2023年河北省高考数学二轮复习专题 专题6 导数解答题30题专项提分计划(含答案)
2023届河北省新高考数学复习 专题6 导数解答题30题专项提分计划
1．（2022·河北·模拟预测）已知函数()()2
e 2
x
m f x x m =+
∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；
(2)若函数()()2
e e x F x x
f x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．
2．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知函数f x x ax bx =-++．
(1)当0,1a b ==时，证明：当()1,x ∈+∞时，()ln f x x <；
(2)若2b a =，函数()f x 在区间()1,2上存在极大值，求a 的取值范围．
3．（2022·河北沧州·统考二模）已知函数(),R f x a x
=∈. (1)求()f x 的单调区间；
(2)证明：()e x
xf x a -+>-.
0a 、a<0讨论可得)()11f =得1x ，不等式1x
--，利用的单调性可得答案，定义域为()1,f x x '=0a 时，)f x '单调递增；a<0时，)0,a --时，()0,f x 单调递减；)+∞时，f 综上，当0a 时，f 时，()f x 的单调递减区间为）知，当a =-)()11f =，1x +， ln x x a x
-=
，所以不等式等价于ln x e 1x
-+-，则在0x >时恒成立，0时，(g x 1x ，所以1e x x x x ---+
故ln e 0x x x -+>，即()e x
xf x a -+>-.
【点睛】本题关键点是讨论导数的正负判断函数的单调性，以及转化求出函数的最值证明不等式，考查了学生分析问题、解决问题能力.
4．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）设函数()()3
ln 1f x x x =++
(1)求曲线()y f x =在()0,0处的切线方程； (2)证明：当n *∈N 且2n 时，()3121ln 1827n n n
-+>++⋅⋅⋅+. 20x ，再换元，令）显然，(x ∈-()(00f '-=(3ln x x ++13x 0x 时，0g x
，(g x ()()00g x g =，
即当0x 时，()32
ln 10x x x ++-
1x n =
，得21
ln 10⎛> ⎝ ()31
ln 1ln n n -+->
由此可得，ln 20-= 1ln 2>
-
2n ，其中,a b ∈(1)若1a =，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，求()f x 的极值； (2)当1,1b a =≤-时，证明：2()e x f x x
-≥
. 1b ，进而得a +，由于函数1b ，
111x
x x
--=的变化情况如下表，(2)
解：当1,1b a =≤-，()ln f x x x a =++， 因为2
22()e e
e ln ln e e
x x x x f x x x x x a x a x --≥⇔≥++⇔≥+，
所以只需证明2e ln e e
x
x x x a ≥+成立即可.
令e ,0x y x x >=，则()'1e 0,0x
y x x =+>>，
所以，函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，即e 0x y x =>. 令e ,0x
x t t =>，则22e ln e ln e e
x x x t
x a t a ≥+⇔≥+，
令()2ln ,0e t t g t a t -->=，则()2'
22
11e e e
t t t t g --==， 所以，当()
20,e t ∈时，()'
0g t <，()g t 单调递减，
当()2
e ,t ∈+∞时，()'0g t >，()g t 单调递增，
所以，()()2
2
e 1ln e
1a a g g t ≥=--=--，
因为1a ≤-，所以10a --≥，即()0g t ≥， 所以
2
ln e t
t a ≥+成立， 所以2
()
e x
f x x
-≥
成立，证毕. 6．（2022·河北保定·统考二模）已知函数()1
e ln ln ln x
f x x x a a -=--+.
(1)若1a =，证明：()1f x ≥.
(2)当[)1,x ∞∈+时，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
7．（2022·河北秦皇岛·统考二模）已知函数()2
si cos n 2
f x x x a x x =
-++． (1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，求a 的取值范围．
0,1，
cos00=，处的切线的斜率为(0)k f '=
0,1处的切线的斜率切线方程为10+=.
8．（2022·河北·模拟预测）已知函数()1e x
f x a
=-+，0a ≠. (1)当1a =时，
①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围.
