工程数学-复变函数与积分变换吉林大学数学学院习题详解

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）

高等教育出版社 习题一（P12）

对任何z ，2

2z z =是否成立如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z 值才成立

解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，2

22z x y =+；

若2

2z z =成立，则有2222

2x y xyi x y -+=+，即222220

x y x y

xy ?-=+?=?，解得

0y =，即z x =。

所以，对任何z ，2

2z z =不成立，只对z 为实数时才成立。 求下列各式的值：

（1）5

)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）1

3

(1)i -。

解：（16

2i

i e

π-

=，所以

5

55

55

6661)223232())2i i i i e e e i i πππ

--?-??====-=- ???

（2）因为41i

i e π

+=，所以

6

3663

442(1)288i i i e e e i πππ

??+====-??

（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以

()1

6

22cos sin cos

sin

6

6

k k k w i i ππ

ππ

ππ++==+=+，其中

0,1,2,3,4,5k =；

即01cos

sin

6

6

22w i i π

π

=+=

+，1cos sin 22

w i i ππ

=+=，

2551cos

sin 662w i i ππ=+=+，3771

cos sin 662

w i i ππ=+=-，

433cos

sin 22

w i i ππ

=+=-

，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。 （4

）因为1cos()sin()44i i ππ?-=-+-??，所以

1

13

6

2244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ??-+-+??

=-=+????

??

，其中0,1,2k =；

即

16

02cos()sin()1212w i ππ?

?=-+-??

?

?，

1

6

1772cos sin

1212w i ππ?

?=+????

，

1

6

2552cos sin 44w i ππ?

?=+????

。

求方程380z +=的所有根。 解法一：用因式分解法求解。

因为 33322

82(2)(24)(2)(21)3z z z z z z z z ??+=+=+-+=+-++??

22

(2)(1)((2)(11z z z z z ??=+-+=+-+--??

所以由380z +=

，得(2)(110z z z +-+--=， 解得 12z =-

，21z =-

31z =+

故方程380z +=的所有根为12z =-

，21z =+

31z =+

解法二：用复数的方根的方法求解。

由380z +=，得38z =-，即z 是8-的三次方根；而 88(cos sin )i ππ-=+，所以

2222cos sin 2cos sin 3333k k k k k z i i ππππππππ++++??

?==+=+??????，其中0,1,2k =；

即02cos sin 133z i ππ?

?=+=+ ??

?12(cos sin )2z i ππ=+=，

2552cos sin

133z i ππ?

?

=+=- ??

?

故方程380z +=的所有根为01z =+12z =，21z =- 指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图，

（1）56z -=； （2）21z i +≥； （3）Im()2z ≤； （4）0arg z π<<。 解：（1）56z -=表示以点(5,0)为中心，6为半径的圆周；

（2）21z i +≥表示以点(0,2)-为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部； （3）Im()2z ≤表示直线2y =及其下面的部分； （4）0arg z π<<表示位于x 轴上方的部分。

指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单联通的还是多联通的。

（1）Im()0z >； （2）14z ->； （3）0Re()1z <<； （4）23z ≤≤。 解：（1）Im()0z >表示位于x 轴上方的区域，它是无界区域，是单联通的； （2）14z ->表示以点(1,0)为中心，4为半径的圆周的外部区域，它是无界区域，是多联通的；

（3）0Re()1z <<表示介于两直线0x =与1x =之间的区域，它是无界区域，是单联通的；

（4）23z ≤≤表示夹在以原点为圆心，2和3为半径的圆周之间的部分并且包含那两个圆周的闭区域，它是有界的，但它是多联通的。

已知映射3w z =，求：

（1）点1z i =，21z i =+，3z i =在w 平面上的像； （2）区域0arg 3

z π

<<

在w 平面上的像。

解：（1）将1z i =，21z i =+，3z i =分别代入3w z =，得

33211w z i i i i ====-，

33222(1)(1)(1)2(1)22w z i i i i i i ==+=++=+=-+，

3

3

3

33662

33)2288i i i w z i e e e i πππ

???====== ???

，

即点1z i =，21z i =+

，3z i =在w 平面上的像分别为i -，22i -+，8i 。 （2）设w u iv =+，则由3w z =，可得3arg 2Argw z k π=+（k Z ∈）； 又arg 2Argw w m π=+（m Z ∈），所以，当0arg 3

z π

<<

时，0arg w π<<；

从而区域0arg 3

z π

<<

在w 平面上的像是位于u 轴上方的部分。

设1()2z z f z i z z

??

