2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷(理科)

第1卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分、在每个小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得、)

1.(5分)(2018?衡中模拟)已知集合A={x|x2＜1},B={y|y=|x|},则A∩B=()

A.?

B.(0,1)

C.[0,1)

D.[0,1]

2.(5分)(2018?衡中模拟)设随机变量ξ～N(3,σ2),若P(ξ＞4)=0、2,则P(3＜ξ≤4)=()

A.0、8

B.0、4

C.0、3

D.0、2

3.(5分)(2018?衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()

A.1

B.﹣1

C.

D.

4.(5分)(2018?衡中模拟)过双曲线﹣=1(a＞0,b＞0)得一个焦点F作两渐近线得垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线得渐近线方程为()

A.y=±x

B.y=±x

C.y=±x

D.y=±x

5.(5分)(2018?衡中模拟)将半径为1得圆分割成面积之比为1:2:3得三个扇形作为三个圆锥得侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3得值为()

A. B.2 C. D.1

6.(5分)(2018?衡中模拟)如图就是某算法得程序框图,则程序运行后输出得结果就是()

A.2

B.3

C.4

D.5

7.(5分)(2018?衡中模拟)等差数列{a n}中,a3=7,a5=11,若b n=,则数列{b n}得前8项与为()

A. B. C. D.

8.(5分)(2018?衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=()

A.45

B.180

C.﹣180

D.720

9.(5分)(2018?衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC得三视图,其表面积为()

A.16

B.8+6

C.16

D.16+6

10.(5分)(2018?衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0)得左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM得最大值为17,则椭圆得离心率为()

A. B. C. D.

11.(5分)(2018?衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k得取值范围为()

A.k≤0

B.k≤0或k≥1

C.k≤0或k≥e

D.k≤0或k≥

12.(5分)(2018?衡中模拟)已知数列{a n}得通项公式为a n=﹣2n+p,数列{b n}得通项公式为

b n=2n﹣4,设

c n=,若在数列{c n}中c6＜c n(n∈N*,n≠6),则p得取值范围()

A.(11,25)

B.(12,22)

C.(12,17)

D.(14,20)

第2卷

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中得横线上.)

13.(5分)(2018?衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上得投影为.

14.(5分)(2018?衡中模拟)若数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,则数列{a n}前2n项与S2n=.

15.(5分)(2018?衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等得两部分,则得最大值为.

16.(5分)(2018?衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a＜﹣1)对任意得x1、x2＞0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a得取值范围为.

三、解答题(本大题共5小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、)

17.(12分)(2018?衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对得边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0

(1)求C得大小;

(2)求a2+b2得最大值,并求取得最大值时角A,B得值.

18.(12分)(2018?衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M就是棱PB中点.

(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;

(Ⅱ)设点N就是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成得角最大时,求λ得值.

19.(12分)(2018?衡中模拟)如图就是两个独立得转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域得圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则就是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对得区域为x,转盘(B)指针所对得区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y得值为ξ.

(Ⅰ)求x＜2且y＞1得概率;

(Ⅱ)求随机变量ξ得分布列与数学期望.

20.(12分)(2018?衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0),倾斜角为45°得直线与椭圆相交于M、N 两点,且线段MN得中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)得两条直线分别与椭圆交于点A、C 与B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应得λ=.

(Ⅰ)求椭圆E得方程;

(Ⅱ)当λ变化时,k AB就是否为定值？若就是,请求出此定值;若不就是,请说明理由.

21.(12分)(2018?衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处得切线与直线x﹣2y+e=0平行.

(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上就是减函数,求实数a得最小值;

(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k得取值范围.

[选修41:几何证明选讲]

22.(10分)(2018?衡中模拟)如图所示,AC为⊙O得直径,D为得中点,E为BC得中点.

(Ⅰ)求证:DE∥AB;

(Ⅱ)求证:AC?BC=2AD?CD.

[选修44:坐标系与参数方程]

23.(2018?衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l得参数方程为(t为参数),在以直角坐标系得原点O为极点,x轴得正半轴为极轴得极坐标系中,曲线C得极坐标方程为ρ=

(1)求曲线C得直角坐标方程与直线l得普通方程;

(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB得面积.