0（2）()e e x x ax a
f x a
--=+，
令()e x h x a ax =+-，则()e x
h x a '=-.
①若a<0，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.
因为1
1e 10a h a a ⎛⎫
⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()1 e > 0h =，
所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.
代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.
所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .
当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，
由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()2
10,e -⋃.
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.
9．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知函数()e ln =-x
x f x a a
．
(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
(2)若对任意的,()0x ∈+∞，总有()0f x ≥成立，试求正数a 的最小值．
10．（2022·河北·模拟预测）已知函数()e x f x ax =-，R a ∈． (1)求()f x 的极值；
(2)令()()sin 1F x f x ax x bx =++--，当12b <时，讨论()F x 零点的个数．
【答案】(1)当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值()1ln a a -，无极大值 (2)2个零点
【分析】(1)根据题意，求出函数的导函数，对导函数的正负进行分类讨论即可求解； (2)先对函数()F x 求导，令()()g x F x '=，对x 的取值范围分类讨论，利用导数的正负求出
()F x 的单调性，由零点存在性定力判断零点个数即可.
【详解】（1）()f x 的定义域为R ，且()e x f x a '=-．
①当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在R 上单调递增，无极值， ②当0a >时，令0f
x
，得ln x a >；令()0f x '<，得ln x a <，
所以()f x 在(),ln a ∞-上单调递减；在()ln ,a ∞+上单调递增；
()f x 在ln x a =处取极小值()()ln 1ln f a a a =-，无极大值．
综上所知，当0a ≤时，()f x 无极值；
当0a >时，()f x 有极小值()1ln a a -，无极大值．
（2）因为()()e sin 1x
F x x bx x R =+--∈，所以()e cos x F x x b =+-'， 令()()e cos x g x F x x b '==+-，则()e sin x
g x x '=-．
①当x π≤-时，由12b ≤<，得bx b ππ-≥≥，
所以()e sin 1110x
F x x ππ≥++->-->
故()F x 在(],∞π--上无零点．
②当[)0,x ∈+∞时，()e sin 1sin 0x
g x x x ≥-'=-≥，()F x '在[)0,∞+上单调递增；
()()020F x F b ≥=-'>'，()F x 在[)0,∞+上单调递增，()()00F x F ≥=，
()F x ∴在[)0,∞+上有唯一零点0x =，
③当(),0x π∈-时，()sin 0,e sin 0x
x g x x <=->'，
()F x '∴在(),0π-上单调递增，()()020,e 10F b F b ππ-=->-=--'<'，
∴存在(),0t π∈-，使()0F t '=，
当(),x t π∈-时，()F x 单调递减； 当(),0x t ∈时，()F x 单调递增；
又()()()e 10,00F b F t F π
ππ--=+-><=；
()F x ∴在(),t π-上有唯一零点，在(),0t 上无零点，即()F x 在(),0π-上有1个零点． 综上，当12b ≤<时，函数()F x 有2个零点．
11．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知函数()()[]πsin ,0,πf x x x x =-∈ (1)求()f x 在()0,0处的切线方程；
(2)若()f x a =在定义域上有两解12,x x ，求证： ①2a <；
②12ππ
a x x a -≤--.
12．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知函数1e
f x ax
=+．
f x+>；
(1)当1
a=时，求证：()10
f x≤恒成立，求a的取值范围．
(2)当a<0时，不等式()1
【答案】(1)证明见解析
(2){}1-
0f
x
，∴f )2
1
1e 2=-
>-，即）由已知得()(1f x a '=++0f x
，解得1,1a ⎫-∞--⎪⎭上单调递增，(1e a -⎛⎫=-13．（2022·河北邯郸·统考二模）已知函数()ln e
x x f x a x =-，0a ≠．
(1)若1
e
a =，分析f （x ）的单调性；
(2)若f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．
14．（2022·河北唐山·统考三模）已知函数2()ln f x ax x x =--． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；
(2)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ． ①求实数a 的取值范围；
②证明：()()12122ln +>-+f x x x x ．
15．（2022·河北·统考模拟预测）已知()(2)e f x x ax =--为R 上的增函数.
