D算法求最短路径

题目：设计一个运用改进的D算法进行物流系统路径优化的仿真程序，要求可随机或由用户操控产生物流网络示意图，并给出仿真结果。

引言

最短路径问题是图论中的一个重要问题，在交通运输、物流配送、网络分析等方面都有着广泛的应用，求解最短

路径的方法也有很多，诸如动态规划法、启发式算法、迭

代法等，本文就最经典的Dijkstra算法给出C语言程序并进

行分析，提出一种改进的算法，并对改进算法进行算法分析。

一．传统的Dijkstra算法

Dijkstra算法是典型的算法。Dijkstra算法是很有代表性的算法。

Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求

图中不存在负权边。

首先，引进一个辅助向量D，它的每个分量D[i]表示当前所找到的从始点

v到每个终点vi的的长度：如D[3]=2表示从始点v到终点3的路径相对最小

长度为2。这里强调相对就是说在算法过程中D的值是在不断逼近最终结果但

在过程中不一定就等于长度。它的初始状态为：若从v到vi有弧，则D为弧上

的权值；否则置D为∞。显然，长度为D[j]=Min{D | vi∈V} 的路径就是从v

出发的长度最短的一条。此路径为(v,vj)。那么，下一条长度次短的是哪一条呢？假设该次短路径的终点是vk，则可想而知，这条路径或者是(v,vk)，或者

是(v,vj,vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值，或者是D[j]和从vj

到vk的弧上的权值之和。一般情况下，假设S为已求得的终点的集合，则可

证明：下一条最短路径（设其终点为X）或者是弧(v,x)，或者是中间只经过S

中的顶点而最后到达顶点X的路径。因此，下一条长度次短的的长度必是

D[j]=Min{D | vi∈V-S} 其中，D或者是弧(v,vi)上的权值，或者是

D[k](vk∈S)和弧(vk,vi)上的权值之和。算法描述如下： 1）arcs表示弧上的

权值。若不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到从v 出发的的终点的集合，初始状态为空集。那么，从v出发到图上其余各顶点vi 可能达到的度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,v),i] vi∈V 2）选择vj，使得D[j]=Min{D | vi∈V-S} 3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。

二．改进后的Dijkstra算法

改进算法如下：为了判断顶点之间的邻接关系方便，使用邻接链表的形式来存储有向带权图，邻接链表使用一维数组存储每个顶点的信息及指向单链表的指针，单链表用来存储与相应顶点邻接的顶点的信息以及每条边上的权值，集合s存储那些已经找到最短路径的顶点，初始只包含源点v。；数组dist记录从源点到其余各顶点当前的最短路径，初始时，数组dist存储从源点到其邻接顶点的权值，而对于其它非邻接顶点，则存储一个无穷大的数；数组pre存储最短路径上终点y之前的那个顶点，初始时pre[i]=Vo；数组heap用来进行堆排序，将数组heap的数据元素类型设为结构体类型，包括顶点信息及最短路径信息，初始时heap存储与v。邻接的顶点及这些顶点的当前路径最小值；数组m用来记录每个结点在堆中的位置，初始时只记录与vo邻接的顶点在堆中的位置，其余存储单元为0；算法利用堆排序算法按路径长度大小将heap调整成小头堆，取堆顶元素W，加入集合S，在堆中删除堆顶元素，并调整数组m中各顶点的位置值，然后比较以w作为中间结点．和w邻接的顶点集和S的差集中任意顶点v；的当前路径的大小，用小的值取代dist数组中的值，然后将修改了dist值的那些结点放人heap数组，并设置计数器k记录结点个数；最后将数组中的前k个元索按最短路径值调整成小头堆，取堆顶元素放入集合s，如此反复迭代，直到所有顶点都加入到集合S中为止。

改进算法实例分析：设有向带权图如图I所示，

应用改进的Dijkstra算法，其迭代过程如表1所示。

图一

三．改进的Dijkstra算法的C语言程序及仿真结果

改进的Dijkstra算法的C语言程序实现如下：

#include

#include

#define MAXSIZE 20 //顶点最大个数

//Dijkstra算法实现函数

void dijkstra(int n,int v,int dist[MAXSIZE],int prev[MAXSIZE],int

cost[MAXSIZE][MAXSIZE])

