东北大学管理科学与工程运筹学必备知识点

第一章线性规划与单纯性法

1、线性规划问题的数学模型及各要素的基本特征

线性规划问题的三个要素的基本特征

（1）决策变量：每一个问题都用一组决策变量 ( x1 , x2 ,… , x n )表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这些变量取值是非负且连续的。

（2）约束条件：存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。

（3）目标函数：都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

数学模型，其一般形式为：

标准型式为：

其中，x j(j=1,2,...,n)为决策变量，a ij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)为工艺系数，b i(i=1,2,..,m）为资源系数，

c j(j=1,2,...,n)为价值系数。

2、如何将线性规划问题转变为标准型

（1）若目标函数要实现最小化，minZ=CX。需将最小化转变为最大化，令Z’=-Z，的maxZ’=-CX。

（2）约束方程为不等式

A：约束方程为≤的不等式，左端加入非负松弛变量。

B: 约束方程为≥的不等式，左端减去非负松弛变量。

（3）若变量x k 无约束时，令x k=x k’-x k’’，x k’,x k’’≥0

3、可行解，基，基可行解，可行基的概念及相互关系

可行解：满足约束方程不等式，并且满足x k≥0，称为线性规划问题的可行解。其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。

基：设A是约束方程组m×n维系数矩阵，其秩为m，B是矩阵A中的m×m阶的非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。

基可行解：满足非负条件（x k≥0）的基解，称为基可行解。

可行基：基可行解对应的基，称为可行基。

4、解的几何意义

5、线性规划问题的几何意义

定理 1：“若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集”，要会证明。

引理 1：“线性规划问题的可行解X = ( x1 , x2 , ? , x n ) T为基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的”，要会证明（记住从必要性和充分性两方面证明）。

定理 2 “线性规划问题的基可行解 X 对应于可行域 D 的顶点。”要会证明（利用反证法，从两个方面证明）。

定理 3 “若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优”要会证明。

6、单纯形法求解线性规划的思路

一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数，这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小，决定下一步选择的单纯形。这就是迭代，直到目标函数实现最大值或最小值为止。（从可行域中的某个基可行解开

始到另一个基可行解，直到目标函数达到最优）

7、线性规划解的判别定理

8、单纯形法的计算步骤

9、单纯形法的进一步讨论

（1）大M法

在一个线性规划问题的约束条件中加进人工变量后，要求人工变量对目标函数取值不受影响，为此假定人工变量在目标函数中的系数为( - M) ( M为任意大的正数) ，这样目标函数要实现最大化时，必须把人工变量从基变量换出。否则目标函数不可能实现最大化。

（2）两阶段法

第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解；给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化。

然后用单纯形法求解上述模型，若得到ω= 0 ，这说明原问题存在基可行解，可以进行第二段计算。否则原问题无可行解，应停止计算。

第二阶段：将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量。将目标函数行的系数，换原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表。

10、退化解及勃兰特规则

退化：单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存在两个和两个以上最小比值，这样在下一次的迭代中就有一个或者几个基变量等于零，这就出现退化解。

勃兰特规则：（1）选取c j-z j>0中下标最小的非基变量x k为换入变量。

（2）当按θ规则存在两个和两个以上最小比值时，选取下标最小的基变量为换出变量时。

11、（实际问题）建立线性规划模型的条件

(1 ) 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数；

(2 ) 存在着多种方案；

(3 ) 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。

12、图解法

第二章对偶理论和灵敏度分析

1、对偶问题的基本性质

（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。

（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在CX≤Yb。

（3）无界性：若原问题( 对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题) 无可行解。

（4）可行解的最优性质：设X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，当C X = Y b 时，X，Y是最优解。

（5）对偶定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。

（6）互补松弛性：若X，Y分别是原问题和对偶问题的可行解。那么Y XS = 0 和 YS X= 0 ，当且仅当X，Y为最优解。

（必须都会证明）

2、对偶问题的经济解释——影子价格

*

y的值代表对第 i 种资源的估价。这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格，称它为i

“影子价格”。影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。

3、对偶单纯形法的计算步骤如下

4、对偶单纯行法与单纯行法的区别

对偶单纯行法是运用对偶原理求解原问题的一种方法，而不是求解对偶问题的单纯行法。它和单纯行法的主要区别在于：单纯行法是从一个原问题的基本可行解转到另一个基本可行解，即迭代中始终保持原问题

的基本可行解，常数列b≥0，δ则由正分量变成≤0。对偶单纯行法则是保持对偶问题是基本可行解（即检验数δ≥0），而原问题在非可行解（b≤0）的基础上逐步迭代达到基本可行解（b≥0）。

5、对偶单纯形法有以下优缺点

（1）初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时，就可以进行基的变换，这时不需要加入人工变量, 因此可以简化计算。