(1)求a ；
(2)证明：若122x x +>，则()()121f x f x +>-.
16．（2022·河北唐山·统考二模）已知函数()3
f x x =
+，()sin g x b x =，曲线()y f x =和()y g x =在原点处有相同的切线l ．
(1)求b 的值以及l 的方程；
(2)判断函数()()()h x f x g x =-在()0,∞+上零点的个数，并说明理由．
2023年河北省高考数学二轮复习专题 专题6 导数解答题30题专项提分计划(含答案)
2023届河北省新高考数学复习 专题6 导数解答题30题专项提分计划 1．（2022·河北·模拟预测）已知函数()()2 e 2 x m f x x m =+ ∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围； (2)若函数()()2 e e x F x x f x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．
2．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知函数f x x ax bx =-++． (1)当0,1a b ==时，证明：当()1,x ∈+∞时，()ln f x x <； (2)若2b a =，函数()f x 在区间()1,2上存在极大值，求a 的取值范围．
3．（2022·河北沧州·统考二模）已知函数(),R f x a x =∈. (1)求()f x 的单调区间； (2)证明：()e x xf x a -+>-. 0a 、a<0讨论可得)()11f =得1x ，不等式1x --，利用的单调性可得答案，定义域为()1,f x x '=0a 时，)f x '单调递增；a<0时，)0,a --时，()0,f x 单调递减；)+∞时，f 综上，当0a 时，f 时，()f x 的单调递减区间为）知，当a =-)()11f =，1x +， ln x x a x -= ，所以不等式等价于ln x e 1x -+-，则在0x >时恒成立，0时，(g x 1x ，所以1e x x x x ---+
故ln e 0x x x -+>，即()e x xf x a -+>-. 【点睛】本题关键点是讨论导数的正负判断函数的单调性，以及转化求出函数的最值证明不等式，考查了学生分析问题、解决问题能力. 4．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）设函数()()3 ln 1f x x x =++ (1)求曲线()y f x =在()0,0处的切线方程； (2)证明：当n *∈N 且2n 时，()3121ln 1827n n n -+>++⋅⋅⋅+. 20x ，再换元，令）显然，(x ∈-()(00f '-=(3ln x x ++13x 0x 时，0g x ，(g x ()()00g x g =， 即当0x 时，()32 ln 10x x x ++- 1x n = ，得21 ln 10⎛> ⎝ ()31 ln 1ln n n -+-> 由此可得，ln 20-= 1ln 2> -
高考数学二轮复习专题六函数与导数第3讲导数的简单应用学案理新人教A版2
第3讲 导数的简单应用 [做真题] 题型一 导数的几何意义 1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3 ＋(a －1)x 2 ＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝－x C ．y ＝2x D ．y ＝x 解析：选D ．法一：因为函数f (x )＝x 3 ＋(a －1)x 2 ＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以(－x )3 ＋(a －1)(－x )2 ＋a (－x )＝－[x 3 ＋(a －1)x 2 ＋ax ]，所以2(a －1)x 2 ＝0，因为 x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D ． 法二：因为函数f (x )＝x 3 ＋(a －1)x 2 ＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3 ＋x ，所以f ′(x )＝3x 2 ＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D ． 2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋ b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1 ，b ＝1 D ．a ＝e －1 ，b ＝－1 解析：选D ．因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的 切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以?????a e ＋1＝2，b ＝－1，解得? ????a ＝e －1 ， b ＝－1. 3．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________． 解析：因为y ＝2ln(x ＋1)，所以y ′＝ 2 x ＋1 .当x ＝0时，y ′＝2，所以曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案：y ＝2x 4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________． 解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2 ＋1))． 则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)， 化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2 x 2＋1 ＋ln(x 2＋1)，
高考数学专题：导数大题专练附答案