[选修45:不等式选讲]

24.(2018?衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.

(I)解不等式f(x)≤6;

(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a得取值范围.

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分、在每个小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得、)

1.(5分)(2018?衡中模拟)已知集合A={x|x2＜1},B={y|y=|x|},则A∩B=()

A.?

B.(0,1)

C.[0,1)

D.[0,1]

【解答】解:A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1},B={y|y=|x|≥0},

则A∩B=[0,1),

故选:C.

2.(5分)(2018?衡中模拟)设随机变量ξ～N(3,σ2),若P(ξ＞4)=0、2,则P(3＜ξ≤4)=()

A.0、8

B.0、4

C.0、3

D.0、2

【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),

∴μ=3,得对称轴就是x=3.

∵P(ξ＞4)=0、2

∴P(3＜ξ≤4)=0、5﹣0、2=0、3.

故选:C

3.(5分)(2018?衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()

A.1

B.﹣1

C.

D.

【解答】解:复数z=,

可得=﹣=cos+isin.

则3=cos4π+isin4π=1.

故选:A.

4.(5分)(2018?衡中模拟)过双曲线﹣=1(a＞0,b＞0)得一个焦点F作两渐近线得垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线得渐近线方程为()

A.y=±x

B.y=±x

C.y=±x

D.y=±x

【解答】解:如图若∠PFQ=π,

则由对称性得∠QFO=,

则∠QOx=,

即OQ得斜率k==tan=,

则双曲线渐近线得方程为y=±x,

故选:B

5.(5分)(2018?衡中模拟)将半径为1得圆分割成面积之比为1:2:3得三个扇形作为三个圆锥得侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3得值为()

A. B.2 C. D.1

【解答】解:∵2πr1=,∴r1=,同理,

∴r1+r2+r3=1,

故选:D.

6.(5分)(2018?衡中模拟)如图就是某算法得程序框图,则程序运行后输出得结果就是()

A.2

B.3

C.4

D.5

【解答】解:第一次循环,sin＞sin0,即1＞0成立,a=1,T=1,k=2,k＜6成立,

第二次循环,sinπ＞sin,即0＞1不成立,a=0,T=1,k=3,k＜6成立,

第三次循环,sin＞sinπ,即﹣1＞0不成立,a=0,T=1,k=4,k＜6成立,

第四次循环,sin2π＞sin,即0＞﹣1成立,a=1,T=1+1=2,k=5,k＜6成立,

第五次循环,sin＞sin2π,即1＞0成立,a=1,T=2+1=3,k=6,k＜6不成立,输出T=3,

故选:B

7.(5分)(2018?衡中模拟)等差数列{a n}中,a3=7,a5=11,若b n=,则数列{b n}得前8项与为()

A. B. C. D.

【解答】解:设等差数列{a n}得公差为d,a3=7,a5=11,

∴,

解得a1=3,d=2,

∴a n=3+2(n﹣1)=2n+1,

∴,

∴b8=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=

故选B.

8.(5分)(2018?衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=()

A.45

B.180

C.﹣180

D.720

【解答】解:(x﹣3)10=[(x+1)﹣4]10,

∴,

故选:D.

9.(5分)(2018?衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC得三视图,其表面积为()

A.16

B.8+6

C.16

D.16+6

【解答】解:由三视图可知该三棱锥为边长为2,4,4得长方体切去四个小棱锥得到得几何体. 三棱锥得三条边长分别为,

∴表面积为4×=16.

故选:C.

10.(5分)(2018?衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0)得左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM得最大值为17,则椭圆得离心率为()

A. B. C. D.

【解答】解:设右焦点为Q,

由F(﹣3,0),可得Q(3,0),

由椭圆得定义可得|PF|+|PQ|=2a,

即|PF|=2a﹣|PQ|,

则|PM|+|PF|=2a+(|PM|﹣|PQ|)≤2a+|MQ|,

当P,M,Q共线时,取得等号,即最大值2a+|MQ|,

由|MQ|==5,可得2a+5=17,

所以a=6,

则e===,

故选:A.