=- ???

（0z ≠）

，试证当0z →时()f z 的极限不存在。 证

：因

为

()

2

22

2

2

1()()2Re()2Im()

2Re()Im()

()2222z z z z z z z z z i z z z f z i z z izz

i z

i z

z

-??+-=

-==

=

=

???

g ，

则令z x iy =+（,x y R ∈），()(,)(,)f z u x y iv x y =+，代入上式，得

22

2(,)(,)xy u x y iv x y x y +=+，即22

2(,)(,)0

xy u x y x y v x y ?

=?+??=?； 又当0z →时，有0x →且0y →；而22

00

2lim (,)lim

x x o y y xy

u x y x y

→→→→=+不存在， 所以0

lim ()z f z →不存在。

试证arg z 在原点与负实轴上不连续。

证：（1）因为0Arg 无意义，故rg 0a 也无意义，即arg z 在0z =处无定义，故arg z 在0z =处不连续。

（2）设00x <为负实轴上的任意一点，因为arg z ππ-<≤，如右图所示，当z 在第二象限中沿直线0x x =趋于0x 时，arg z 趋于π；而当z 在第四象限中沿直线0x x =趋于0x 时，arg z 趋于π-； 所以 0

lim arg z x z →（00x <）不存在，

故arg z 在负实轴上不连续。

由（1）（2）可知，arg z 在原点与负实轴上不连续。

第二章 解析函数 习题二（P25）

利用导数定义指出： （1）1

()n

n z nz

-'=（n 为正整数）； （2）211z z '

??=- ???

。

解：（1）由导数的定义，有

0()()lim n n

n

z z z z z z

?→+?-'=?

[]1

232210

()()()()...()lim

n n n n n z z z z z z z z z z z z z z z z z

-----?→??+?-+?++?++?+++?+??

?分子分解因式 123221

0lim ()()()...()n n n n n z z z z z z z z z z z z z -----?→??=+?++?++?+++?+?

? 1232211...n n n n n n z z z z z zz z nz ------=+++++=

所以 1()n n z nz -'=。 （2）由导数的定义，有

2

0000()11

111()()lim lim lim lim ()z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

?→?→?→?→-+?-?-

'

+?+???+?====-=- ????+???

，

故211z z '

??=- ???

。

下列函数何处可导何处解析

（1）2()f z x iy =-； （2）33()23f z x y i =+； （3）22()f z xy ix y =+； （4）()sin cos f z xchy i xshy =+

解：（1）因为2

()f z x iy =-，所以2u x v y

?=?=-?，则

2u x x ?=?，0u y ?=?，0v

x ?=?，1v

y

?=-?； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；

若C R -方程成立，则2100

x =-??=-?，即1

2x =-；

即只有当1

2

x =-时，2()f z x iy =-才满足C R -方程。

所以，函数2()f z x iy =-只在直线1

2

x =-上的点可导。

由函数解析的定义可知，函数2()f z x iy =-在整个复平面内处处不解析。

（2）因为3

3

()23f z x y i =+，所以3

3

23u x v y

?=??=??；则2

6u x x ?=?，0u y ?=?，0v x ?=?，29v

y y

?=?； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；

若C R -方程成立，则22

6900

x y ?=?=-?0±=；

0±=时，33()23f z x y i =+才满足C R -方程。

所以，函数33()23f z x y i =+0±=上的点可导。 由函数解析的定义可知，函数33()23f z x y i =+在整个复平面内处处不解析。

（3）因为2

2

()f z xy ix y =+，所以2

2

u xy v x y

?=??=??；则2

u y x ?=?，2u xy y ?=?，2v

xy x

?=?，2v x y ?=?； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；

若C R -方程成立，则2

2

22y xy

xy x

?=??=-??，即0x y ==； 即只有当0x y ==时，22()f z xy ix y =+才满足C R -方程。

所以，函数22()f z xy ix y =+只在点0z =处可导。

由函数解析的定义可知，函数22()f z xy ix y =+在整个复平面内处处不解析。

（4）因为()sin cos f z xchy i xshy =+，所以sin cos u xchy

v xshy =??=?

