2016人教A版高中数学必修三3.1.3概率的基本性质强化练习

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1.3 概率的基本性质强化

练习 新人教A 版必修3

一、选择题

1．(2013～2014·北京西城区期末检测)已知100件产品中有5件次品，从这100件产品任意取出3件，设A 表示事件“3件产品全不是次品”，B 表示事件“3件产品全是次品”，

C 表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )

A ．

B 与

C 互斥 B ．A 与C 互斥

C ．A 、B 、C 任意两个事件均互斥

D ．A 、B 、C 任意两个事件均不互斥 [答案] B

[解析] 本题主要考查互斥事件的概念．由题意得事件A 与事件B 不可能同时发生，是互斥事件；事件A 与事件C 不可能同时发生，是互斥事件；当事件B 发生时，事件C 一定发生，所以事件B 与事件C 不是互斥事件，故选B.

2．P (A )＝，P (B )＝，则P (A ∪B )等于( ) A ． B ． C ． D ．不确定

[答案] D

[解析] 由于不能确定A 与B 互斥，则P (A ∪B )的值不能确定．

3．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为，阴天的概率为，则该日晴天的概率为( )

A ．

B ．

C ．

D ． [答案] C

[解析] 设该地6月1日下雨为事件A ，阴天为事件B ，晴天为事件C ，则事件A ，B ，C 两两互斥，且A ∪B 与C 是对立事件，则P (C )＝1－P (A ∪B )＝1－P (A )－P (B )＝1－－＝.

4．抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A 为“出现奇数点\”，事件B 为“出现2点\”，已知P (A )＝12，P (B )＝16

，出现奇数点或2点的概率之和为( )

A ．1

2 B ．56 C ．1

6 D ．23 [答案] D

[解析] 记“出现奇数点或2点\”为事件C ，因为事件A 与事件B 互斥，所以P (C )＝

P (A )＋P (B )＝12＋16＝23

.故选D.

5．在一次随机试验中，事件A 1，A 2，A 3发生的概率分别为,,，则下列说法正确的是( ) A ．A 1∪A 2与A 3是互斥事件，也是对立事件 B ．A 1∪A 2∪A 3是必然事件 C ．P (A 2∪A 3)＝

D ．事件A 1，A 2，A 3的关系不确定 [答案] D

[解析] 比如在一个箱子中有白球，黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球(记为事件A 1)的概率为，取到黄球(记为事件A 2)的概率为，取到黄球或红球(记为事件A 3)的概率为，显然A 1∪A 2与A 3即不是互斥事件，更不是对立事件，故A 错误；A 1∪A 2∪A 3是“取到黄球或红球”，不是必然事件，故B 错误；P (A 2∪A 3)＝P (A 3)＝，故C 错误．故选D.

6．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为1

7，从中取出2

粒都是白子的概率是12

35

.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )

A ．17

B ．12

35 C ．1735 D ．1

[答案] C

[解析] 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任决心书取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735

.

二、填空题

7．某人在打靶中连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________． [答案] 两次都不中靶

8．经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下：

(1)t (2)至少3人排队等候的概率是________． [解析] (1)∵t ＋＋＋＋＋＝1，∴t ＝.

(2)至少3人包括3人，4人，5人以及5人以上，且这三类是互斥的，∴概率为＋＋＝.

[答案] (1) (2)

9．甲射击一次，中靶概率是P 1，乙射击一次，中靶概率是P 2，已知1P 1，1P 2

是方程x 2

－

5x ＋6＝0的根，且P 1满足方程x 2

－x ＋14＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射

击一次，不中靶概率为________．

[答案] 12 2

3

[解析] 由P 1满足方程x 2－x ＋14＝0知，P 2

1－P 1＋14＝0，解得P 1＝12；因为1P 1，1P 2

是方程

x 2－5x ＋6＝0的根，所以1P 1·1P 2＝6，解得P 2＝13，因此甲射击一次，不中靶概率为1－12＝1

2

，

乙射击一次，不中靶概率为1－13＝2

3

.

三、解答题

10．某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购．记事件A 为“只买甲产品”，事件B 为“至少买一种产品”，事件C 为“至多买一种产品”，事件D 为“不买甲产品”，事件E 为“一种产品也不买”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．

(1)A 与C ； (2)B 与E ； (3)B 与D ； (4)B 与C ； (5)C 与E .

[分析] 利用互斥事件和对立事件的概念进行判断．

[解析] (1)由于事件C “至多买一种产品”中有可能只买甲产品，故事件A 与事件C 有可能同时发生，故事件A 与C 不是互斥事件．

(2)事件B “至少买一种产品”与事件E “一种产品也不买”是不可能同时发生的，故事件B 与E 是互斥事件．又由于事件B 与E 必有一个发生，所以事件B 与E 还是对立事件．

(3)事件B “至少买一种产品”中有可能买乙产品，即与事件D “不买甲产品”有可能同时发生，故事件B 与D 不是互斥事件．

(4)若顾客只买一种产品，则事件B “至少买一种产品”与事件C “至多买一种产品”就同时发生了，所以事件B 与C 不是互斥事件．

(5)若顾客一件产品也不买，则事件C “至多买一种产品”与事件E “一种产品也不买”就同时发生了，事实上事件C 与E 满足E ?C ，所以二者不是互斥事件．

11．(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值．

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)

[解析] (1)由已知得，

25＋y＋10＝55，x＋y＝35，

所以x＝15，y＝20，

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：

1×15＋×30＋2×25＋×20＋3×10

100

＝(分钟)．

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1、A2、A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率，得

P(A1)＝15

100＝

3

20

，P(A2)＝

30

100

＝

3

10

，

P(A3)＝25

100＝

1

4

.

因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，

所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝3

20＋

3

10

＋

1

4

＝

7

10

.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7

10

.

12．猎人在相距100 m处射击一野兔，命中的概率为1

2

，如果第一次未击中，则猎人进

行第二次射击，但距离已是150 m，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200 m，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．[解析] 设距离为d，命中的概率为P，

则有P＝k

d2，将d＝100，P＝

1

2

代入，

得k＝Pd2＝5 000，所以P＝5 000 d2

.

设第一、二、三次击中野兔分别为事件A 1，A 2，A 3，则

P (A 3)＝12，P (A 2)＝

5 0001502＝29，P (A 3)＝5 0002002＝1

8

. 所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝12＋29＋18＝61

72.

故射击不超过三次击中野兔的概率为61

72

.