（2）当变量多于约束条件，对这样的线性规划问题，用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量，因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。

（3）在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中，有时需要用对偶单纯形法，这样可使问题的处理简化。

对偶单纯形法的局限性主要是，对大多数线性规划问题，很难找到一个初始可行基，因而这种方法在求解线性规划问题时很少单独应用。

6、改进单纯形法对单纯形法的改进

当用单纯形表求解线性规划问题时，每行每列的数字都需要进行计算，而有些行列的数字在下一步计算时并不需要，改进单纯形法通过矩阵运算求解线性规划问题。

第三章运输问题

1、运输问题的数学模型

产销平衡条件下运输问题的数学模型

2、表上作业法的步骤

（1）找出初始基可行解。

（2）求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则转到下一步。

（3）确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。在表上用闭回路法调整。

（4）重复（2），（3）直到得到最优解为止。

3、确定初始基可行解

（1）最小元素法

最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后次小。一直到给出初始基可行解为止。最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运费。

（2）伏格尔法

伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处，就应当采用最小运费调运。

伏格尔法同最小元素法除在确定供求关系的原则上不同，其步骤相同。伏格尔法给出的初始解比用最小元素法给出的初始解更接近最优解。

4、最优解的判别

（1）闭合回路法

需给每一空格找一条闭回路。用水平或者垂直线向前划，当碰到一数字格时可以转90度后，继续前进，直到回到起始空格为止。当产销点很多时，这种计算很繁。

（2）位势法

5、运输问题

一般运输问题是要把某种产品（或物资）从若干个产地调运到若干个销地，每个产地烦人产量、每个销地的销量和产销各地之间的单位运价（或运距）已知，要求确定出使总运输费用最小的运输方案。

第五章整数规划

1、整数规划

2、分值定界法

基本思想：设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问题B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优目标函数必是 A 的最优目标函数 z * 的上界，记作z；而 A 的任意可行解的目标函数值将是z * 的一个下界z。分支定界法就是将B 的可行域分成子区域(称为分支)的方法，逐步减小z和增大z，最终求到 z * 。

优缺点：可解纯整数规划问题和混合整数规划问题，它比穷举发优越，因为它只在一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比穷举法小，但变量数目很大时，计算量也较大。

3、割平面法

意义及原理：割平面法的基础仍然是用解线性规划的方法去解整数规划问题，首先不考虑变量 x i是整数这一条件，但增加线性约束条件（用几何术语，称为割平面）使得由原可行域中切割掉一部分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉任何整数可行解。这个方法就是指出怎样找到适当的割平面（不见得一次就找到），使切割后最终得到这样的可行域，它的一个有整数坐标的极点恰好是问题的最优解。

求切割方程的步骤：

4、指派问题

概念：在生活中经常遇到这样的问题，某单位需完成 n 项任务，恰好有 n 个人可承担这些任务。由于每人的专长不同，各人完成任务不同（或所费时间），效率也不同。于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高( 或所需总时间最小) 。这类问题称为指派问题或分派问题。

当指派问题要求极小化时数学模型是：

5、分值定界法求解最大化正数规划问题的步骤

6、隐枚举法

第八章动态规划的基本方法

1、动态规划的基本概念和基本方程

（1）阶段变量：把所给问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。描述阶段的变量称为阶段变量，常用 k 表示。

（2）状态：表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过，程的状况，又称不可控因素。

状态变量应具有无后效性（马尔科夫性）：如果某阶段状态给定后，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。换句话说，过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展，当前的状态是以往历史的一个总结。

（3）决策：决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时可以作出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。在最优控制中也称为控制。描述决策的变量，称为决策变量。

（4）策略：策略是一个按顺序排列的决策组成的集合。

（5）指标函数：用来衡量所实现过程优劣的一种数量指标，称为指标函数。对于，要构成动态规划模型的指标函数，应具有可分离性，并满足递推关系。

2、动态规划方法的基本思想

（1）动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推关系式和恰当的边界条件（简言之为基本方程）。要做到这一点，必须先将问题的过程分成几个相互联系的阶段，恰当地选取状态变量和决策变量及定义最优值函数，从而把一个大问题化成一族同类型的子问题，然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优，在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最优解，就是整个问题的最优解。

（2）在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前一段和未来各段分开又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答案一般是不同的。

（3）在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各段状态便可逐次变换得到，从而确定了最优路线。

3、建立动态规划模型的 5 个注意点

（1）将问题的过程划分成恰当的阶段；

（2）正确选择状态变量s k，使它既能描述过程的演变，又要满足无后效性；

（3）确定决策变量u k，及每阶段的允许决策集合D k( s k )；

（4）正确写出状态转移方程；

（5）正确写出指标函数V k,n的关系，它应满足下面三个性质：

①是定义在全过程和所有后部子过程上的数量函数；

②要具有可分离性, 并满足递推关系。即

V k,n ( s k , k k , ? , s n+1 ) = ψk [ s k , u k , V k + 1 , n ( s k + 1 , u k+1 , ? , s n+1 ) ]