；

则

cos u xchy x ?=?，sin u xshy y ?=?，sin v xshy x

?=-?，cos v xchy y ?=?； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的，并且

()sin cos f z xchy i xshy =+在整个复平面内满足C R -方程；

所以，函数()sin cos f z xchy i xshy =+在整个复平面内处处可导，从而处处解析。

指出下列函数的解析性区域，并求其导数。 （1）5(1)z -； （2）32z iz +； （3）

2

1

1

z -； （4）

az b

cz d

++（c ，d 中至少有一个不为零） 解：（1）函数5(1)z -在整个复平面内处处解析，且54(1)5(1)z z '??-=-??

。 （2）函数32z iz +在整个复平面内处处解析，且32(2)32z iz z i '+=+。 （3）函数

21

1

z -在除去1z =±的复平面内处处解析，且当1z ≠±时222

121(1)z z z '??=- ?--??

。 （4）因为c ，d 中至少有一个不为零，则

①当0c =时，函数为az b d +，它在整个复平面内处处解析，且az b a

d d '+??= ???

； ②当0c ≠时，函数

az b cz d ++在除去d z c =-的复平面内处处解析，且当d

z c

≠-时22

()()()()az b a cz d c az b ad bc

cz d cz d cz d '++-+-??== ?+++??

。 求下列函数的奇点： （1）

21(1)z z z ++； （2）222

(1)(1)

z z z -++。

解：（1）函数

21

(1)

z z z ++的奇点即为该函数没有意义的点，也即为该函数分母

等于零的点，即0,z i =±为函数

21

(1)

z z z ++的奇点。

（2）函数

22

2

(1)(1)

z z z -++的奇点即为该函数没有意义的点，也即为该函数分母等于零的点，即1,z i =-±为函数

222

(1)(1)z z z -++的奇点。

如

果

()f z u iv

=+是z

的解析函数，证明：

2

2

2()()()f z f z f z x y

????

??'+= ? ???????

。 证：由()f z u iv =+是z 的解析函数，得

u v

x y u v

y

x ???=?????

???=-???? 且 ()u u f z i x y ??'=-?? ， 从而222()u u f z x y ??????

'=+ ? ???????；

又()f z =

()u u u v u v u v f z x ????-+?==?

，()u v u u u v u v f z y ????++?==

?； 所以 2

2

222222()()u u u u u v u v f z f z x y y x x y u v u v ????

????-+ ? ???????????????+=

+??????++????

2222

222222

22u u u u u u u u u uv v u uv v x x y y y x y x u v ????????????????????-++++????

? ? ? ?????????????????????????=

+g g 2

2

222222

22

()()u u u v u v x y u u u v x y ??????

+++ ? ?????????????==+ ? ?+??????

， 故2

2

2

2

2()()()f z f z u u f z x y x y ????????

????'+==+???? ? ?????????????

。结论得证。 设3232()my nx y i x lxy +++为解析函数，试确定l ，m ，n 的值。

解：因为在复变函数3

2

3

2

()my nx y i x lxy +++中，有32

32

u my nx y

v x lxy

?=+??=+??，

则

2u nxy x ?=?，223u my nx y ?=+?，223v x ly x

?=+?，2v lxy y ?=?； 显然，这四个偏导函数在整个复平面内都是连续的；

又3232()my nx y i x lxy +++为解析函数，所以应满足C R -方程，则有

2222

223(3)nxy lxy my nx x ly =??+=-+?，解得3

13

l m n =-??

=??=-?

。 证明C R -方程的极坐标形式是：

1u v r r θ??=??，1v u

r r θ

??=-

??。 证：C R -方程即为u v x y u v y

x ???=????

????=-????；

而直角坐标与极坐标的关系是cos sin x r y r θθ=??=?，所以(,)(cos ,sin )

(,)(cos ,sin )u x y u r r v x y v r r θθθθ=??=?，

则

cos sin u u x u y u u

r x r y r x y

θθ???????=+=+???????g g ， (sin )cos sin cos u u x u y u u u u

r r r x y x y x y θθθθθθθ???????????=+=-+=-+ ????????????

g g g g cos sin cos sin sin cos v v x v y v v u u u u r x r y r x y y x x y

θθθθθθ???????????=+=+=-+=-???????????g g g g ，

(sin )cos (sin )cos sin cos v v x v y v v u u u u

r r r r r x y x y y x y x θθθθθθθθθ?????????????=+=-+=--+=+ ??????????????

g g g g g g 所以

1u v

r r θ

??=??，1v u r r θ??=-??。 若函数()f z u iv =+在区域D 内解析，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数。

（1）()f z 恒取实值； （2）()f z 在D 内解析； （3）()f z 在D 内为一个常数； （4）arg ()f z 在D 内为一常数；

（5）au bv c +=，其中a ，b 和c 为不全为零的实常数。

证：因为函数()f z u iv =+在区域D 内解析，所以()f z u iv =+在区域D 内

满足C R -方程，即 u v x y u v y

x ???=????