{

int i;

int j;

int maxint = 65535;//定义一个最大的数值，作为不相连的两个节点的代价权值 int s[MAXSIZE] ;//定义具有最短路径的节点子集s

for (i = 1; i <= n; i++)

{

dist[i] = cost[v][i];

s[i] = 0;

if (dist[i] == maxint)

{

prev[i] = 0;

}

else

{

prev[i] = v;

}

}

dist[v] = 0;

s[v] = 1;//源节点作为最初的s子集

for (i = 1; i < n; i++)

{

int temp = maxint;

int u = v;

//加入具有最小代价的邻居节点到s子集

for (j = 1; j <= n; j++)

{

if ((!s[j]) && (dist[j] < temp))

{

u = j;

temp = dist[j];

}

}

s[u] = 1;

//计算加入新的节点后，更新路径使得其产生代价最短 for (j = 1; j <= n; j++)

{

if ((!s[j]) && (cost[u][j] < maxint))

{

int newdist = dist[u] + cost[u][j];

if (newdist < dist[j])

{

dist[j] = newdist;

prev[j] = u;

}

}

}

}

}

//展示最佳路径函数

void ShowPath(int v,int u,int dist[MAXSIZE],int prev[MAXSIZE]) {

int j = 0;

int w = u;

int count = 0;

int way[MAXSIZE] ;

//way=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));

//回溯路径

while (w != v)

{

count++;

way[count] = prev[w];

w = prev[w];

}

//输出路径

printf("最佳路径是:\n");

for (j = count; j >= 1; j--)

{

printf("%d -> ",way[j]);

}

printf("%d\n",u);

}

//主函数，主要做输入输出工作

void main()

{

int i,j,t;

int n,v;

int cost[MAXSIZE][MAXSIZE];//代价矩阵

int dist[MAXSIZE];//最短路径代价

int prev[MAXSIZE];//前一跳节点空间

printf("请输入顶点数: ");

scanf("%d",&n);

printf("请输入邻接矩阵:\n");

// cost=(int **)malloc(sizeof(int)*(n+1));

// for (i = 1; i <= n; i++)

//{

// cost[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1)); // }

//输入代价矩阵

for (j = 1; j <= n; j++)

{

for (t = 1; t <= n; t++)

{

scanf("%d",&cost[j][t]);

}

}

//dist = (int *)malloc(sizeof(int)*n);

//prev = (int *)malloc(sizeof(int)*n);

printf("请输入源点: ");

scanf("%d",&v);

//调用dijkstra算法

dijkstra(n, v, dist, prev, cost);

printf("*****************************\n");

printf("路径展示\n");

printf("*****************************\n");

for(i = 1; i <= n ; i++)

{

if(i!=v)

{

printf("从点 %d 到点 %d的最短距离为%d\n",v,i,dist[i]); printf("到达点 %d 的前一点是 %d \n",i,prev[i]);

ShowPath(v,i, dist, prev);

}

}

}

仿真结果如图二所示：

图二

四．课设小结

本次我的课设内容是改进Dijkstra算法，通过自己动手设计的

过程，更加深入地学习了解了各种GIS的最短路径搜索算法，尤其

是Dijkstra算法的各种优化算法。程序化地解决问题是我们学工科

的最基本的技能，对于D算法的改进，使我不仅深入学习到了课本

中的知识，更加对于生活中的各种问题的优化有了新的见地。算法

的用处十分广泛，他不仅能解决工程问题，更是能应用到生活生产

的方方面面，研究算法能够极大地培养人的思维逻辑能力及做事的

严谨性。一个算法你要将它转化成程序语言，是一个并不轻松的过程，当中有任何的细小失误都可能使程序运行失败。

在本次课设的过程中，我学到了很多课本中学不到的知识技能，并且由于是独立完成所以极大地培养了我独自完成一项任务的各方

面综合能力，为以后走上工作岗位奠定了扎实的基础。