11.(5分)(2018?衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k得取值范围为()

A.k≤0

B.k≤0或k≥1

C.k≤0或k≥e

D.k≤0或k≥

【解答】解:由y=f(x)﹣kx=0得f(x)=kx,

作出函数f(x)与y=kx得图象如图,

由图象知当k≤0时,函数f(x)与y=kx恒有一个交点,

当x≥0时,函数f(x)=ln(x+1)得导数f′(x)=,则f′(0)=1,

当x＜0时,函数f(x)=e x﹣1得导数f′(x)=e x,则f′(0)=e0=1,

即当k=1时,y=x就是函数f(x)得切线,

则当0＜k＜1时,函数f(x)与y=kx有3个交点,不满足条件.

当k≥1时,函数f(x)与y=kx有1个交点,满足条件.

综上k得取值范围为k≤0或k≥1,

故选:B.

12.(5分)(2018?衡中模拟)已知数列{a n}得通项公式为a n=﹣2n+p,数列{b n}得通项公式为

b n=2n﹣4,设

c n=,若在数列{c n}中c6＜c n(n∈N*,n≠6),则p得取值范围()

A.(11,25)

B.(12,22)

C.(12,17)

D.(14,20)

【解答】解:∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4,

∴a n﹣b n随着n变大而变小,

又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小,

b n=2n﹣4随着n变大而变大,

∴,

(1)当

(2)当,

综上p∈(14,20),

故选D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中得横线上.)

13.(5分)(2018?衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上得投影为﹣1. 【解答】解:根据条件,

=

=7;

∴;

∴在上得投影为.

故答案为:﹣1.

14.(5分)(2018?衡中模拟)若数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,则数列{a n}前2n项与S2n=2n+n2﹣1.

【解答】解:∵数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,

∴n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=2,为等差数列;

n=2k时,a2k+2=2a2k,为等比数列.

∴.

故答案为:2n+n2﹣1.

15.(5分)(2018?衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等得两部分,则得最大值为2.

【解答】解:由ax+(a﹣2)y+4﹣a=0得a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,

则得,即直线恒过C(﹣1,2),

若将区域分成面积相等得两部分,则直线过AB得中点D,

由得,即A(1,6),

∵B(3,0),∴中点D(2,3),代入a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,

得4a﹣2=0,

则,则得几何意义就是区域内得点到点(﹣2,0)得斜率,

由图象过AC得斜率最大,此时最大值为2.

故答案为:2.

16.(5分)(2018?衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a＜﹣1)对任意得x1、x2＞0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a得取值范围为(﹣∞,﹣2] .

【解答】解:由f′(x)=+x,

得f′(1)=3a+1,

所以f(x)=(a+1)lnx+ax2,(a＜﹣1)在(0,+∞)单调递减,不妨设0＜x1＜x2,

则f(x1)﹣f(x2)≥4x2﹣4x1,即f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,

令F(x)=f(x)+4x,F′(x)=f′(x)+4=+2ax+4,

等价于F(x)在(0,+∞)上单调递减,

故F'(x)≤0恒成立,即+2ax+4≤0,

所以恒成立,

得a≤﹣2.

故答案为:(﹣∞,﹣2].

三、解答题(本大题共5小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、)

17.(12分)(2018?衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对得边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0

(1)求C得大小;

(2)求a2+b2得最大值,并求取得最大值时角A,B得值.

【解答】解:(1)cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0

可得:cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0

即:sinA﹣acosC=0.

由正弦定理可知:,

∴,c=1,

∴asinC﹣acosC=0,

sinC﹣cosC=0,可得sin(C﹣)=0,C就是三角形内角,

∴C=.

(2)由余弦定理可知:c2=a2+b2﹣2abcosC,

得1=a2+b2﹣ab

又,

∴,

即:.

当时,a2+b2取到最大值为2+.

18.(12分)(2018?衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M就是棱PB中点.

(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;

(Ⅱ)设点N就是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成得角最大时,求λ得值.