????=-???? …………（*）

（1）因为()f z 恒取实值，则可设()(,)f z u x y =；此时（*）为

00u v

x y u v y

x ???==????

?

???=-=???? 解得(,)u x y C =（其中C 为任意一个复常数）， 从而()f z C =为常数。结论成立。

（2）因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()(,)(,)f z u x y iv x y =-；

由函数()f z 在D 内也解析，所以()(,)(,)f z u x y iv x y =-在D 内满足C R -方程，即

()

()u v v x y y u v v y

x x ??-??==-?????

?

??-??=-=????? （**） 则由（*）和（**），可得0

0u u

x y v v x

y

???==????

?

???==????，即1

2u C v C =???=??（其中1C ，2C 为任意复常数）

从而12()f z C iC =+为常数。结论成立。 （3）因为()f z u iv =+

，所以()f z =

又()f z 在D 内为一个常数，则2

()f z 在D 内也为一个常数，即

2

22()f z u v C =+=（其中C 为非负数）

①当0C =时，即2

22()0f z u v =+=，则0u v ==（因为u ，v 都是二元实函数），

从而()0f z =，结论得证。

②当0C ≠时，则对方程22u v C +=（0C ≠）两边分别关于x ，y 求偏导数，得

00u

v u v x

x u v u v y y ???+=?????

???+=????

…………（***）， 将（*）代入（***），得 00u

u u v x y u u u v y

x ???-=????

????+=????…………（****）

方程（****）为齐次线性方程组，且其系数行列式

2222()0u v

u v u v C v u

-=--=+=≠， 故方程（****）只有零解，即

0u u x y ??==??，将此结果代入（*），得0v v x y

??==??； 由

0u u

x y

??==??解得1u C =（其中1C 为任意复常数）； 由

0v v x y

??==??解得2v C =（其中2C 为任意复常数）； 所以12()f z C iC =+为常数。结论成立。

（4）因为arg ()f z 在D 内为一常数，又arg ()f z ππ-<≤，所以 ①当arg ()2

f z π

=±

时，有0u =，此时

0u u x y

??==??； 将

0u u x y ??==??代入（*），得0v v x y

??==??，解得v C =（其中C 为任意复常数）； 此时()f z iC =为常数，则结论成立。 ②当arg ()2

f z π

≠±

时，有[]tan arg ()v

f z u

=

且0u ≠； 由arg ()f z 在D 内为一常数，则[]tan arg ()v

f z u

=

也为常数；

此时记

v

k u

=（其中k 为实常数）

，即v ku =； 对方程v ku =两边分别关于x ，y 求偏导数，得v u k x

x v u k y

y ???=????????=????…………（******）

将（******）代入（*），得u u k x y u u k y

x ???=????????=-????，即22(1)0(1)0

u k x u k y ??+=???

???+=???；

因为k 为实常数，所以210k +≠，从而00u x u y ??=??????=???，将此结论代入（*），可得00v

x

v y ??=??????=???；

由

0u u

x y

??==??解得1u C =（其中1C 为任意复常数）； 由

0v v x y

??==??解得2v C =（其中2C 为任意复常数）； 所以12()f z C iC =+为常数。结论成立。

（5）因为au bv c +=（其中a ，b 和c 为不全为零的实常数），则 （I ）当a ，b 和c 中只有一个为零时，

①当0

00

b a

c =??

≠??≠?

时，则c u a =为实常数，是（1）的情形，此时结论成立；

②当0

00

a b c =??

≠??≠?时，则c v b =为实常数，此时证明过程与（1）类似，结论也是成立的；

③当0

00

c a b =??

≠??≠?

时，则a v u b =-（其中a b -是实常数），是（4）中的情形②；此时结

论成立。

（II ）当a ，b 和c 中有两个为零时，

①当00

b c a ==??≠?时，则0u =为实常数，此时()f z iv =，从而（*）为

00u v x y u v y

x ???==????

