求通项公式的常用方法

求通项公式的常用方法

一、定义法：

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，

2

55a S =．求数列{}n a 的通项公式.

二 、公式法：递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：利用???≥???????-=????????????????=-)2()

1(11n S S n S a n n

n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S

)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例题：已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？

跟踪训练1、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()

1lg n S n +=(1,2)n =???.试证数

列{}n a 是等比数列.

三 、待定系数法：（换元法）

○1 类型一：q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=

1，再利用

换元法转化为等比数列{a n -t}的形式求解求解。

例题：1、已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式.

2、数列{a n }满足a 1=1，a n =2

1

a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式

3、数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

4、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．

5、已知数列}{n a 满足：,4,N ,231

11=∈--=+a n a a n n 求.n a

○2类型二、n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或

1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式

两边同除以1+n q ，得：

q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n

n

n q

a b =），得：

q

b q p b n n 1

1+=

+再待定系数法解决。 例题：已知数列{}n a 中，651=a ,11)2

1

(31+++=n n n a a ，求n a 。

跟踪训练：1、设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333n n n S a +=-?+，1,2,3,

n =

求首项1a 与通项n a ；

2、已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n n a a )2(≥n ，求n a

○3类型三、递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。解法：先把原递推公式转

化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足?

??-==+q st p

t s ，再应用再利用等比数列

}s {1--n n a a 求解。

例题： 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 31

3212+=++，求n a 。

跟踪训练:1、已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 31

3212+=++，求n a 。

2、数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,,求n a

3、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；

4、数列{}n a 满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式

○

3类型四 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)与其它类型综合 解法：利用???≥???????-=????????????????=-)

2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S

)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例题：数列{}n a 前n 项和2

214---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求

通项公式n a .

跟踪训练：1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

2、数列{}n a 中前n 项的和n n a n S -=2，求数列的通项公式n a .

四、累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.

例题：已知无穷数{}n b 满足11b =，112n

n n b b +??

-= ?

??(1)n ≥，求数列{}n b 的通

项公式.

跟踪训练：1、已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。

2、已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123k k k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式。

五、累乘法:利用恒等式3

21

121

(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).

例题：已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.

跟踪训练：1、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。

2、已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=+ )1(≥n ，求n a

3、已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的

通项1

___n a ?=?? 12

n n =≥

六： 双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例题：已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。当2≥n 时，

)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3

1

11--+=n n n b a b ，求n a ,n b .

跟踪训练：1、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意正整数n ，都有等式：n n n S a a 422

=+成立，求{}n a 的通项an.

2、设{}n a 是首项为1的正项数列，且01212=-----n n n n na na a a ，（n ∈N*）， 求数列的通项公式an.

3、数列{}n a 中，2

1

1=a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a .

4、设正项数列{}n a 满足11=a ，2

12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.

数列的前n 项求和

一、公式法

直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有： （1）等差数列求和公式:11()(1)

22

n n n a a n n s na d +-=

=+ （2）等比数列求和公式:111,(1)(1)(1)11n n n na q s a a q a q q q q =??

=--?=≠?--?

例 1、 求和。

（1）100321,21a a a a n a n ++++-= 求 （2）205434,2a a a a a n n ++++=- 求