【解答】证明:(1)取PC得中点E,则连接DE,

∵ME就是△PBC得中位线,

∴ME,又AD,

∴MEAD,

∴四边形AMED就是平行四边形,∴AM∥DE.

∵PA=AB,M就是PB得中点,

∴AM⊥PB,

∵PA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,

∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,

∴BC⊥平面PAB,∵AM?平面PAB,

∴BC⊥AM,

又PB?平面PBC,BC?平面PBC,PB∩BC=B,

∴AM⊥平面PBC,∵AM∥DE,

∴DE⊥平面PBC,又DE?平面PCD,

∴平面PBC⊥平面PCD.

(2)以A为原点,以AD,AB,AP为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:

则A(0,0,0),B(0,2,0),M(0,1,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0).

∴=(1,2,0),=(0,1,1),=(1,0,0),

∴=λ=(λ,2λ,0),=(λ+1,2λ,0),

==(λ+1,2λ﹣1,﹣1).

∵AD⊥平面PAB,∴为平面PAB得一个法向量,

∴cos＜＞====

=

设MN与平面PAB所成得角为θ,则sinθ=.

∴当即时,sinθ取得最大值,

∴MN与平面PAB所成得角最大时.

19.(12分)(2018?衡中模拟)如图就是两个独立得转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域得圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则就是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对得区域为x,转盘(B)指针所对得区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y得值为ξ.

(Ⅰ)求x＜2且y＞1得概率;

(Ⅱ)求随机变量ξ得分布列与数学期望.

【解答】解:(1)记转盘A指针指向1,2,3区域得事件为A1,A2,A3,

同理转盘B指针指向1,2,3区域得事件为B1,B2,B3,

∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,

P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,

P=P(A1)P(1﹣P(B1))

=×(1﹣)==.…(5分)

(2)由已知得ξ得可能取值为2,3,4,5,6,

P( ξ=2)=P(A1)P(B1)===,

P(ξ=3)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)==,

P(ξ=4)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)==,

P( ξ=5)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=+=,

P(ξ=6)=P(A3)P(B3)==,

∴ξ得分布列为:

ξ 2 3 4 5 6

P

Eξ==.…(12分)

20.(12分)(2018?衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0),倾斜角为45°得直线与椭圆相交于M、N 两点,且线段MN得中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)得两条直线分别与椭圆交于点A、C 与B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应得λ=.

(Ⅰ)求椭圆E得方程;

(Ⅱ)当λ变化时,k AB就是否为定值？若就是,请求出此定值;若不就是,请说明理由.

【解答】解:(Ⅰ)设M(m1,n1)、N(m2,n2),则,

两式相减,

故a2=3b2…(2分)

当直线AP平行于x轴时,设|AC|=2d,

∵,,则,解得,

故点A(或C)得坐标为.

代入椭圆方程,得…4分

a2=3,b2=1,

所以方程为…(6分)

(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)

由于,可得A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),

…①

同理可得…②…(8分)

由①②得:…③

将点A、B得坐标代入椭圆方程得,

两式相减得(x1+x2)(x1﹣x2)+3(y1+y2)(y1﹣y2)=0,

于就是3(y1+y2)k AB=﹣(x1+x2)…④

同理可得:3(y3+y4)k CD=﹣(x3+x4),…(10分)

于就是3(y3+y4)k AB=﹣(x3+x4)(∵AB∥CD,∴k AB=k CD)

所以3λ(y3+y4)k AB=﹣λ(x3+x4)…⑤

由④⑤两式相加得到:3[y1+y2+λ(y3+y4)]k AB=﹣[(x1+x2)+λ(x3+x4)]

把③代入上式得3(1+λ)k AB=﹣2(1+λ),

解得:,

当λ变化时,k AB为定值,.…(12分)

21.(12分)(2018?衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处得切线与直线x﹣2y+e=0平行.

(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上就是减函数,求实数a得最小值;

(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k得取值范围.

