数理逻辑考试题及答案
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案
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一、命题逻辑基本知识（5分）
1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）
（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。
解：?p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。
（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。
解：q→?p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。
（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。
解：?r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。
（3）小王与小张是亲戚。
解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。
2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分）
（0）A：(?(p?q)→((p∧?q) ∨(?p∧q)))∨ r
（1）B：(p∧?(q→p)) ∧(r∧q)
（2）C：(p??r) →(q?r)
（3）E：p→(p∨q∨r)
（4）F：?(q→r) ∧r
解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。
3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分）
（0）设y=2|x|，x为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。
解：设y=2|x|，x为实数。令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，p为假，q为真。本题推理符号化为：(p→q) ∧q→p。由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。（1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。
解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，s=0。本题推理符号化为：((p ∧ q) →s) ∧p ∧q) →(r ∨ s)。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。
二、命题逻辑等值演算（5分）
1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共2分）
（0）求公式p→((q∧r) ∧(p∨(?q∧?r)))的主析取范式。
解：p→((q∧r) ∧(p∨(?q∧?r)))??p∨(q∧r∧p) ∨(q∧r∧?q∧?r)
??p∨(q∧r∧p) ∨0 ? (p∧q∧r) ∨? (?p∧1∧1) ∨(q∧r∧p)
? (?p∧(q∨?q)∧(r∨?r)) ∨(q∧r∧p) ? (?p∧(q∨?q)∧(r∨?r)) ∨m7
? (?p∧?q∧?r)∨(?p∧?q∧r)∨(?p∧q∧?r)∨(?p∧q∧r)∨m7
?m0∨m1∨m2∨m3∨m7.
（1）求公式?(?(p→q)) ∨(?q→?p)的主合取范式。
解：?(?(p→q)) ∨ (?q→?p)?(p→q) ∨ (p→q) ? (p→q)
??p∨q ? M2.
（2）求公式(p→(p∨q)) ∨r的主析取范式。
解：(p→(p∨q)) ∨r ??p∨ (p∨q) ∨r ? (?p∨p∨q∨ r) ?1
?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.
2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共3分）
（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。
乙预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。
丙预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。
村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？解：设P1：赵炼玉为村长，p2：钱谷王为村长，p3：孙竹湾为村长，
q1：赵炼玉为村支书，q2: 钱谷王为村支书，r1：赵炼玉为村妇女主任。
判断公式F?( (p1∧?q2) ∨ (?p1∧q2)) ∧ ( (p3∧?q1) ∨ (?p3∧q1)) ∧ ( (p2∧?r1) ∨ (?p2∧r1)) ??p1∧q2∧p3∧?q1∧?q2∧r1?1?q2∧p3∧∧r1，
由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。
说明：p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。