高考数学专题：导数大题专练附答案 一、解答题 1． 已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值 (2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈． (1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值； (2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数 b 的取值范围． 3．已知函数1()2ln f x x x x =+-． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 4．已知a R ∈，函数()2 2e 2 x ax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1 201x x ， （ⅰ）求a 的取值范围； （ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．设函数()()2 ()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈. (1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 6．求下列函数的导数： (1)2 cos x x y x -= ； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-． 7．已知函数()e x f x kx =-，()()28ln a g x x x a R x =--∈. (1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值；
2023年河北省高考数学二轮复习专题 专题5 圆锥曲线解答题30题专项提分计划(含答案)
2023届河北省新高考数学复习 专题5 圆锥曲线解答题30题专项提分计划 1．（2022·河北·模拟预测）已知抛物线2:2(0)C x py p =>，点(4,1)A -，P 为抛物线上的动点，直线l 为抛物线的准线，点P 到直线l 的距离为d ，||PA d +的最小值为5． (1)求抛物线C 的方程； (2)直线1y kx =+与抛物线相交于M ，N 两点，与y 轴相交于Q 点，当直线AM ，AN 的斜率存在，设直线AM ，AN ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得 123 11k k k λ +=，若存在，求出λ；若不存在，说明理由． 是8. (1)求双曲线C 的方程； (2)过点(0,3)P 的直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A 和B ，若直线l 上存在不同于点P 的点D 满足||||||||PA DB PB DA ⋅=⋅成立，证明：点D 的纵坐标为定值，并求出该定值.
=. 交C于A（点A在第一象限），B两点，且AB4 (1)求C的标准方程. (2)已知l为C的准线，过F的直线1l交C于M，N（M，N异于A，B）两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点.
4．（2022·河北· 河北容城中学校考模拟预测）已知点E ，F ⎫ ⎪⎪ ⎝⎭ ，点A 满足 ||| AE AF =，点A的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若直线:l y kx m =+与双曲线： 22 1 49 x y -=交于M，N两点，且 2 MON π ∠=（O为坐标原点），求点A到直线l距离的取值范围. 2 所以 1 OM ON x x ⊥⇒ 化简，得2 12 (1) k x x + 22 8 49 km x k +=- - ，
高考数学二轮复习专题
高考数学二轮复习专题汇总 1 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 2 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 3 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 4 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 5 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。 6 专题六：概率与统计、算法与复数。要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。
高考数学导数的综合应用问题解答题专题练习
高考数学导数的综合应用问题解答题专题练习 一、归类解析 题型一：证明不等式 【解题指导】 (1)证明f (x )>g (x )的一般方法是证明h (x )＝f (x )－g (x )>0(利用单调性)，特殊情况是证明f (x )min >g (x )max (最值方法)，但后一种方法不具备普遍性． (2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f (x 1)＋g (x 1) 第二篇 专题六 第1讲 一、选择题 1．(2021·全国甲卷)设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f (－x ).若f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，则f ⎝⎛⎭⎫ 53＝( C ) A ．－5 3 B ．－1 3 C ．1 3 D ．53 【解析】 方法一：由题意得f (－x )＝－f (x )， 又f (1＋x )＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (2＋x )＝f (x )，又f ⎝⎛⎭⎫－13＝13， 则f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝1 3.故选C. 方法二：由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1 2对称， 又f (x )为奇函数，所以f (x )是周期函数，且T ＝4⎪⎪⎪⎪0－1 2＝2， 则f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫53－2＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝1 3，故选C. 2．设函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ log 2(1－x )，x <0，22x -1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 2 3)等于( B ) A ．11 2 B ．13 2 C ．