s +=t t t d )()(2
2
ψ?'+'=因此所求弧长
t
t t s d )()(22?
'+'=β
α
ψ?
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
)()(βθαθ≤≤=r r ,sin )(,cos )(θθθθr y r x ==令则得
弧长元素(弧微分) :
=s d θθθd )]([)]([22y x '+'θθθd )()(2
2r r '+=
因此所求弧长
y
θ
θθβ
α
d )()(22?
'+=r r s
三、 已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),
],[)(b a x A 在上连续,则对应
于小区间]d ,[x x x +的体积元素为x x A V d )(d =因此所求立体体积为
d
)(x A V b
a ?=
特别 , 当考虑连续曲线段轴绕x b x a x f y )()(≤≤=轴旋转一周围成的立体体积时,
有dx [f(x)]V 2
b
a
x ?=
π当考虑连续曲线段
)()(d y c y x ≤≤=?绕 y 轴旋转一周围成的立
体体积时,有=y V ?
d
c
2)]([y ?πdx
x
a
b x
y
o a
b
x
o
y
)
(y x ?=
说明:
也可按柱壳法求出
y V （以摆线为例）
?
??-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x
a
π2
??
?-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x
四、 旋转体的侧面积 设平面光滑曲线,],[)(1b a C x f y ∈=
,0)(≥x f 求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转
曲面的侧面积 .取侧面积元素:位于【x ，x+dx 】上的圆台的侧面积
dS=2πyds=2πf （x ）
x x f d )(12'+积分后得旋转体的侧面积
x
x f x f S b
a
d )(1)(22'+=?
π
注意：侧面积元素
s y S d 2d π=≠x y d 2π
2πydx 不是薄片侧面积△S 的线性主部。
若光滑曲线由参数方程)()()
(βαψ?≤≤??
?==t t y t x
给出，则它绕x 轴旋转一周所得旋转体的侧面积为
x
y
o
a
b
?
=β
α
S
)(2t ψπt t t d )()(2
2ψ?'+'
小结：1、平面图形的面积
边界方程：直角坐标方程 参数方程
?'?=2
1
d )()(t t t
t t A ?ψ
极坐标方程
θθ?βαd )(212
?=
A
2、平面曲线的弧长
弧微分：2
2)(d )(d d y x s +=
曲线方程：直角坐标方程 参数方程 极坐标方程
θθθd )()(d 22r r s '+=
3.已知平行截面面积函数的立方体体积
?=b
a
x
x A V d )(
旋转体的体积
x
y
o )
(x f y =b
)(x y y =：绕x 轴：2)(y x A π= 绕y 轴：y x x A π2)(=（柱壳法）
4、旋转体的侧面积
,)( x x y y =绕x 轴旋转，侧面积元素为dS=2πyds
（注意在不同坐标系下ds 的表达式）
定积分在物理学中的应用
在物理学中，一元积分主要应用于变力沿直线做功、液体的静压力、连续函数的平均值。下面让我们来分类讨论： 1、变力沿直线做功
在高中物理中，优势会碰到一些变力做功的问题，这些问题通常不能按一般恒力做功的方法进行求解，但可以利用微积分巧妙的进行解
决。
（1）水池抽水做功问题