（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。选派条件是：
①若赵去，钱也去。②李、周两人必有一人去。
③钱、孙两人去且仅去一人。④孙、李两人同去或同不去。
⑤如周去，则赵、钱也同去。如何选派他们出国？
解：①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去。
②(1) (p→q) (2) (s∨u) (3) ((q∧?r)∨(?q∧r))
(4) ((r∧s)∨(?r∧?s)) (5) (u→(p∧q))
③(1) ~ (5)构成的合取式为：
A= (p→q)∧(s∨u)∧((q∧?r)∨(?q∧r))∧ ((r∧s)∨(?r∧?s))∧(u→(p∧q))
? (?p∧?q∧r∧s∧?u)∨(p∧q∧?r∧?s∧u)
由此可知，A的成真赋值为00110与11001，
因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。
三、命题逻辑推理（5分）
在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共5分）（0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。现在的情况是张老师与李老师都要出国。所以，王老师不出国，则孙老师出国。
解：形式化：
p：张老师出国；q：李老师出国；r：王老师出国；s：孙老师出国。
前提：p→(q→r)，p∧q
结论：?r→s
证明：①p→(q→r) 【前提引入】
②?p∨ (?q∨r) ? p∧q→r 【①置换】
③p∧q 【前提引入】
④r 【②③假言推理】
⑤r ∨s 【④附加规则】
⑥?? r∨s 【⑤置换】
⑦?r→s 【⑥置换】证毕。
（1）若张同学与李同学是乐山人，则王同学是雅安人，若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而，王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。所以，李同学不是乐山人。
解：形式化：
p：张同学是乐山人；q：李同学是乐山人；r：王同学是雅安人；s：王同学喜欢吃雅鱼。
前提：(p∧q)→ r，r→ s，?s，p
结论：?q
证明：①(p∧q)→ r 【前提引入】
②r→ s 【前提引入】
③(p∧q)→ s 【①②假言三段论】
④?s 【前提引入】
⑤?(p∧q) 【③④拒取式】
⑥?p∨?q 【⑤置换】
⑦p 【前提引入】
⑧?q 【⑥⑦析取三段论】
证毕。
（2）若n是偶数并且大于5，则m是奇数。只有n是偶数，m才大于6。现有n大于5。所以，若m大于6，则m是奇数。
解：形式化：
p：n是偶数；q：n大于5；r：m是奇数；s：m大于6。
前提：(p∧q)→ r，s→ p，q
结论：s→ r
证明：①q 【前提引入】
②?s∨q 【①附加规则】（这是证明的关键）
③s→ q 【②置换】
④s→ p 【前提引入】
⑤(s→ q）∧q（s→ p）【③④合取】
⑥s→(p∧q ) 【⑤置换】
⑦(p∧q)→ r 【前提引入】
⑧s→r 【⑥⑦假言三段论】
证毕。
四、一阶逻辑的基本概念（5分）
1、一阶逻辑命题形式化（总共6题，完成的题号为学号尾数取6的余，完成1题。共2分）
（0）人人都生活在地球上。
解：?x(F(x) →G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x生活在地球上。
（1）有的人长着金色的头发。
解：?x (F(x) ∧G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x长着金色的头发。
（2）没有能表示成分数的无理数。
解：??x (F(x) ∧G(x))，其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x能表示成分数。
（3）说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。
解：??x?y (F(x) ∧ G(y)→S(x,y))，其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。（4）有的学生不住在校内。
解：?x (F(x) ∧?G(x))，其中，F(x)：x是学生，G(x)：x住在校内。
（5）说有的男人比所有的女人力气大是正确的。。
解：?x (F(x) ∧?y(G(x)→S(x,y)))，
其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。
2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共3分）
（0）?x(F(x) ∨ G(x))
解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。
则在I1解释下，?x(F(x) ∨ G(x))为真命题。
取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是中国人，G(x)：x是美国人。
则在I2解释下，?x(F(x) ∨ G(x))为假命题。
（1）?x(F(x) ∧ G(x) ∧ H(x))
解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是教师，G(x)：x是党员，H(x)：x是班主任。