15 2 D ．10 【解析】依题意f (－3)＋f (log 2 3)＝log 2 4＋22log 2 3－1＝2＋2log 2 92＝2＋92＝13 2. 3．设函数f (x )＝4x 2 3 |x |，则函数f (x )的图象大致为( A ) 【解析】观察函数解析式发现，x 是以平方、绝对值的形式出现的，所以f (x )为偶函数，排除B ；当x >0时，f (x )＝4x 2 3x ，当x →＋∞时，f (x )→0，排除C ；因为f (2)＝4×2232＝169<2， 选项D 中f (2)>2，所以D 不符合题意． 4．(2022·济宁模拟)函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且对于任意的x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 <1成立．如果f (m )＞m ，则实数m 的取值集合是( C ) A ．{0} B ．{m |m ＞0} C ．{m |m ＜0} D ．R 【解析】令g (x )＝f (x )－x ， 因为f (x )为奇函数， 所以g (x )为R 上的奇函数，不妨设x 1＜x 2， 由 f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 <1成立可得f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2， 即f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2， 所以g (x 1)＞g (x 2)，即g (x )在R 上单调递减， 由f (m )＞m 得g (m )＞0＝g (0)， 所以m ＜0.故选C. 5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x －2，则( B ) A ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6>f ⎝⎛⎭⎫cos π 6 B ．f (sin 3) 函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分” [思维流程——找突破口] [技法指导——迁移搭桥] 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题. [典例] 已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R)． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0. [快审题] 求什么 想什么 讨论函数的单调性，想到利用导数判断． 证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化． 给什么 用什么 已知函数的解析式，利用导数解题． 差什么 找什么 证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的关系，应找出所构造函数的最值. [稳解题] (1)f ′(x )＝e x －a (x >0)， ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②若a >0，则当0 单元检测(三) 导数及其应用 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．[2021·山西运城市期中]已知函数f (x )＝x 2＋2f ′(1)ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．2 D ．1 2．[2021·广东揭阳市期中]函数f (x )＝x e x －x 2－2x 极大值点为( ) A ．－1 B ．(－1，1－e －1) C ．ln 2 D ．(ln 2，－ln 22) 3．[2021·山东泰安市期中]函数f (x )＝x 3－27x 在区间[－4，2]上的最大值是( ) A ．－46 B ．－54 C ．54 D ．46 4．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( ) A ．f (x )的极大值为4－ln 2 B ．f (x )的极小值为4－ln 2 C ．f (x )的极大值为1＋ln 2 D ．f (x )的极小值为1＋ln 2 5．[2022·广东高二期末]曲线y ＝x 3－2x 2在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝2x －3 D ．y ＝－x 6．[2022·福建省厦门测试]如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋6，则f (3)＋f ′(3)＝( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．0 7．[2021·咸阳百灵学校期中]若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D ．⎝ ⎛⎦⎤－∞，13 8．[2022·汕头市东方中学模拟]已知函数f (x )＝x －1－ln x ，对定义域内任意x 都有f (x )≥kx －2，则实数k 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e 2 B ．⎝ ⎛⎭⎫－∞，－1e 2 C ．⎣⎡⎭⎫－1e 2，＋∞ D ．⎣⎡⎭ ⎫1－1e 2，＋∞ 9．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2，a ∈R ，若f (x )在[1，e 2]上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－e 42 2023高考数学二轮复习专项训练《导数的计算》 一、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（） A. f（a）＞eaf（0） B. f（a）＞f（0） C. f（a）＜f（0） D. f（a）＜eaf（0） 2.（5分）直线y＝kx+1与曲线y＝x3+bx2+c相切于点M(1, 2)，则b的值为（） A. −1 B. 0 C. 1 D. 2 3.（5分）设f（x）=x3，f（a-bx）的导数是（） A. 3（a-bx） B. 2-3b（a-bx）2 C. 3b（a-bx）2 D. -3b（a-bx）2 4.