③函数ψk ( s k , u k , V k +1,n) 对于变量 V k+1 , n要严格单调。

以上五点是构造动态规划模型的基础，是正确写出动态规划基本方程的关键。

4、动态规划的逆序递推方程和顺序递推方程

（1）逆序解法的基本方程：

（2）顺序解法的基本方程：

第九章动态规划应用举例

1、最优排序的规则

（1）先作工件的加工时间的工时矩阵；

（2）在工时矩阵 M 中找出最小元素( 若最小的不止一个，可任选其一)；若它在上行，则将相应的工件排在最前位置；若它在下行，则将相应的工件排在最后位置。

（3）将排定位置的工件所对应的列从M 中划掉，然后对余下的工件重复按( 2) 进行。但那时的最前位置(或最后位置) 是在已排定位置的工件之后(或之前)。如此继续下去,直至把所有工件都排完为止。

第十四章对策论基础

1、对策论的概念

对策论：对策论就是研究对策行为中斗争各方是否存在着最合理行动方案，以及如何找到最合理行动方案的数学理论和方法。

局中人：在一个对策行为（或一局对策）中，有权决定自己行动方案的对策参加者，称为局中人。通常用 I 表示局中人的集合。需要强调的一点是，在对策中总是假定每一个局中人都是“理智的”决策者或竞争者,即对任一局中人来讲，不存在利用其他局中人决策的失误来扩大自身利益的可能性。

策略集：一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案称为一个策略。参加对策的每

一局中人 i，i∈ I ，都有自己的策略集 S i。一般，每一局中人的策略集中至少应包括两个策略。

2、矩阵对策的基本原理

二人有限零和对策就是矩阵对策：是指只有两个参加对策的局中人，每个局中人都只有有限个策略可供选择。在任一局势下，两个局中人的赢得之和总是等于零，即双方的利益是激烈对抗的。

第十五章单目标决策

1、决策的分类

决策：决策是人们在政治、经济、技术以及日常生活中普遍遇到的一种选择方案的行为。其困难是如何从多种方案中作出正确的选择, 以便获得好的结果或达到预期的目标。

从不同的角度出发可得不同的决策分类：

（1）按性质的重要性分类。可将决策分为战略决策、策略决策和执行决策，或叫战略计划、管理控制和运行控制；

（2）按决策的结构分类。分为程序决策和非程序决策。

（3）按定量和定性分类。分为定量决策和定性决策，描述决策对象的指标都可,以量化时可用定量决策，否则只能用定性决策。总的发展趋势是尽可能地把决策问题量化。

（4）按决策环境分类。可将决策问题分为确定型的、风险型的和不确定型的三种。确定型的决策是指决策环境是完全确定的, 作出的选择的结果也是确定的。

风险型决策是指决策的环境不是完全确定的，而其发生的概率是已知的。

不确定型决策是指决策者对将发生结果的概率一无所知，只能凭决策者的主观倾向进行决策。

（5）按决策过程的连续性分类。可分为单项决策和序贯决策。

2、决策过程

构造人们决策行为的模型主要有两种方法：一种是面向决策结果的方法；另一种是面向决策过程的方法。

面向决策结果的方法认为：若决策者能正确地预见到决策结果，其核心是决策的结果和正确的预测。通常的单目标和多目标决策是属这类型的。

面向决策过程的方法认为：若决策者了解了决策过程，掌握了过程和能控制过程，他就能正确地预见决策的结果。

3、决策模型的构成要素

（1）决策者：其任务是进行决策。决策者可以是个人、委员会或某个组织。一般指领导者或领导集体。

（2）可供选择的方案：了解研究对象的属性，确定目的和目标。

（3）准则：是衡量选择方案的标准。

（4）事件：不为决策者所控制的客观存在的将发生的状态。

（5）结果：每一事件的发生将会产生某种结果，如获得收益或损失。

（6）决策者的价值观：如决策者对货币额或不同风险程度的主观价值观念。

4、不确定型决策

概念：指决策者对环境情况一无所知。这时决策者是根据自己的主观倾向进行决策，由决策者的主观态度不同基本可分为四种准则：悲观主义准则、乐观主义准则、等可能性准则、最小机会准则。

基本特征：决策过程中含有不确定性因素，且无法确定其发生的概率。

决策准则：悲观主义准则、乐观主义准则、等可能性准则、最小机会准则。

悲观主义决策准则亦称保守主义决策准则。当决策者面临着各事件的发生概率不清时，决策者考虑可能

由于决策错误而造成重大经济损失。由于自己的经济实力比较脆弱，他在处理问题时就较谨慎。他分析各种最坏的可能结果，从中选择最好者，以它对应的策略为决策策略。

乐观主义(max max)决策准则的决策者对待风险的态度与悲观主义者不同，当他面临情况不明的策略问题时，他绝不放弃任何一个可获得最好结果的机会，以争取好中之好的乐观态度来选择他的决策策略。

