八年级数学上册第十四章 典型例题讲解

第十四章 整式的乘法与因式分解

【典型例题讲解】

拓展天地（1）

已知x·x m ·x n ＝x 14且m 比n 大3，求mn 的值．

【解析】 运用同底数幂的运算法则计算，然后由指数相等列出关于m ，n 的一个方程并与“m 比n 大3”列的方程组成方程组可解m ，n 的值．

【解】 ∵x·x m ·x n ＝x 14，∴x 1＋m ＋n ＝x 14，∴1＋m ＋n ＝14.

又∵m 比n 大3，∴m －n ＝3.

则?????1＋m ＋n ＝14，m －n ＝3. 解得?????m ＝8，n ＝5.

∴mn ＝8×5＝40.

拓展天地（2）

比较355，444，533的大小．

【解析】 这三个数底数不同，因而只能从指数着手，55、44、33都是11的倍数，可逆用幂的乘方的性质化成指数相同．

【解】 355＝311×5＝(35)11＝24311，444＝411×4＝(44)11＝25611，533＝511×3＝(53)11＝12511.

∵256＞243＞125，∴25611＞24311＞12511，∴444＞355＞533.

拓展天地（3）

已知|x ＋y －3|＋(x －y －1)2＝0，求代数式12[(－x 2y )2]3的值． 【解析】 先由两非负数和为0，则每个非负数均为0得到x ，y 的值，然后化简求值．

【解】 由题意知?????x ＋y －3＝0，x －y －1＝0. 解得?

????x ＝2，y ＝1. ∴12[(－x 2y)2]3＝12[(x 4y 2)]3＝12x 12y 6＝12

×212×16＝211. 【点拨】 代数式求值往往要先化简，再求值．

拓展天地（4）

如果“三角”表示4xyz ，“方框”表示－5a b d c ，试求出：

×的值．

【解析】 解答这类题的关键是：(1)理解新的运算法则；(2)注意各字母的位置关系，避

免用错新法则．

【解】 根据题意，得×＝(4mn·2)·(－5n 2m 5)＝8mn·(－5m 5n 2)＝－40m 6n 3.

拓展天地（5）

若多项式ax 2＋bx ＋1与2x 2－3x ＋1的积中不含x 3和x 项，试求a ，b 的值．

【解析】 先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并把a ，b 看作常数合并关于x 的同类项，令x 3，x 的系数为零，构造关于a ，b 的二元一次方程组可解出a ，b 的值．

【解】 (ax 2＋bx ＋1)(2x 2－3x ＋1)＝ax 2·2x 2＋ax 2·(－3x)＋ax 2·1＋bx·2x 2＋bx·(－3x)＋bx·1＋1·2x 2＋1·(－3x)＋1×1＝2ax 4－3ax 3＋ax 2＋2bx 3－3bx 2＋bx ＋2x 2－3x ＋1＝2ax 4－3ax 3＋2bx 3－3bx 2＋ax 2＋2x 2＋bx －3x ＋1＝2ax 4＋(－3a ＋2b)x 3＋(a －3b ＋2)x 2＋(b －3)x ＋1，

由题意可得?????－3a ＋2b ＝0，b －3＝0.解得?

????a ＝2，b ＝3.即a 的值为2，b 的值为3.

拓展天地（6）

在一次数学兴趣活动中，同学们做了一个找朋友的游戏：有五个同学A 、B 、C 、D 、E 分别藏在五张大纸牌后面，A 、B 、C 、D 、E 所持纸牌前面分别写有五个算式：2a ·5b ；2c ·5d ；2×5；(a －1)(d －1)；(b －1)(c －1)．游戏规定：所持算式相等的两人是朋友，主持人宣布A 、

B 、

C 两两是朋友，请大家猜猜

D 和

E 是否是朋友？

【解析】 由A 、B 、C 三位同学所对应的等式两两相等，可求出D 、E 两位同学所对应的算式也相等，则D 、E 是朋友．

【解】 由于A 、B 、C 两两是朋友，则有

2a ·5b ＝2c ·5d ＝2×5，所以2a ·5b 2×5＝2c ·5d 2×5＝1.所以2a －1·5b －1＝1①，2c －1·5d －1＝1②.由①得(2a －1·5b －1)d －1＝1，即2(a －

1)(d －1)·5(b －1)(d －1)

＝1③.由②得(2c －1·5d －1)b －1＝1，即2(c －1)(b －1)·5(d －1)(b －1)＝1④.由③④得2(a －1)(d －1)·5(b －1)(d －1)

＝2(c －1)(b －1)·5(d －1)(b －1)，所以2(a －1)(d －1)＝2(c －1)(b －1)，比较指数，得(a －1)(d －1)＝(b －1)(c －1)，由此可以判断D 和E 是朋友．

拓展天地（7）

(阅读理解题)观察下列运算过程，并回答问题：

56×5－3＝56×153＝56÷53＝56－3＝53＝56＋(－3)； 74÷7－2＝74×72＝74＋2＝76＝74－(－2)．

(1)从上面的运算中，你对于a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 为正整数)，a m ÷a n ＝a m －n (m ，n 为正整

数，且m ＞n ，a ≠0)有没有新的认识？

(2)试用你得到的新认识计算：①3－3×3－2； ②87÷8－4.

【解析】 当指数为负整数时，同底数的幂乘法和同底数幂的除法法则仍适用．

【解】 (1)由此可见，对于a m ·a n ＝a m ＋n 和a m ÷a n ＝a m －n ，当m ，n 为负整数时，公式

仍然成立．

(2)①3－3×3－2＝3－3＋(－2)＝3－5；②87÷8－4＝87－(－4)＝811.

拓展天地（8）

如果一正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4、12、20这三个数都是神秘数．

(1)28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

【解析】根据“神秘数”的概念，找出规律．

【解】(1)找规律：4＝4×1＝22－02，12＝4×3＝42－22，20＝4×5＝62－42，28＝4×7＝82－62，2012＝4×503＝5042－5022，所以，28和2012都是神秘数．

(2)(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)．因此由这两个连续偶数2k＋2和2k构造的神秘数是4的倍数．

拓展天地（9）

阅读材料并回答问题：

我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图(1)或图(2)等图形的面积表示．

图(1)图(2)图(3)

请写出图(3)所表示的代数恒等式；

【解析】利用图形整体面积等于各部分面积的和，推出恒等式．

【解】观察所给图形可知：长方形长为2a＋b，宽为a＋2b，所以所得的代数恒等式为(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2.

拓展天地（10）

(阅读理解题)分解因式：1＋a＋a(a＋1)＋a(a＋1)2.

解：1＋a＋a(a＋1)＋a(a＋1)2＝(1＋a)[1＋a＋a(1＋a)]＝(1＋a)2(1＋a)＝(1＋a)3.

(1)本题用了多少次提公因式法？

(2)若将本题改为1＋a＋a(a＋1)＋…＋a(a＋1)2012，需要应用多少次提公因式法？

【解析】把(1＋a)当作整体进行提公因式，观察(1＋a)指数的变化，就可以知道用了几次提取公因式法．

【解】(1)用了2次提公因式法．

(2)原式＝(1＋a)＋a(a＋1)＋…＋a(a＋1)2012＝(1＋a)[1＋a＋a(a＋1)＋…＋a(a＋1)2011]＝(1＋a)2[1＋a＋a(a＋1)＋…＋a(a＋1)2010]＝…＝(1＋a)2012(1＋a)＝(1＋a)2013.由此可见，共用了2012次提公因式法，结果为(1＋a)2013.