【解答】解:(Ⅰ) 由,得,解得m=2,

故,则,函数g(x)得定义域为(0,1)∪(1,+∞),

而,又函数g(x)在(1,+∞)上就是减函数,

∴在(1,+∞)上恒成立,

∴当x∈(1,+∞)时,得最大值.

而,即右边得最大值为,

∴,故实数a得最小值;

(Ⅱ) 由题可得,且定义域为(0,1)∪(1,+∞),

要使函数F(x)无零点,即在(0,1)∪(1,+∞)内无解,

亦即在(0,1)∪(1,+∞)内无解.

构造函数,则,

(1)当k≤0时,h'(x)＜0在(0,1)∪(1,+∞)内恒成立,

∴函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内也单调递减.

又h(1)=0,∴当x∈(0,1)时,h(x)＞0,即函数h(x)在(0,1)内无零点,

同理,当x∈(1,+∞)时,h(x)＜0,即函数h(x)在(1,+∞)内无零点,

故k≤0满足条件;

(2)当k＞0时,.

①若0＜k＜2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增.

又h(1)=0,∴h(x)在(0,1)内无零点;

又,而,故在内有一个零点,∴0＜k＜2不满足条件;

②若k=2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.

又h(1)=0,∴当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h(x)＞0恒成立,故无零点.∴k=2满足条件;

③若k＞2,则函数h(x)在内单调递减,在内单调递增,在(1,+∞)内也单调递增.

又h(1)=0,∴在及(1,+∞)内均无零点.

易知,又h(e﹣k)=k×(﹣k)﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=?(k),

则?'(k)=2(e k﹣k)＞0,则?(k)在k＞2为增函数,∴?(k)＞?(2)=2e2﹣6＞0.

故函数h(x)在内有一零点,k＞2不满足.

综上:k≤0或k=2.

[选修41:几何证明选讲]

22.(10分)(2018?衡中模拟)如图所示,AC为⊙O得直径,D为得中点,E为BC得中点.

(Ⅰ)求证:DE∥AB;

(Ⅱ)求证:AC?BC=2AD?CD.

【解答】证明:(Ⅰ)连接BD,因为D为得中点,所以BD=DC.

因为E为BC得中点,所以DE⊥BC.

因为AC为圆得直径,所以∠ABC=90°,

所以AB∥DE.…(5分)

(Ⅱ)因为D为得中点,所以∠BAD=∠DAC,

又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.

又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.

所以=,AD?CD=AC?CE,2AD?CD=AC?2CE,

因此2AD?CD=AC?BC.…(10分)

[选修44:坐标系与参数方程]

23.(2018?衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l得参数方程为(t为参数),在以直角坐标系得原点O为极点,x轴得正半轴为极轴得极坐标系中,曲线C得极坐标方程为ρ=

(1)求曲线C得直角坐标方程与直线l得普通方程;

(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB得面积.

【解答】解:(1)由曲线C得极坐标方程为ρ=

得ρ2sin2θ=2ρcosθ.

∴由曲线C得直角坐标方程就是:y2=2x.

由直线l得参数方程为(t为参数),得t=3+y代入x=1+t中消去t得:x﹣y﹣4=0,

所以直线l得普通方程为:x﹣y﹣4=0…(5分)

(2)将直线l得参数方程代入曲线C得普通方程y2=2x,得t2﹣8t+7=0,

设A,B两点对应得参数分别为t1,t2,

所以|AB|===,

因为原点到直线x﹣y﹣4=0得距离d=,

所以△AOB得面积就是|AB|d==12.…(10分)

[选修45:不等式选讲]

24.(2018?衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.

(I)解不等式f(x)≤6;

(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a得取值范围.

【解答】解:函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|= 得图象如图所示,

(I)不等式f(x)≤6,即①或②,或③.

解①求得x∈?,解②求得3＜x≤5,解③求得﹣1≤x≤3.

综上可得,原不等式得解集为[﹣1,5].

(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,则函数f(x)得图象

不能在y=ax﹣1得图象得下方.

如图所示:

由于图中两题射线得斜率分别为﹣2,2,点B(3,2), ∴3a﹣1≤2,且a≥﹣2,求得﹣2≤a≤1.