则在I1解释下，?x(F(x) ∧ G(x) ∧ H(x))为真命题。
取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，H(x)：x是班主任。
则在I2解释下，?x(F(x) ∧ G(x) ∧ H(x))为假命题。
（2）?x(F(x) ∧?y( G(y) ∧ H(x,y)))
解：取解释I1：个体域为整数集合，F(x)：x是正整数，G(x)：x是负整数，H(x,y)：x比y大。则在I1解释下，?x(F(x) ∧?y( G(y) ∧ H(x,y)))为真命题。
取解释I2：个体域为自然数集合，F(x)：x是奇数，G(x)：x是偶数，H(x,y)：x比y大。则在I2解释下，?x(F(x) ∧?y( G(y) ∧ H(x,y)))为假命题。
五、一阶逻辑等值演算（5分）
1、证明等值式（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共1分）
（0）证明等值式：?x(A(x)→B)??x A(x)→B。
证明：?x(A(x)→B) ??x(?A(x)∨B) ??x?A(x)∨B
???x A(x)∨B ??x A(x)→B。
（1）证明等值式：?x(A(x)→B)??xA(x)→B。
解：?x(A(x)→B) ??x (?A(x)∨B) ??x?A(x)∨B
???x A(x)∨B ??x A(x)→B
2、给出下列公式的前束范式（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）
（0）??x(F(x) →G(x))
解：??x(F(x) →G(x)) ??x?(?F(x) ∨G(x)) ??x (F(x) ∧?G(x))
（1）??x(F(x) ∧ G(x))
解：??x(F(x) ∧ G(x)) ??x ?(F(x) ∧G(x)) ??x (?F(x) ∨?G(x)) ??x (F(x) →?G(x))
（2）?yF(x,y) ∧?xG(x,y,z)
解：?yF(x,y) ∧?xG(x,y,z) ??yF(u,y) ∧?xG(x,v,z) ??y ?x (F(u,y) ∧G(x,v,z))
（3）?xF(x) →?y (G(x,y) ∧H(x,y))
解：?xF(x) →?y (G(x,y) ∧H(x,y)) ??zF(z) →?y (G(x,y) ∧H(x,y))
??z(F(z) →?y (G(x,y) ∧H(x,y))) ??z?y(F(z) →(G(x,y) ∧H(x,y)))
3、例证（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分）
（0）举例说明“?对∨无分配律”。
解：?对∨无分配律指：不存在等价关系?x(A(x) ∨B(x))??xA(x) ∨?xB(x)。例如，取解释I：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。?x(A(x) ∨B(x))的真值为真，而?xA(x) ∨?xB(x)的真值为假。
（1）举例说明“?对∧无分配律”。
解：?对∧无分配律指：不存在等价关系?x(A(x) ∧B(x)) ??x A(x)∧?x B(x)。例如，取解释I：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。?x (A(x) ∧B(x))的真值为假，而?x A(x) ∧?x B(x))的真值为真。
六、一阶逻辑推理（5分）
在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共5分）（0）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽车。所以，有的人不喜欢步行。（个体域为人类集合）
解：形式化：
F(x)：x喜欢步行；G(x)：x喜欢骑自行车；H(x)：x喜欢乘汽车。
前提：?x(F(x) →?G(x))，?x(G(x) ∨H(x))，?x?H(x)
结论：?x?F(x)
证明：①?x(F(x) →?G(x)) 【前提引入】
②F(y) →?G(y) 【?- 】
③?x(G(x) ∨H(x)) 【前提引入】
④G(y) ∨H(y) 【?- 】
⑤?G(y) →H(y) 【④置换】
⑥F(y) →H (y) 【②⑤假言三段论】
⑦?H(y) →?F (y) 【⑥置换】
⑧?H(y) →?x ?F (x) 【⑦?+ 】
⑨?x?H(x) →?x ?F (x) 【⑧?+ 】
⑩?x?H(x) 【前提引入】
⑾?x ?F (x) 【⑨⑩假言推理】
证毕。
（1）每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且聪明。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合）解：形式化：
F(x)：x是科学工作者；G(x)：x刻苦钻研；H(x)：x聪明；I(x)：x事业成功；a:王大海。
前提：?x(F(x) →G(x))，?x(G(x) ∧H(x) →I(x))，F(a)，H(a)。
结论：I(a)
证明：①F(a) 【前提引入】
②?x(F(x) →G(x)) 【前提引入】
③F(a) →G(a) 【②?-】
④G(a) 【①③假言推理】
⑤H(a) 【前提引入】
⑥?x(G(x) ∧H(x) →I(x)) 【前提引入】
⑦G(a) ∧H(a) →I(a) 【⑥?- 】
⑧G(a) ∧H(a) 【④⑤合取】
⑨I(a) 【⑦⑧假言推理】
证毕。