（5分）已知函数f(x)=2lnx+f′(2)x2+2x+3，则f(1)=() A. −2 B. 2 C. −4 D. 4 5.（5分）设f0(x)=sin2x+cos2x，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，f1+n(x)=fn′(x)，n∈N*，则f2013（x）=（） A. 22012（cos2x-sin2x） B. 22013（sin2x+cos2x） C. 22012（cos2x+sin2x） D. 22013（sin2x+cos2x） 6.（5分）曲线y=2sinx+cosx在点(π,−1)处的切线方程为() A. x−y−π−1=0 B. 2x−y−2π−1=0 C. 2x+y−2π+1=0 D. x+y−π+1=0 7.（5分）若函数f(x)=x3−tx2+3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是() ] B. (−∞,3] A. (−∞,51 8 ,+∞) D. [3,+∞) C. [51 8 8.（5分）[2021湖南省郴州市月考]随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍−234的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N02−124,其中N0为t=0时针-234的含量.已知t=24时,钍−234含量的瞬时变化率为−8ln2,则N(96)= A. 12 B. 12ln2 C. 24 D. 24ln2 9.（5分）设(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则 |a1|+2|a2|+3|a3|+4|a4|+5|a5|+6|a6|+7|a7|=() A. 10206 B. 5103 C. 729 D. 728 10.（5分）函数f(x)=2f′(1)·x+xlnx在x=1处的切线方程为() 考点突破练21 利用导数研究函数的零点问题 1.(2022·山东济宁三模)已知函数f (x )=x-a ln 2x-(e -a-1)ln x-1,a ∈R . (1)当a=0时,证明:f (x )≥(e -2)(1-x ); (2)若函数f (x )在(1,e)内有零点,求实数a 的取值范围. 2.(2022·北京西城二模)已知函数f (x )=lnx+a x+1. (1)若f'(1)=14 ,求a 的值; (2)当a>2时, ①求证:f (x )有唯一的极值点x 1; ②记f (x )的零点为x 0,是否存在a>2使得x 1x 0 ≤e 2?说明理由. 3.(2022·安徽合肥二模)已知函数f (x )=e x +cos x-e x ,f'(x )是f (x )的导函数. (1)证明:函数f (x )只有一个极值点; (2)若关于x 的方程f (x )=t (t ∈R )在(0,π)上有两个不相等的实数根x 1,x 2,证明:f'(x 1+x 22)<0. 4.(2022·江苏南京、盐城二模)设函数f(x)=a e x+sin x-3x-2,e为自然对数的底数,a∈R. (1)若a≤0,求证:函数f(x)有唯一的零点; (2)若函数f(x)有唯一的零点,求实数a的取值范围. 5.(2022·山东临沂一模)已知函数f(x)=e x-2a√x(a>0). (1)若a=e,讨论f(x)的单调性; (2)若x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,证明:1 6.(2022·河南开封三模)已知函数f (x )=e x -a (x+cos x ),其中a>0,且满足对∀x ∈[0,+∞)时,f (x )≥0恒成立. (1)求实数a 的取值范围; (2)令g (x )=f (x )-2x+1x+1,判断g (x )在区间(-1,π 2)内的零点个数,并说明理由.(参考数据:e π2≈4.8) 2023新教材数学高考第二轮专题 考点突破练20 利用导数研究函数的零点问题 1.(2022·江苏苏锡常镇二模)设函数f (x )=a e x +sin x-3x-2,e 为自然对数的底数,a ∈R . (1)若a ≤0,求证:函数f (x )有唯一的零点; (2)若函数f (x )有唯一的零点,求a 的取值范围. 2.(2022·山东日照三模)已知函数f (x )=(x-2)e x -ax+a ln x (a ∈R ). (1)当a=-1时,求函数f (x )的单调区间; (2)当a 4.(2022·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=ax3-3x2+a+b. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当f(x)有三个零点时a的取值范围恰好是(-3,-2)∪(-2,0)∪(0,1),求b的值. 5.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围. 考点突破练20 利用导数研究函数的零点问题 1.(1)证明 当a ≤0时,f'(x )=a e x +cos x-3<0恒成立,所以f (x )单调递减,又f (0)=a-2<0,f (a 3-1)>a e a 3-1-3(a 3-1)-3=a e a 3-1-a>0,所以存在唯一的x 0∈a 3-1,0 ,使得f (x 0)=0,命题得证. (2)解 由(1)知,a ≤0符合题意. (ⅰ)当a=2时,由f (x )=2e x +sin x-3x-2,得f'(x )=2e x +cos x-3. 当x<0时,f'(x )≤2e x -2<0,所以f (x )单调递减; 当x>0时,设h (x )=f'(x ),则h'(x )=2e x -sin x ≥2e x -1>0,所以f'(x )在(0,+∞)上单调递增, 从而,当x>0时,f'(x )>f'(0)=0,所以f (x )单调递增, 于是f (x )≥f (0)=0,当且仅当x=0时取等号, 故此时f (x )有唯一的零点x=0. (ⅱ)当a>2时,f (x )>2e x +sin x-3x-2≥0,此时f (x )无零点; (ⅲ)当0 2023高考数学二轮复习专项训练《导数在解决实际问题 中的应用》 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1.（5分）若z=−1+√3i，则z zz−−1 =() A. −1+√3i B. −1−√3i C. −1 3+√3 3 i D. −1 3 −√3 3 i 2.（5分）命题“∀x∈R，∃x∈N，使得n⩾x2+1”的否定形式是() A. ∀x∈R，∃x∈N，使得n 6.