高中物理 第4章 习题课：共点力平衡条件的应用学案5 沪科版必修1

习题课：共点力平衡条件的应用

[学习目标定位] 1.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件.2.掌握矢量三角形法解共点力作用下的平衡问题.3.掌握动态平衡问题的分析方法.4.掌握整体法和隔离法分析连接体平衡问题．

1．共点力作用的平衡状态：物体在共点力作用下，保持静止或匀速直线运动状态．

2．共点力作用下的平衡条件是合力为零，即F合＝0，用正交分解法表示的平衡条件：F x合＝0，F y合＝0.

3．平衡条件的四个常用推论：

(1)二力平衡时，二力等大、反向．

(2)三力平衡时，任意两力的合力与第三个力等大、反向．

(3)多力平衡时，任一个力与其他所有力的合力等大、反向．

(4)物体处于平衡状态时，沿任意方向上分力之和均为零.

一、矢量三角形法(合成法)求解共点力平衡问题

物体受多力作用处于平衡状态时，可用正交分解法求解，但当物体受三个力作用而平衡时，可用矢量三角形法，即其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形，通过解三角形求解相应力的大小和方向，当这个三个力组成含有特殊角(60°、53°、45°)的直角三角形时尤为简单．

例1在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图1所示．仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小，那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(试用矢量三角形法和正交分解法两种方法求解)

图1

答案F＝mg tan θ

解析

甲

取金属球为研究对象，有风时，它受到三个力的作用：重力mg 、水平方向的风力F 和金属丝的拉力T ，如图甲所示．这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零，可以根据任意两力的合力与第三个力等大、反向求解，也可以用正交分解法求解．

解法一 矢量三角形法

如图乙所示，风力F 和拉力T 的合力与重力等大反向，由矢量三角形可得：F ＝mg tan θ. 解法二 正交分解法

以金属球为坐标原点，取水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立直角坐标系，如图丙所示．由水平方向的合力F x 合和竖直方向的合力F y 合分别等于零，即

F x 合＝T sin θ－F ＝0，F y 合＝T cos θ－mg ＝0，

解得F ＝mg tan θ.由所得结果可见，当金属球的质量m 一定时，风力F 只跟偏角θ有关．因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小．

针对训练 如图2所示，一质量为1 kg 、横截面为直角三角形的物块ABC ，∠ABC ＝30°，物块BC 边紧靠光滑竖直墙面，用一推力垂直作用在AB 边上使物块处于静止状态，则推力F 及

物块受墙的弹力为多少？(g ＝10 m/s 2)

图2

答案 20 N

10 3 N

解析 物块受重力G ，推力F 和墙的弹力N 作用，如图所示，由平衡条件知，F 和N 的合力与重力等大反向．

故有F ＝G sin 30°＝1×10 N 1

2

＝20 N N ＝G tan 60°＝1×10× 3 N

＝10 3 N

二、动态平衡问题

所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，这类问题的解决方法一般用图解法和相似三角形法．

1．图解法

(1)特征：物体受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，大小、方向均不变化，另两个是变

力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均变化的力．

(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，利用图解法判断两个变力大小、方向的变化．

2．相似三角形法

(1)特征：物体一般也受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，另两个是大小、方向都变化的力．

(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，找到题目情景中的结构三角形，这时往往三个力组成的力三角形与此结构三角形相似．利用三角形的相似比判断出这两个变力大小的变化情况．

例2如图3所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中( )

图3

A．小球对薄板的压力增大

B．小球对墙的压力减小

C．小球对墙的压力先减小后增大

D．小球对薄板的压力不可能小于球的重力

解析根据小球重力的作用效果，可以将重力G分解为使球压板的力F1和

使球压墙的力F2，作出平行四边形如图所示，当θ增大时，F1、F2均变小，而且在θ＝90°时，F1有最小值，等于G，所以B、D项均正确．

答案BD

例3如图4所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个光滑小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮．今缓慢拉绳使小球从A 点沿半球面滑到半球顶点，则此过程中，半球对小球的支持力大小N及细绳的拉力F大小的变化情况是( )