?

???=-=???? 解得(,)v x y C =（其中C 为任意一个复常数）， 从而()f z iC =为常数。结论成立。

②当00a c b ==??≠?时，则0v =为实常数，此时()(,)f z u x y =是（1）的情形，此时

结论成立。

③不可能出现00a b c ==??≠?

的情况。

找出下列方程的全部解。

（1）sin 0z =； （2）cos 0z =； （3）10z e +=； （4）shz i =。

解：（1）因为sin 2iz iz e e z i --=，由sin 0z =，得

02iz iz

e e i

--=，即21iz e =，解得21iz Ln =；而1ln 1(arg12)0(02)2Ln i k i k k i πππ=++=++=（k Z ∈）， 所以22iz k i π=，即z k π=（k Z ∈）；

故方程sin 0z =的全部解为z k π=（k Z ∈）。

（2）因为cos 2iz iz e e z -+=，由cos 0z =，得

02

iz iz

e e -+=，即21iz e =-，解得2(1)iz Ln =-；而[](1)ln 1arg(1)20(2)(21)Ln i k i k k i

ππππ-=-+-+=++=+（k Z ∈），

所以2(21)iz k i π=+（k Z ∈），即2

z k π

π=+

（k Z ∈）；

故方程cos 0z =的全部解为2

z k π

π=+

（k Z ∈）。

（3）因为10z e +=，即1z e =-，解得(1)(2)z Ln i k ππ=-=+（k Z ∈）， 即方程10z e +=的全部解为(21)z k i π=+（k Z ∈）。

（4）因为2z z e e shz --=，由shz i =，得

2

z z

e e i --=，即2210z z e ie --=，也即2()0z e i -=；从而0z e i -=，解得()z Ln i =；

又[]1

()ln arg()20(

2)(2)22

Ln i i i i k i k k i π

πππ=++=++=+（k Z ∈）

； 所以1(2)2z k i π=+（k Z ∈），故方程shz i =的全部解为 1

(2)2

z k i

π=+（k Z ∈）。

求()Ln i -，(34)Ln i -+和它们的主值。

解：（1）[]()ln arg()20(2)(21)Ln i i i i k i k k i ππππ-=-+-+=++=+（k Z ∈），

()Ln i -的主值为ln()i i π-=；

（2）

[]4(34)ln 34arg(34)2ln5arctan 23Ln i i i i k i k πππ????

-+=-++-++=++-+ ???????

4ln5arctan 23k i ππ????

=+-+ ???????

（k Z ∈）

， (34)Ln i -+的主值为 4ln(34)ln5arctan 3i i π??

??-+=+- ??????

?。

证明对数的下列性质：

（1）1212()()()Ln z z Ln z Ln z =+； （2）1122()()z Ln Ln z Ln z z ??

=- ? ???

。

解：因为111()ln ()Ln z z iArg z =+，222()ln ()Ln z z iArg z =+， （

1

）

又

()

1212121212()ln ()ln ()()Ln z z z z iArg z z z z i Arg z Arg z ??=+=++??

1212ln ln ()()z z i Arg z Arg z ??=+++??，

所以1212()()()Ln z z Ln z Ln z =+。

（2）又 111

11222

22ln ln ()()z z z z Ln iArg i Arg z Arg z z z z z ?????? ???=+=+- ? ??? ? ? ???????

1212ln ln ()()z z i Arg z Arg z ??=-+-??

所以1122()()z Ln Ln z Ln z z ??

=- ? ???

。

求12

i

e

π-，1exp 4

i π+??

???

，3i

和(1)i i +的值。 解：（1）12

2

cos sin 22i

i

e e e

e i ei π

π

ππ--??

????==-+-=- ? ?????

????g ，

（2

）111144

44441exp cos sin (1)4442i i i e e e e i i πππ

ππ++????===+=+

? ????

?， （

3

）

[

]

[]

ln 3(arg32)ln3(02)32ln323cos(ln3)sin(ln3)i i k i i k i iLn k i k e e e e e i ππππ??++++-+-??

=====+（k Z ∈）

（4） (

)ln 2ln 1arg(1)24

(1)(1)i i k i i i i k i iLn i i e e

e πππ??

??++??

???+++++????