（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π 2 )的图象如图所示，则() A. 函数f(x)的最小正周期是2π B. 函数f(x)在区间(π 2 ,π)上单调递减 C. 函数f(x)的图象与y轴的交点为(0,−1 2 ) D. 点(7π 6 ,0)为函数f(x)图象的一个对称中心 7.（5分）21 3，log26，3log32的大小关系是 A. 21 3 高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析 导数的简单应用 微专题1导数的几何意义及其应用 导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P 处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 『典型题训练』 1．若过函数f(x)＝ln x－2x图象上一点的切线与直线y＝2x＋1平行，则该切线方程为() A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2ln2＋1＝0 C．2x－y－2ln2－1＝0 D．2x＋y－2ln2－1＝0 2．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l过定点() A．(0，2) B．(1，0) C．(1，a＋1) D．(e，1) )，则曲线y＝f(x)在x＝0 3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝cos x－xf′(π 2 处的切线方程是() A．2x－y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0 C．x－2y＋2＝0 D．x＋2y＋1＝0 4．已知函数f(x)＝a e x＋x2的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝(2e+2)x＋b，那么ab＝() A．2 B．1 C．－1 D．－2 5．[2021·重庆三模]已知曲线C1：f(x)＝e x＋a和曲线C2：g(x)＝ln (x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是() ，+∞)B．[0，＋∞) A．[−9 4 ] C．(−∞，1]D．(−∞，9 4 在点(－1，－3)处的切线方程为________________．6．[2021·全国甲卷(理)]曲线y＝2x−1 x+2 2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用） 专题1.3导数及其应用两大考点与真题训练 考点一：导数的几何意义 一、单选题 1．（2022·河南焦作·二模（文））函数()()2e cos x f x x x =-⋅的图象在0x =处的切线方 程为（ ） A ．210x y -+= B ．20x y -+= C ．20x += D ．210x y -+= 2．（2022·贵州·模拟预测（理））若存在两条过点(1,1)-的直线与曲线2a y x x =-相 切，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4)(1,)∞∞--⋃+ B ．(,1)(4,)-∞-+∞ C ．(,0)(3,)-∞⋃+∞ D ．(,3)(0,)∞∞--⋃+ 3．（2020·四川·模拟预测（理））曲线()ln f x x x x =-在(,0)a 处的切线方程为（ ） A ．0y = B ．y x = C ．e y x =-+ D ．e y x =- 4．（2022·福建·三模）已知()f x 是定义在R 上的函数，且函数(1)1y f x =+-是奇函数，当1 2 x < 时，()ln(12)f x x =-，则曲线()y f x =在2x =处的切线方程是（ ） A ．4y x =- B ．y x = C ．22y x =-+ D ．26y x =-+ 5．（2022·全国·模拟预测）曲线()cos 2 f x x π π=+在1 2 x = 处的切线方程为（ ） A ．10x y +-= B ．0x y ππ+-= C ．10x y π+-= D ．0x y π+-= 二、多选题 6．（2022·重庆·二模）已知曲线()e x f x x =及点(),0P s ，则过点P 且与曲线()y f x =相 切的直线可能有（ ） 高考数学专题：导数大题专练(含答案) 一、解答题 1． 已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值 (2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知曲线()1f x x = (1)求曲线在点(1,1)P 处的切线方程． (2)求曲线过点(1,0)Q 的切线方程． 3．已知函数()32 f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2 x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值． 4．已知函数()ln .f x x x ax a =-+ (1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x < 5．己知数列{}n a 和{}n b ，12a =且()11n n b n a *=-∈N ，函数()()ln 11mx f x x x =+-+，其中0m >． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)若数列{}n a 各项均为正整数，且对任意的n * ∈N 都有21121 12 n n n n a a a a +++- <+．求证： （ⅰ）()12n n a a n * +=∈N ； （ⅱ）5 3123e n b b b b ->，其中e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数． 6．已知：()e x f x mx =+. (1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； (2)当0x ≥时，()2213 222 m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围 7．