图4

A．N变大，F变大B．N变小，F变大

C．N不变，F变小D．N变大，F变小

解析小球受力如图甲所示，F、N、G构成一封闭三角形

由图乙可知F/AB＝N/OA＝G/OB

F＝G·AB/OB N＝G·OA/OB

AB变短，OB不变，OA不变，

故F变小，N不变．

答案C

三、整体法与隔离法分析连接体平衡问题

1．隔离法：为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况．一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．

2．整体法：当只涉及系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可把整个系统看成一个物体，画出系统整体的受力图，然后利用平衡条件求解．

注意隔离法和整体法常常需要交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快．例4如图5所示，A、B两个物体的质量都是1 kg，现在它们在拉力F的作用下相对静止一起向右做匀速直线运动．已知A、B之间的动摩擦因数μAB＝0.1，B与地面间的动摩擦因数μB地＝0.2.g＝10 m/s2.则两个物体在匀速运动的过程中，

图5

(1)对A、B分别画出完整的受力分析．

(2)A、B之间的摩擦力大小为多少．

(3)拉力F的大小为多少．

解析(1)以A为研究对象，A受到重力、支持力作用；以B为研究对象，B受到重力、支持力、压力、拉力、地面对B的滑动摩擦力作用，如图所示．

(2)对A：由二力平衡可知A、B之间的摩擦力为0.

(3)以A、B整体为研究对象，

由于两物体一起做匀速直线运动，

所以受力如图．

水平方向上由二力平衡得拉力等于滑动摩擦力，

即F ＝f ＝μB 地N B ，

而N B ＝G B ＋G A ，

所以F ＝0.2×(1×10＋1×10) N＝4 N

答案 (1)见解析图 (2)0 (3)4 N

1.矢量三角形法合成法.

2.动态平衡问题：1图解法；2相似三角形法.

3.整体法与隔离法分析连接体平衡问题.

1．(矢量三角形法)用三根轻绳将质量为m 的物块悬挂在空中，如图6所示．已知ac 和bc 与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac 绳和bc 绳中的拉力分别为( )

图6 A.32mg ，12mg B.12mg ，32mg C.34mg ，12mg D.12mg ，34

mg 答案 A

解析

分析结点c 的受力情况如图，设ac 绳受到的拉力为F 1、bc 绳受到的拉力为F 2，根据平衡条件知F 1、F 2的合力F 与重力mg 等大、反向，由几何知识得

F 1＝F cos 30°＝32

mg F 2＝F sin 30°＝12

mg

选项A 正确．

2．(动态平衡问题)用细绳OA 、OB 悬挂一重物，OB 水平，O 为半圆形支架的圆心，悬点A 和

B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图7所示位置逐渐移到C点的过程中，试分析OA 绳和OB绳中的拉力变化情况为( )

图7

A．OA绳中的拉力逐渐减小

B．OA绳中的拉力逐渐增大

C．OB绳中的拉力逐渐减小

D．OB绳中的拉力先减小后增大

答案AD

解析如图所示，在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，OA、OB中的拉力分别为T A1、T A2、T A3和T B1、T B2、T B3，从图中可以直观地看出，T A逐渐变小，且方向不变；而T B先变小后变大，且方向不断改变；当T B与T A垂直时，T B最小，然后T B又逐渐增大．故A、D正确．

3.(整体法与隔离法)如图8所示，吊车m和磅秤N共重500 N，物体G重300 N，当装置平衡时，磅秤的示数是( )

图8

A．500 N B．400 N

C．300 N D．100 N

答案D

解析先用整体法分析，所有物体总重为800 N，则与定滑轮相连的绳子的拉力都是400 N，所以下面两股绳子的拉力都是200 N，最后以G为研究对象可知磅秤对G的支持力为100 N，D正确．

4．(矢量三角形法)如图9所示，电灯的重力为20 N，绳AO与天花板间的夹角为45°，绳BO水平，求绳AO、BO上的拉力的大小．(请分别用两种方法求解)

图9

答案20 2 N 20 N

解析解法一矢量三角形法(力的合成法)

O点受三个力作用处于平衡状态，如图所示，

可得出F A与F B的合力F合方向竖直向上，大小等于F C.