??+===

1112ln2242411cos ln 2sin ln 22

2k i

k e

e

i ππ

????

?

?-++--+ ? ? ?????

?

???

????==-+- ? ????

?????（k Z ∈） 第三章 复变函数的积分 习题三（P46）

沿下列路线计算曲线积分320

i z dz +?

：

（1）自原点至3i +的直线段；

（2）自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至3i +。

解：（1）自原点至3i +的直线段对应的参数方程为3,

:01,

x t t y t =?→?=?，也即

()3(3)z t t it i t =+=+，:01t →；则

31

1

12

2

223

20

[(3)][(3)](3)(3)(3)

i z dz i t d i t i t i dt i t dt +=++=+?+=+?

???

1

3

3

33

1(3)

(3)(3)03

33t i i i +??=+?=+?-= ???

。

（2）记所给积分路径为12C C C =+，其中

13,

:0,x t C y =??

=?，:01t →，即1:()3C z t t =，:01t →； 23,

:,

x C y t =??

=?，:01t →，即2:()3C z t it =+，:01t →；

则 1

2

311

222220

(3)(3)(3)(3)i C C z dz z dz z dz t d t it d it +=+=+++?

?

?

??

1

1

333333

(3)(3)3(3)3(3)03

33333t it i i ????+++=

+

=-+-= ???????

计算积分 C

z

dz z

?

? 的值，其中C 为正向圆周：2z =。 解法一：因为:2C z =的参数方程为:2,:02i C z e θθπ=→，所以

222000222222422i i i i C C z z e dz dz ie d i e e d i d i i

z θ

πππθθθ

θθθππ-======?????g g 蜒

。

解法二：因为C 为正向圆周：2z =，所以2

4

4z z z z z

=?=?=

；从而 4

21222422C C C C C z z z dz dz dz dz dz i i z z z ππ======?????g 蜒

蜒?

。 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么C 为正向圆周1z =。 （1）2C

dz z -?

?； （2）224C dz z z ++??； （3）cos C dz z

??； （4）12

C dz

z -??； （5）3

sin C

z dz ??； （6）()22C dz

i z z ??

-+ ???

?

?。

解：（1）因为

1

2

z -在圆周1z =内解析，所以由柯西-古萨基本定理，得02

C

dz

z =-??

。 （2

）因为

2

124z z =++在圆周1z =内解析，所以2

024

C

dz

z z =++??

。

（3）因为

cos z

在圆周1z =内解析，所以由柯西-古萨基本定理，得0cos C dz

z =??

。 （4）因为

11

2

z -在圆周1z =内只有一个奇点1

2

z =

，所以由柯西积分公式，得212

C

dz i z π=-??

。

（5）因为3

sin z 在圆周1z =内解析，所以由柯西-古萨基本定理，得

3

sin 0C

z dz =??

。 （6）因为

()122i z z ??-+ ???

在圆周1z =内只有一个奇点2i

z =，所以由柯西积分

公式，得

()2

1

11416222(14)2417

222

2

2C C

i

z dz

i z dz i i i i i i z i z z z ππ

ππ=

+====

=+++??-+-+ ???

??

g g 蜒

。

沿指定曲线的正向计算下列各积分： （1）2z C

e dz z -??，:21C z -=； （2）22C dz

z a -??，:C z a a -=； （3）21iz C

e dz z +??，3

:22

C z i -=； （4）3C zdz z -??，:2C z =； （5）

3

cos C

z zdz ??

，C 为包围0z =的闭曲线； （6）

22(1)(4)C dz z z ++??,3:2

C z =; （7）2sin 2C zdz

z π??- ???

??,:2C z =; （8）5z C e dz

z ??

, :1C z =.

解：（1）因为2

z -在积分曲线:21C z -=的内部只有一个奇点2z =，所以由

柯西积分公式，得 22

222

z

z

z C

e dz i e e i z ππ===-?g ?。

（2）因为

22

11

()()

z a z a z a =--+在积分曲线:C z a a -=的内部只有一个奇点z a

=，所以由柯西积分公式，得

221

1

12()()C C C

z a

dz

i

z a dz dz i z a z a z a z a z a

a

ππ=+====

--+-+???g 蜒?。

（3）因为21iz e z +在积分曲线3

:22

C z i -=的内部只有一个奇点z i =，所以由

柯西积分公式，得

1221()()iz

iz iz

iz

C C C

z i

e e dz

e e z i dz dz i e z z i z i z i z i

e

π

ππ-=+=====

++--+???g 蜒?。

（4）因为

3

z

z -在积分曲线:2C z =内解析，所以由柯西-古萨基本定理，得03

C

zdz

z =-??