己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈. (1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； (2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的 2023年高考数学复习——大题狂练：导数（15题）一．解答题（共15小题） 1．（2022秋•包头月考）已知函数f（x）＝x3﹣a（x2+2x+2）． （1）若a＝2，求f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点． 2．（2022•梅河口市校级开学）已知函数f（x）＝（1﹣x）e x﹣a（x2+1）（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，证明：x1+x2＜0． 3．（2022春•大兴区期末）已知函数f（x）＝． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的最大值与最小值． 4．（2022春•汪清县校级期末）已知函数，x∈（0，+∞）．（1）求函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调递增区间． 5．（2022春•资阳期末）已知曲线f（x）＝ax3﹣bx2+2在点（1，f（1））处的切线方程为y ＝1． （1）求a、b的值； （2）求f（x）的极值． 6．（2022春•静安区校级期末）求函数f（x）＝tan x的导函数，并由此确定正切函数的单调区间． 7．（2022春•长宁区校级期末）求下列函数的导数： （1）f（x）＝3x4+sin x； （2）． 8．（2022春•兴义市校级月考）已知函数f（x）＝ax3+cx（a≠0）当x＝1时，f（x）取得极值﹣2． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的单调区间和极大值； 9．（2022春•乳山市校级月考）已知函数．（1）求函数f（x）的极值； （2）若函数y＝f（x）的图象与直线y＝0恰有三个交点，求实数a的取值范围． 10．（2022春•重庆月考）已知函数f（x）＝（x+a）e x． （1）若f（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的值； （2）若f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求实数a的取值范围． 专题16函数与导数常见经典压轴小题全归类 【命题规律】 1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小． 2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 【核心考点目录】 核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型 核心考点二：函数嵌套问题 核心考点三：函数整数解问题 核心考点四：唯一零点求值问题 核心考点五：等高线问题 核心考点六：分段函数零点问题 核心考点七：函数对称问题 核心考点八：零点嵌套问题 核心考点九：函数零点问题之三变量问题 核心考点十：倍值函数 核心考点十一：函数不动点问题 核心考点十二：函数的旋转问题 核心考点十三：构造函数解不等式 核心考点十四：导数中的距离问题 核心考点十五：导数的同构思想 核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 核心考点十七：三次函数问题 核心考点十八：切线问题 核心考点十九：任意存在性问题 核心考点二十：双参数最值问题 核心考点二十一：切线斜率与割线斜率 核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） 核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 核心考点二十四：函数的伸缩变换问题 【真题回归】 1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln b f x a x x =+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．1 2 - C ．1 2 D ．1 2．（2022·全国·统考高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ） A ．ππ22 -， B ．3ππ22- ， C ．ππ222 -+， D ．3ππ222 - +， 3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有两个极值点 B ．()f x 有三个零点 C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心 D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线 4．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){} 2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至 少有3个零点，则实数a 的取值范围为______. 5．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数()22,1, 11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪ =⎨+->⎪⎩则 12f f ⎛⎫ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________． 8．（2022·全国·统考高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 9．（2022·北京·统考高考真题）设函数()()2 1,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩ 若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________． 【方法技巧与总结】 1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）． 3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质
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