由三角函数关系可得

F合＝F A sin 45°＝F C＝G灯

F B＝F A cos 45°

解得F A＝20 2 N，F B＝20 N

故绳AO、BO上的拉力分别为20 2 N、20 N.

解法二正交分解法

如图所示，将F A进行正交分解，根据物体的平衡条件知

F A sin 45°＝F C

F A cos 45°＝F B

后面的分析同解法一

题组一动态平衡问题

1.用轻绳把一个小球悬挂在O点，用力F拉小球使绳编离竖直方向30°，小球处于静止状态，力F与竖直方向成角θ，如图1所示，若要使拉力F取最小值，则角θ应为( )

图1

A．30° B．60°C．90° D．45°

答案B

解析选取小球为研究对象，小球受三个共点力作用：重力G、拉力F和轻绳拉力T，由于小球处于平衡状态，所以小球所受的合力为零，则T与F的合力与重力G等大反向．因为绳子方向不变，作图后不难发现，只有当F的方向与T的方向垂直时，表示力F的有向线段最短，即当F的方向与轻绳方向垂直时，F有最小值．故本题的正确选项是B.

2.一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2所示．现将细绳缓慢往左拉，使轻杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及轻杆BO对绳的支持力N的大小变化情况是( )

图2

A．N先减小，后增大B．N始终不变

C．F先减小，后增大D．F始终不变

答案B

解析取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)，如图所示，得到一个力三角形(如图中画斜线

部分)，此力三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．

如图所示，力三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得：

G H ＝

N

L

＝

F

l

式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知N不变，F逐渐变小．故选B.

3.如图3所示，用细绳悬挂一个小球，小球在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地沿圆弧移动到Q点，在这个过程中，绳的拉力F′和水平拉力F的大小变化情况是( )

图3

A．F′不断增大B．F′不断减小

C．F不断减小D．F不断增大

答案AD

解析如图所示，利用图解法可知F′不断增大，F不断增大．

4.置于水平地面上的物体受到水平作用力F处于静止状态，如图4所示，保持作用力F大小不变，将其沿逆时针方向缓缓转过180°，物体始终保持静止，则在此过程中地面对物体的支持力N和地面给物体的摩擦力f的变化情况是( )

图4

A．N先变小后变大，f不变

B．N不变，f先变小后变大

C．N、f都是先变大后变小

D．N、f都是先变小后变大

答案D

解析力F与水平方向的夹角θ先增大后减小，水平方向上，F cos θ－f＝0，f＝F cos θ；竖直方向上，N＋F sin θ－mg＝0，N＝mg－F sin θ，故随θ变化，f、N都是先减小后增大．题组二整体法与隔离法

5.两刚性球a和b的质量分别为m a和m b、直径分别为d a和d b(d a＞d b)将a、b球依次放入一竖直放置、平底的圆筒内，如图5所示．设a、b两球静止对圆筒侧面对两球的弹力大小分别为F1和F2，筒底对球a的支持力大小为F.已知重力加速度大小为g.若所有接触都是光滑的，则( )

图5

A．F＝(m a＋m b)g F1＝F2

B．F＝(m a＋m b)g F1≠F2

C．m a g＜F＜(m a＋m b)g

D．m a g＜F＜(m a＋m b)g，F1≠F2

答案A

解析对两刚性球a和b整体受力分析，由竖直方向受力平衡可知F＝(m a＋m b)g、水平方向受力平衡有F1＝F2.