。 （5）因为3cos z z 在积分曲线C 内解析，所以由柯西-古萨基本定理，得

3

cos 0C

z zdz =??

。

（6）因为

2211(1)(4)()()(2)(2)z z z i z i z i z i =+++-+-在积分曲线3

:2

C z =的内

部有两个奇点z i =±，所以由复合闭路定理及柯西积分公式，在圆周3

:2

C z =

的内部分别以i 、i -为圆心作圆周1C 、2C （使得1C 、2C 互不相交也互不包含），则

12

222221

1

1()(4)

()(4)

(1)(4)()()(4)C C C C dz z i z z i z dz dz dz

z z z i z i z z i

z i

++-+==++++-+-+????

蜒蜒

221

1

11

22220()(4)

()(4)

2323

z i z i

i i i i z i z z i z i i ππππ==-=+=+=++-+-g

g

g g g g

（

或

2222221

1

11111

(1)(4)3143134C C C C dz dz dz dz z z z z z z ??=-=- ?++++++??

????蜒蜒

21111111

10313()()32C C C dz dz dz z z i z i i z i z i ??=

-==?- ?++--+??

???蜒? ()1

2206i i i

ππ=

-=） （7）因为

2

sin 2z

z π??- ???

在积分曲线:2C z =内有一个奇点2

z π

=

，所以由高阶导数

公式，得

2

2

2

sin 2(sin )2cos 2cos

01!

2

2z z C

zdz

i

z i z

i z π

π

ππ

πππ=

=

'=

===??- ???

?g g ?

（8）因为5z

e z

在积分曲线:1C z =内有一个奇点0z =，所以由高阶导数公式，得

(4)050

2()4!12

12

12

z z z

z z C e dz i i

i

i

e e e z ππππ====

=

=

?g g g ?

计算下列各题：

（1）1

sin z zdz ?； （2）0

(1)i

z z e dz --?。

解：（1） 11

11100000sin cos cos cos cos1sin z zdz zd z z z zdz z ????=-=--=--??????

???

[]cos1sin1sin1cos1=--=-；

（2）

0000(1)(1)(1)i

i

i

i

z z z

z z e dz z de z e e dz ----??-=--=---??????? []000

(1)cos(1)sin(1)sin1cos1

i i i z

z z

i z e e z e ie i i i ----??=--+=-=-=--+-=--????

。

计算积分12

3

cos C C C zdz

z =+?

?，其中1:2C z =为正向，2:3C z =为负向。

解法一：因为

3cos z

z

在多连通区域{23}D z z =≤≤（此时，该多连通区域的边界曲线即为11112C C C ---=+（其中1:2C z =为正向，2:3C z =为负向）的反方向）内解析，所以

123cos 0C C C zdz

z =+=??

解法二：利用复变函数积分的性质，得

112121233333cos cos cos cos cos C C C C C C C zdz zdz zdz

zdz zdz

z z z z z -=+=+=

-?????蜒蜒????330

23cos cos 22(cos )(cos )02!

2!

z z z z zdz

zdz i

i

z z z

z ππ====''''=-=-=??g g 蜒。

计算积分z n C e dz

z ??，其中C 为正向圆周1z =，n 为整数。

解：因为n 为整数，所以

（1）当0n ≤时，z

n e z 在圆周1z =内解析，从而由柯西-古萨基本定理，得

0z n C e dz

z =??

； （2）当1n ≥时，z

n e z

在圆周1z =内只有一个奇点0z =，从而由高阶导数公式，

得

()(1)

222(1)!(1)!

(1)!

z n z z

n z C z e dz i i

i

e e z n n n πππ-====

=

---?g g ?

。

如果在1z <内()f z 解析并且1

()1f z z

≤

-，证明 ()1(0)(1)!1n

n f n n ?

?≤++ ???

（1,2,...n =）

。 分析：从要证明的不等式可以看出，要利用解析函数的高阶导数公式

()

010!()

()2()n n C n f z f

z dz i z z π+=

-??

（其中C 为正向简单闭曲线，且C 的内部既要包含点0z ，并且()f z 在C 的内部要解析），从而