等可能性( Laplace)准则是 19 世纪数学家 Laplace 提出的。他认为：当一个人面临着某事件集合，在没有什么确切理由来说明这一事件比那一事件有更多发生机会时，只能认为各事件发生的机会是均等的。决策者计算各策略的收益期望值，然后在所有这些期望值中选择最大者， 以它对应的策略为决策策略。

最小机会损失决策准则亦称最小遗憾值决策准则或 Savage 决策准则。其含义是：当某一事件发生后，由于决策者没有选用收益最大的策略，而形成的损失值。

折中主义准则，令α为乐观系数，且0≤α≤1，并用以下关系式表示min max )1(a αa αH i -+=

5、风险决策

风险决策的概念：风险决策是指决策者对客观情况不甚了解，但对将发生各事件的概率是已知的。决策者往往通过调查，根据过去的经验或主观估计等途径获得这些概率。在风险决策中一般采用期望值作为决策准则，常用的有最大期望收益决策准则和最小机会损失决策准则。

最大期望收益决策准则(expected monetary value, EMV)：决策矩阵的各元素代表“策略—事件”对的收益值， 各事件发生的概率为 p j 先计算各策略的期望收益值：∑j

ij

j a

p 。然后从这些期望收益值中选取最

大者，它对应的策略为决策应选策略。

最小机会损失决策准则(expected opportunity loss,EOL)：矩阵的各元素代表“策略—事件”对的机会损失值，各事件发生的概率为 p j , 先计算各策略的期望损失值：∑j

ij

j a

p '

。然后从这些期望损失值中选

取最小者，它对应的策略应是决策者所选策略。即

6、主观概率

风险决策时决策者要估计各事件出现的概率，而许多决策问题的概率不能通过随机试验去确定，根本无法进行重复试验。如估计某企业倒闭的可能性，只能由决策者根据他对这事件的了解去确定。这样确定的概率反映了决策者对事件出现的信念程度， 称为主观概率。

确定主观概率一般采用直接估计法和专家估计法。

7、 贝叶斯公式

贝叶斯公式：它体现了最大限度的利用现有信息，并加以连续观察和重新估计，其步骤为: ① 先由过去的经验或专家估计获得将发生事件的事前(先验) 概率。 ② 根据调查或试验计算得到条件概率，利用贝叶斯公式：

计算出各事件的事后(后验) 概率。

8、效用理论在决策中的应用

效用（曲线）的概念、性质：经济管理学家将效用作为指标，用它来衡量人们对某些事物的主观价值、态度、偏爱、倾向等。用效用这指标来量化决策者对待风险的态度，可以给每个决策者测定他的对待风险的态度的效用曲线( 函数)。通过效用这指标可将某些难于量化有质的差别的事物(事件) 给予量化。可将要考虑的因素都折合为效用值。得到各方案的综合效用值，然后选择效用值最大的方案，这就是最大效用值决策准则。

效用曲线可分为: 保守型、中间型、冒险型三种。具有中间型效用曲线的决策者，他认为他的收入金额的增长与效用值的增长成等比关系；具有保守型效用曲线的决策者，他认为他对损失金额愈多愈敏感，相反地对收入的增加比较迟钝，即他不愿承受损失的风险；具有冒险型效用曲线的决策者，他认为他对损失金额比较迟钝，相反地对收入的增加比较敏感，即他可以承受损失的风险。这是三种典型，某一决策者可能兼有三种类型。

9、决策树

序列决策：有些决策问题，当进行决策后又产生一些新情况，并需要进行新的决策，接着又有一些新情况，又需要进行新的决策。这样决策、情况、决策??构成一个序列，这就是序列决策。

决策树的概念：决策树是由决策点，事件点及结果构成的树形图。一般选用最大收益期望值和最大效用期望值或最大效用值为决策准则。

求解步骤：

10、灵敏度分析的意义

通常在决策模型中自然状态的概率和损益值往往由估计或预测得到的，不可能十分正确，此外实际情况也在不断的变化，分析为决策所用的数据可在多大范围内变动，原最优决策方案继续有效，这种分析称为灵敏度分析。

11、全情报价值（EVPI）

当决策者耗费了一定经费进行调研，获得了各事件发生概率的信息，应采用“随机应变”的战术。这时所得的期望收益称为全情报的期望收益记作 EPPL。这收益应当大于至少等于最大期望收益，即 EPPL≥EMV* 。则EP PL - EMV* = EVPI称为对全情报的价值。这就是说明获取情报的费用不能超过 EVPI 值，否则就没有增加收入。