6.如图6所示，测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦不计．物体A重40 N，物体B重10 N，以下说法正确的是( )

图6

A．地面对A的支持力是30 N

B．物体A受到的合力是30 N

C．测力计示数20 N

D．测力计示数30 N

答案AC

7.在粗糙水平面上放着一个质量为M的三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个物体，m1>m2，如图7所示，若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块( )

图7

A．无摩擦力的作用

B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左

C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出

D．地面对三角形木块的支持力大小为(m1＋m2＋M)g

答案AD

解析由于三角形木块和斜面上的两物体都静止，可以把它们看成一个整体，如图所示，整体竖直方向受到重力(m1＋m2＋M)g和支持力N作用处于平衡状态，故地面对整体的支持力大小为(m1＋m2＋M)g，故D选项正确．水平方向无任何滑动趋势，因此不受地面的摩擦力作用．故A选项正确．

8．如图8所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙壁之间放一光滑球B，整个装置处于静止状态．若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则( )

图8

A．B对墙的压力减小

B．A与B之间的作用力增大

C．地面对A的摩擦力减小

D．A对地面的压力不变

答案ACD

解析

设物体A对球B的支持力为F1，竖直墙对球B的弹力为F2，F1与竖直方向的夹角θ因物体A 右移而减小．对球B受力分析如图所示，由平衡条件得：F1cos θ＝m B g，F1sin θ＝F2，解

得F1＝m B g

cos θ

，F2＝m B g tan θ，θ减小，F1减小，F2减小，选项A对，B错；对A、B整体受力分析可知，竖直方向，地面对整体的支持力N＝(m A＋m B)g，与θ无关，即A对地面的压力不变，选项D对；水平方向，地面对A的摩擦力f＝F2，因F2减小，故f减小，选项C对．题组三矢量三角形法求解共点力的平衡问题

9．一个物体受到三个力的作用，三力构成的矢量图如图所示，则能够使物体处于平衡状态的是( )

答案A

10.如图9所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ，下列关系正确的是( )

图9

A．F＝mg

tan θ

B．F＝mg tan θ

C ．N ＝mg tan θ

D ．N ＝mg tan θ

答案 A

解析

对滑块进行受力分析如图，滑块受到重力mg 、支持力N 、水平推力F 三个力作用．由共点力的平衡条件知，F 与mg 的合力F ′与N 等大、反向．根据平行四边形定则可知N 、mg 和合力F ′构成直角三角形，解直角三角形可求得：F ＝mg

tan θ，N ＝mg

sin θ.所以正确选项为A. 11.如图10所示，一个重为100 N 、质量分布均匀的小球被夹在竖直的墙壁和A 点之间，已知球心O 与A 点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求墙面对小球的支持力F 1和A 点对小球的压力F 2.

图10

答案 100 3 N ，方向垂直墙壁向左 200 N ，方向沿A →O

解析 如图，小球受重力G 竖直墙面对球的弹力F 1和A 点对球的弹力F 2作用．由三力平衡条件知F 1与F 2的合力与G 等大反向，解直角三角形得

F 1＝mg tan θ＝100 3 N ，方向垂直墙壁向左

F 2＝mg cos θ

＝200 N ，方向沿A →O 12.滑板运动是一项非常刺激的水上运动．研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力N 垂直于板面，大小为kv 2，其中v 为滑板速率(水可视为静止)．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时(如图11)，滑板做匀速直线运动，相应的k ＝54

kg/m ，人和滑板的总质量为108 kg ，试求：(重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°取35

，忽略空气阻力)

图11

(1)水平牵引力的大小；

(2)滑板的速率．

答案(1)810 N (2)5 m/s

解析(1)以滑板和运动员整体为研究对象，其受力如图所示(三力组成矢量三角形)由共点力平衡条件可得

N cos θ＝mg①

N sin θ＝F②

联立①②得

F＝810 N

(2)N＝mg/cos θ

N＝kv2

得v＝

mg

k cos θ

＝5 m/s